最新2019—2020学年天津市河西区九年级(上)期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）

1．（3分）下列各点中关于原点对称的两个点是（　　）

A．（﹣5，0）和（0，5）      D．（﹣2，﹣1）和（2，1）

2．（3分）如图由圆形组成的四个图形中，可以看做是中心对称图形的有（　　）

A．4个      D．1个

3．（3分）已知抛物线y=x2﹣x，它与x轴的两个交点间的距离为（　　）

A．0      D．4

4．（3分）如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，DE=3.5，则BC的长度为（　　）

A．5.5      D．7

5．（3分）如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（　　）

A．40°      D．25°

6．（3分）从一副扑克牌中随机抽取一张，它恰好是Q的概率为（　　）

A．   

7．（3分）下列叙述正确的是（　　）

A．任意两个正方形一定是相似的

B．任意两个矩形一定是相似的

C．任意两个菱形一定是相似的

D．任意两个等腰梯形一定是相似的

8．（3分）观察下列两个三位数的特点，猜想其中积的结果最大的是（　　）

A．901×999 ×978 ×950 ×939

9．（3分）正六边形的周长为6mm，则它的面积为（　　）

A．mm2 mm2 mm2 mm2

10．（3分）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理

B．勾股定理是逆定理

C．直径所对的圆周角是直角

D．90°的圆周角所对的弦是直径

11．（3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）

A．6cm     C．8cm    D．9cm

12．（3分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中，①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（　　）

A．①      D．①②③都不对

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）已知⊙O的直径为10cm，若直线AB与⊙O相切．那么点O到直统AB的距离是　　．

14．（3分）将点P（3，4）绕原点逆时针旋转90°，得到的点P的对应点的坐标为　　．

15．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为　　．

16．（3分）已知二次函数y=x2+bx+5（b为常数），若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，则此时b的值为　　．

17．（3分）如图，AB与CD相交于点O，且∠OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为　　．

18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，即AB=4，

点E为线段AB上的动点．若使得BE=，则的值为　　；请你在网格中，用无刻度的直尺，找到点E的位置，并简要说明此位置是如何找到的（不要求证明）　　．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）已知抛物线y=x2﹣2x+1．

（1）求它的对称轴和顶点坐标；

（2）根据图象，确定当x＞2时，y的取值范围．

20．（8分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，﹣2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：

（1）两次取出小球上的数字相同的概率；

（2）两次取出小球上的数字之和大于10的概率．

21．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB于D．

（1）求证：△ACB∽△ADE；

（2）求AD的长度．

22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径．

23．（10分）某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？

设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．

（I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：

24．（10分）在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．

（Ⅰ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：

（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．

25．（10分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，点P以每秒1个单位的速度从

A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都

停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

（Ⅰ）在运动过程中，请你用t表示P、Q两点间的距离，并求出P、Q两点间的距离

的最大值；

（Ⅱ）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式．

2015-2016学年天津市河西区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）

1．（3分）（2015秋•河西区期末）下列各点中关于原点对称的两个点是（　　）

A．（﹣5，0）和（0，5）      D．（﹣2，﹣1）和（2，1）

【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【解答】解：A、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故A错误；

B、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故B错误；

C、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故C错误；

D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

2．（3分）（2015秋•河西区期末）如图由圆形组成的四个图形中，可以看做是中心对称图形的有（　　）

A．4个      D．1个

【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．

【解答】解：第一、二、四个图形是中心对称图形，共3个，

故选：B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．（3分）（2015秋•河西区期末）已知抛物线y=x2﹣x，它与x轴的两个交点间的距离为（　　）

A．0      D．4

【分析】根据解方程x2﹣x=0抛物线与x轴的两交点坐标，然后利用两点间的距离公式求出两交点间的距离．

【解答】解：当y=0时，x2﹣x=0，解得x1=0，x2=2，则抛物线与x轴的两交点坐标为（0，0），（2，0），

所以抛物线与x轴的两个交点间的距离为2．

故选C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．

4．（3分）（2015秋•河西区期末）如图，DE∥BC，且AD=4，DB=2，DE=3.5，则BC的长度为（　　）

A．5.5      D．7

【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，得出比例式，代入求出即可．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴=，

