2009年北京市高考数学试卷(理科)及答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

2．（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（　　）

A．k=1且c与d同向    B．k=1且c与d反向

C．k=﹣1且c与d同向    D．k=﹣1且c与d反向

3．（5分）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（　　）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

4．（5分）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）

A．    B．1    C．    D．

5．（5分）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（　　）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

6．（5分）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（　　）

A．45    B．55    C．70    D．80

7．（5分）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）

A．324    B．328    C．360    D．8

8．（5分）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（　　）

A．直线l上的所有点都是“点”

B．直线l上仅有有限个点是“点”

C．直线l上的所有点都不是“点”

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）=　　．

10．（5分）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为　　．

11．（5分）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为　　．

12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　　，∠F1PF2的大小为　　．

13．（5分）若函数则不等式的解集为　　．

14．（5分）{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　　；a2014=　　．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

16．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．

17．（13分）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

18．（13分）设函数f（x）=xekx（k≠0）．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．

19．（14分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=

（I）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．

20．（13分）已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A．

（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明：a1=1，且；

（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．

2009年北京市高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．

【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，

∴复数z所对应的点为（﹣2，1），

故选B

2．（5分）（2009•北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（　　）

A．k=1且c与d同向    B．k=1且c与d反向

C．k=﹣1且c与d同向    D．k=﹣1且c与d反向

【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．

【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，

则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），

显然，与不平行，排除A、B．

若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），

即∥ 且与反向，排除C，

故选 D．

3．（5分）（2009•北京）为了得到函数y=lg的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（　　）

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．

【解答】解：∵，

∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

故选C．

4．（5分）（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）

A．    B．1    C．    D．

【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．

【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，

∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，

故选：D．

5．（5分）（2009•北京）“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（　　）

A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件

C．充分必要条件    D．既不充分也不必要条件

【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．

【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，

cos2a=cos（4kπ+）=cos=

反之，当cos2a=时，

有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），

或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），

故选A．

6．（5分）（2009•北京）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（　　）

A．45    B．55    C．70    D．80

【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b

【解答】解析：由二项式定理得：

（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5

=1+5+20+20+20+4

=41+29，

∴a=41，b=29，a+b=70．

故选C

7．（5分）（2009•北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）

A．324    B．328    C．360    D．8

【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．

【解答】解：由题意知本题要分类来解，

当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，

因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256 

当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，

共有9×8×1=72 

根据分类计数原理知共有256+72=328

故选B

8．（5分）（2009•北京）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（　　）

A．直线l上的所有点都是“点”

B．直线l上仅有有限个点是“点”

C．直线l上的所有点都不是“点”

D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”

【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．

【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）

∵A，B在y=x2上

∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2

消去n，整理得关于x的方程

 x2﹣（4m﹣1 ）x+2m2﹣1=0

∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，

∴方程恒有实数解，

∴故选A．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2009•北京）=　　．

【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．

【解答】解：

=

=

=．

故答案为：．

10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为　﹣6　．

【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．

【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0

平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，

故答案为﹣6．

11．（5分）（2009•北京）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为　﹣1　．

【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．

【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，

易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．

故应填﹣1．

12．（5分）（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　2　，∠F1PF2的大小为　120°　．

【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．

【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，

∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．

在△F1PF2中，

cos∠F1PF2

=

==﹣，

∴∠F1PF2=120°．

故答案为：2；120°

13．（5分）（2009•北京）若函数则不等式的解集为　[﹣3，1]　．

【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．

【解答】解：①由．

②由．

∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，

故答案为：[﹣3，1]．

14．（5分）（2009•北京）{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　1　；a2014=　0　．

【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．

【解答】解：∵2009=503×4﹣3，

∴a2009=1，

∵a2014=a1007，

1007=252×4﹣1，

∴a2014=0，

故答案为：1，0．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．

（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；

（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，

∴A为锐角，

则sinA==

∴

∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，

又∵，

∴在△ABC中，由正弦定理，得

∴a==，

∴△ABC的面积S=absinC=×××=．

16．（14分）（2009•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．

【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；

（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；

（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．

【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．

又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．

（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，

∴DE=BC．

又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．

又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，

∴AD=AB．

在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，

∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，

即AD与平面PAC所成角的正弦值为．

（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC．

又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，

∴DE⊥AE，DE⊥PE，

∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，

∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．

这时，∠AEP=90°，

故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．

17．（13分）（2009•北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．

【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互事件同时发生的概率，根据公式得到结果．

（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合重复试验，根据重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．

【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，

∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，

∴事件A的概率为

（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）

事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），

∴，

∴即ξ的分布列是

18．（13分）（2009•北京）设函数f（x）=xekx（k≠0）．

（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．

【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；

（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）ekx，f′（0）=1，f（0）=0，

曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；

（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=﹣（k≠0），

若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，

f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，

函数f（x）单调递增，

若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，

f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

当x∈（﹣，+∞，）时，

f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，

即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，

若k＜0，则当且仅当﹣≥1，

即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，

综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，

k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．

19．（14分）（2009•北京）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=

（I）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．

【分析】（ I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．

（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，，

解得a=1，c=，

b2=c2﹣a2=2，

∴所求双曲C的方程．

（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，

圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），

化简得mx+ny=2．

以及m2+n2=2得

（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，

∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，

3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，

设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），

x1+x2=，x1x2=．

∵，

且

=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]

=+[4﹣+]

=﹣=0．

∴∠AOB的大小为900．

20．（13分）（2009•北京）已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A．

（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；

（Ⅱ）证明：a1=1，且；

（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．

【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；

（Ⅱ）由性质P，知anan＞an，故anan∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+an，命题得证；

（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，

∴该数集不具有性质P．

由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，

∴该数集具有性质P．

（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P，

∴anan与中至少有一个属于A，

由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an

故anan∉A．

从而1=∈A，a1=1．

∵1=a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k=2，3，4，…，n），

故akan∉A（k=2，3，4，…，n）．

由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．

又∵＜＜…＜＜，

∴，，…，，

从而++…++=a1+a2+…+an，

∴且；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，

有，，即a5=a2•a4=a32，

∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，

由A具有性质P可知∈A．

由a2•a4=a32，得∈A，

且1＜，∴，

∴，

即a1，a2，a3，a4，a5 是首项为1，公比为a2等比数列．