∵AD=4，DB=2，DE=3.5，

∴=，

∴BC=5.25，

故选B．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能求出△ADE∽△ABC是解此题的关键．

5．（3分）（2015秋•河西区期末）如图，P是⊙O直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20°，则∠A的度数为（　　）

A．40°      D．25°

【分析】根据题意，可知∠COB=70°，OA=OC，即可推出∠A=35°．

【解答】解：∵PC与⊙O相切于点C，

∴OC⊥CP，

∵∠P=20°，

∴∠COB=70°，

∵OA=OC，

∴∠A=35°．

故选B．

【点评】本题主要考查了切线性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于确定OC⊥CP，OA=OC．

6．（3分）（2015秋•河西区期末）从一副扑克牌中随机抽取一张，它恰好是Q的概率为（　　）

A．   

【分析】根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：一副扑克牌共有54张，其中只有4张Q，

∴从一副扑克牌中随机抽出一张牌，得到Q的概率是=；

故选B．

【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

7．（3分）（2015秋•河西区期末）下列叙述正确的是（　　）

A．任意两个正方形一定是相似的

B．任意两个矩形一定是相似的

C．任意两个菱形一定是相似的

D．任意两个等腰梯形一定是相似的

【分析】根据对应边成比例，对应角相等的图形是相似图形，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、任意两个正方形，对应边成比例，对应角都是直角，一定相等，所以一定相似，故本选项正确；

B、任意两个矩形，对应边不一定成比例，对应角都是直角，一定相等，所以也不一定相似，故本选项错误；

C、任意两个菱形，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；

D、任意两个等腰梯形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．

故选A．

【点评】本题主要考查了相似图形的定义，注意从对应边与对应角两个方面考虑解答．

8．（3分）（2015秋•河西区期末）观察下列两个三位数的特点，猜想其中积的结果最大的是（　　）

A．901×999 ×978 ×950 ×939

【分析】根据平方差公式计算即可判断．

【解答】解：∵901×999=（950﹣49）（950+49））=9502﹣49，

922×978=（950﹣28）（950+28）=9502﹣282，

950×950=9502，

961×939=（950+11）（950﹣11）=9502﹣112，

∴950×950最大，

故选C．

【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是利用平方差公式简便运算，记住（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，运算基础题，中考常考题型．

9．（3分）（2015•河西区二模）正六边形的周长为6mm，则它的面积为（　　）

A．mm2 mm2 mm2 mm2

【分析】首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6mm，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．

【解答】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，

∴∠BOC=×360°=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∵正六边形ABCDEF的周长为6mm，

∴BC=6÷6=1mm，

∴OB=BC=1mm，

∴BM=BC=mm，

∴OM==mm，

∴S△OBC=×BC×OM=×1×=mm2，

∴该六边形的面积为：×6=mm2，

故选B．

【点评】此题主要考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想是解答此题的关键．

10．（3分）（2015秋•河西区期末）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理

B．勾股定理是逆定理

C．直径所对的圆周角是直角

D．90°的圆周角所对的弦是直径

【分析】由AB是直径，根据直径所对的圆周角是直角即可判定∠ACB是直角．

【解答】解：∵AB是直径，

∴∠ACB是直角．

则∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．

故选C．

【点评】此题考查了圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用是解此题的关键．

11．（3分）（2015秋•抚顺县期末）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（　　）

A．6cm      D．9cm

【分析】根据弧长公式L=，将n=75，L=2.5π，代入即可求得半径长．

【解答】解：∵75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，

由L=，

∴2.5π=，

解得：r=6，

故选：A．

【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式：L=才能准确的解题．

12．（3分）（2015秋•河西区期末）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列三个判断中，①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；正确的是（　　）

A．①      D．①②③都不对

【分析】观察函数图象可直接得到抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；把A点坐标代入y=﹣x2+2x+m+1中求出m，确定抛物线解析式，再通过解方程﹣x2+2x+3=0得到B点坐标，从而可对②进行判断；先确定抛物线的对称轴为直线x=1，则点P和点Q在对称轴两侧，所以点P到直线x=1的距离为1﹣x1，点Q到直线x=1的距离为x2﹣1，然后比较点Q点对称轴的距离和点P点对称轴的距离的大小，再根据二次函数的性质可对③进行判断．

【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；

当a=﹣1时，A点坐标为（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入y=﹣x2+2x+m+1得﹣1﹣2+m+1=0，解得m=2，则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，解方程﹣x2+2x+3=0得x1=﹣1，x2=3，则B（3，0），即b=3，所以②错误；

抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，因为x1＜1＜x2，所以点P和点Q在对称轴两侧，点P到直线x=1的距离为1﹣x1，点Q到直线x=1的距离为x2﹣1，则x2﹣1﹣（1﹣x1）=x2+x1﹣2，而x1+x2＞2，所以x2﹣1﹣（1﹣x1）＞0，所以点Q到对称轴的距离比点P到对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以③正确．

故选C．

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．判断点P、点Q到对称轴的距离的大小是判断命题③的真假的关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13．（3分）（2015秋•河西区期末）已知⊙O的直径为10cm，若直线AB与⊙O相切．那么点O到直统AB的距离是　5　．

【分析】根据圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于圆的半径，求出圆的半径即可．

【解答】解：∵⊙O的直径是10，

∴⊙O的半径是5，

∵直线AB与⊙O相切，

∴点O到AB的距离等于圆的半径，是5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了切线的性质和直线与圆的位置关系的理解和运用，关键是理解圆的切线的定义，题目比较典型，难度不大．

14．（3分）（2015秋•河西区期末）将点P（3，4）绕原点逆时针旋转90°，得到的点P的对应点的坐标为　（﹣4，3）　．

【分析】作出图形，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，过点P′作PA′⊥y轴于点A′，作PB′⊥x轴于点B′，根据点A的坐标求出PA、PB的长度，根据旋转变换只改把图形的位置，不改变图形的形状与大小求出P′A′、P′B′的长度，即可得解．

【解答】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，过点P′作PA′⊥y轴于点A′，作PB′⊥x轴于点B′，

∵点P（3，4），

∴PA=4，PB=3，

∵点P（3，4）绕坐标原点逆时针旋转90°得到点P′，

∴P′A′=PA=4，P′B′=PB=3，

∴点P′的坐标是（﹣4，3）．

故答案为：（﹣4，3）．

【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

15．（3分）（2009•宁德）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长为　6　．

【分析】位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求解．

【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，

∴AB：DE=2：3，

∴DE=6．

故答案为：6．

【点评】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等于相似比的特点．

16．（3分）（2015秋•河西区期末）已知二次函数y=x2+bx+5（b为常数），若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，则此时b的值为　±4　．

【分析】根据在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5=1有两个相等的实数根，求此时b的值即可．

【解答】解：由题意得，x2+bx+5=1有两个相等的实数根，

所以△=b2﹣16=0，

解得，b=±4．

故答案为±4．

【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴是直线x=﹣，当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=．

17．（3分）（2015秋•河西区期末）如图，AB与CD相交于点O，且∠OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为　2　．

【分析】利用两角法推知图中的相似三角形即可．

【解答】解：如图，∵在△ABP与△CDP中，∠BAP=∠DCP，∠APB=∠CPD，

∴△ABP∽△CDP，

∴∠ABP=∠CDP，

∴∠ADO=∠CBO，

又∵∠OAD=∠OCB，

∴△OAD∽△OCB，

综上所述，图中的相似三角形有2对：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB．

故答案是：2．

【点评】本题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；

②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；

③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．

18．（3分）（2015秋•河西区期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，即AB=4，

点E为线段AB上的动点．若使得BE=，则的值为　　；请你在网格中，用无刻度的直尺，找到点E的位置，并简要说明此位置是如何找到的（不要求证明）　在B所在横线的上边第9条线上找到格点F，连接BF，BF交F下距离是5的横线与BF的交点是G，过G作GE∥AF交AB于点E，点E就是所求．　．

【分析】首先求得AE的长，即可求得的值，根据平行线分线段成比例定理即可作出E的位置．

【解答】解：AE=AB﹣BE=4﹣=，

则===．

找到E的方法：在B所在横线的上边第9条线上找到格点F，连接BF，BF交F下距离是5的横线与BF的交点是G，过G作GE∥AF交AB于点E，点E就是所求．

【点评】本题考查了线段的比值，以及平行线分线段成比例定理，正确理解利用平行线分线段成比例定理是关键．

三、解答题（共7小题，满分66分）

19．（8分）（2015秋•河西区期末）已知抛物线y=x2﹣2x+1．

（1）求它的对称轴和顶点坐标；

（2）根据图象，确定当x＞2时，y的取值范围．

【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标；

（2）利用描点法画出图象，根据图象利用数形结合的方法确定当x＞2时，y的取值范围即可．

【解答】解：（1）y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，

对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）；

（2）抛物线图象如下图所示：

由图象可知当x＞2时，y的取值范围是y＞1．

【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象．

20．（8分）（2009•吉林）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，﹣2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字．请你用画树形图或列表的方法，求下列事件的概率：

（1）两次取出小球上的数字相同的概率；

（2）两次取出小球上的数字之和大于10的概率．

【分析】解此题的关键是准确列表或画树形图，找出所有的可能情况，即可求得概率．

【解答】解：

第二次

（1）P（两数相同）=．（3分）

（2）P（两数和大于10）=．（5分）

【点评】此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．（10分）（2015秋•中山区期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB于D．

（1）求证：△ACB∽△ADE；

（2）求AD的长度．

【分析】（1）求出∠EDA=∠C=90°，根据相似三角形的判定得出相似即可；

（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，∠C=90°，

∴∠EDA=∠C=90°，

∵∠A=∠A，

∴△ACB∽△ADE；

（2）解：∵△ACB∽△ADE，

∴=，

∴=，

∴AD=4．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出△ACB∽△ADE是解此题的关键．

22．（10分）（2015秋•河西区期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，求⊙O的半径．

【分析】首先连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，由在矩形ABCD中，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，易得四边形CDFE是矩形，由垂径定理可求得AF的长，然后设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x，利用勾股定理即可得：（8﹣x）2+36=x2，继而求得答案．

【解答】解：连接OE，并反向延长交AD于点F，连接OA，

∵BC是切线，

∴OE⊥BC，

∴∠OEC=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C=∠D=90°，

∴四边形CDFE是矩形，

∴EF=CD=AB=8，OF⊥AD，

∴AF=AD=×12=6，

设⊙O的半径为x，则OE=EF﹣OE=8﹣x，

在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2，

则（8﹣x）2+36=x2，

解得：x=6.25，

∴⊙O的半径为：6.25．

【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、矩形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

23．（10分）（2012•河北模拟）某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？

设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．

（I） 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：

【分析】（I）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35﹣x）元；多买2x件，即每天售量为（50+2x）件；

（Ⅱ） 每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35﹣x）（50+2x），配方后得到y=﹣2（x﹣5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800．

【解答】解：（Ⅰ）35﹣x，50+2x；

（Ⅱ）根据题意，每天的销售额y=（35﹣x）（50+2x），（0＜x＜35）

配方得y=﹣2（x﹣5）2+1800，

∵a＜0，

∴当x=5时，y取得最大值1800．

答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元．

【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意构建二次函数关系式，再利用配方法配成顶点式，然后根据二次函数的性质讨论函数的最大值或最小值．

24．（10分）（2011•天津）在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．

（Ⅰ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；

（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：

（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．

【分析】（1）过点D作DM⊥x轴于点M，求证△ADM∽△ABO，根据相似比求AM的长度，推出OM和MD的长度即可；

（2）根据等腰三角形的性质，推出α=180°﹣2∠ABC，结合已知条件推出∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，即α=2β；

（3）做过点D作DM⊥x轴于点M，根据勾股定理和△OAB∽△OMD，推出D点的横坐标和纵坐标，然后求出C点坐标，就很容易得到CD的解析式了．

【解答】解：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，

∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，

根据题意，有DA=OA=3．

如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，

则MD∥OB，

∴△ADM∽△ABO．有，

得，

∴OM=，

∴，

∴点D的坐标为（，）．

（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴在△ABC中，

∴α=180°﹣2∠ABC，

∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，

∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，

∴α=2β；

（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，

∵∠AOD=∠ABO=β，

∴tan∠AOD==，

设DE=3x，OE=4x，

则AE=4x﹣3，

在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，

∴9=9x2+（4x﹣3）2，

∴x=，

∴D（，），

∴直线AD的解析式为：y=x﹣，

∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，

∴设y=﹣x+b，把D（，）代入得，=﹣×+b，

解得b=4，

∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1，

∴直线CD的解析式为y=﹣4．

同理可得直线CD的另一个解析式为y=x﹣4．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点，本题关键在于结合图形找到相似三角形，求相关线段的长度和有关点的坐标．

25．（10分）（2015秋•河西区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8．BC=6，点P以每秒1个单位的速度从

A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都

停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

（Ⅰ）在运动过程中，请你用t表示P、Q两点间的距离，并求出P、Q两点间的距离

的最大值；

（Ⅱ）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式．

【分析】（Ⅰ）分Q在AB边上与Q在BC边上，分别如图1和图2所示，表示出PQ的长，当Q与B重合时，PQ取得最大值，求出即可；

（Ⅱ）分两种情况考虑：当Q在AB边上时，如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP；当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP，分别表示出S与t的函数关系式即可．

【解答】解：（Ⅰ）分两种情况考虑：

当Q在AB边上时，过Q作QE⊥AC，交AC于点E，连接PQ，如图1所示：

∵∠C=90°，

∴QE∥BC，

∴△ABC∽△AQE，

∴==，

在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，

根据勾股定理得：AB=10，

∵AQ=2t，AP=t，

∴==，

整理得：PE=t，QE=t，

根据勾股定理得：PQ2=QE2+PE2，

整理得：PQ=t；

当Q在BC边上时，连接PQ，如图2所示：

由AB+BQ=2t，AB=10，得到BQ=2t﹣10，CQ=BC﹣BQ=6﹣（2t﹣10）=16﹣2t，

由AP=t，AC=8，得到PC=8﹣t，

根据勾股定理得：PQ==，

当Q与B重合时，PQ的值最大，

则当t=5时，PQ最大值为3；

（Ⅱ）分两种情况考虑：

当Q在AB边上时，如图1，△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP，

此时S=AP•QE=t•t=t2（0＜t≤5）；

当Q在BC边上时，△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP，

此时S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣（8﹣t）（16﹣2t）=﹣t2+16t﹣40（5＜t≤8）．

综上，经过t秒的运动，△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式为．

【点评】此题考查了动点问题的函数图象，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及三角形面积求法，利用了分类讨论的思想，分类讨论时考虑问题要全面，做到不重不漏．

参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；sd2011；gsls；zjx111；守拙；lantin；HJJ；弯弯的小河；fangcao；zcx；王学峰；蓝月梦；zhjh；nhx600；lf2-9；ZHAOJJ；sks（排名不分先后）

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2016年11月8日