2021-2022学年江西省南昌市七年级上期末数学试卷及答案解析

一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1．（3分）如图的几何体由5个相同的小正方体搭成．从正面看，这个几何体的形状是（　　）

A．B．C．D．

2．（3分）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（　　）

A．新    B．冠    C．病    D．毒

3．（3分）右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（　　）

A．22元    B．23元    C．24元    D．26元

4．（3分）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）

A．②③    B．①②③    C．①②④    D．①④

5．（3分）下列各方程中，是一元一次方程的是（　　）

A．x﹣2y＝4    B．xy＝4    C．3y﹣1＝4    D．

6．（3分）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　）

A．x+1＝（15﹣x）﹣2    B．x+1＝（30﹣x）﹣2    

C．x﹣1＝（15﹣x）+2    D．x﹣1＝（30﹣x）+2

二．填空题（共6小题，满分27分）

7．（3分）如果代数式﹣2a2+3b+8的值为1，那么代数式4a2﹣6b+2的值等于　   　．

8．（12分）计算：48°39′+67°31′＝　   　．

9．（3分）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是　   　．

10．（3分）一列方程如下排列：

的解是x＝2

的解是x＝3

的解是x＝4

……

根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝10的方程：　   　．

11．（3分）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为2cm的小正方形，则这个小长方形的面积为　   　cm2．

12．（3分）已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE＝　   　．

三．解答题（共11小题，满分55分）

13．（8分）计算与解方程：

（1）﹣32+（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；

（2）12°24′17″×4﹣30°27′8″；

（3）1．

14．（4分）已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长．

15．（4分）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，求∠BOD的度数．

16．（4分）已知关于x的一元一次方程4x+2m＝3x﹣1，

（1）求这个方程的解；

（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．

17．（4分）某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．

（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

18．（4分）【定义】

若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．

【运用】

（1）①﹣2x＝4，②3x＝﹣4.5，③x＝﹣1三个方程中，为“友好方程”的是　   　（填写序号）；

（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；

（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值．

19．（4分）将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：

（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？

（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；

（3）十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；

（4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．

20．（4分）问题一：如图①，已知AC＝160km，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发到C地．若甲的速度为80

km/h，乙的速度为60km/h，设乙行驶时间为x（h），两车之间距离为y（km）

（1）当甲追上乙时，x＝　   　．

（2）请用x的代数式表示y．

问题二：如图②，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB＝30°．

（1）分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动　   　km，时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动　   　°；

（2）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？

21．（4分）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为，正方形ABCD的面积为16．

（1）数轴上点B表示的数为　   　；

（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分的面积为S．

①当S＝4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数；

②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BFBB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．

22．（4分）如图，直线AB，CD交于点O，将一个三角板的直角顶点放置于点O处，使其两条直角边分别位于OC的两侧．若OC刚好平分∠BOF，∠BOE＝2∠COE，求∠COE的度数．

小方同学的解答过程是这样的：

解：设∠COE＝α．

由于已知∠BOE＝2∠COE，

所以∠BOE＝2α．

所以∠BOC＝∠BOE+∠COE＝2α+α＝3α．

因为OC平分∠BOF，根据角平分线的定义，

所以∠BOC＝∠FOC＝3α．

因为∠EOF是直角，

所以∠EOF＝90°．

所以∠EOF＝∠FOC+∠COE＝3α+α＝4α＝90°

所以α＝22°50′

即∠COE＝22°50′

以上的解答中有一处错误，导致了从这一步往后的错误．

这一处错误是：　   　．

应该修改为（从错误处开始）：　   　．

23．（11分）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．

（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；

（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．

2021-2022学年江西省南昌市七年级上期末数学试卷

参与试题解析

一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1．（3分）如图的几何体由5个相同的小正方体搭成．从正面看，这个几何体的形状是（　　）

A．    B．    

C．    D．

解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，

故选：A．

2．（3分）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后“抗”字一面相对面上的字是（　　）

A．新    B．冠    C．病    D．毒

解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“抗”字一面相对面上的字是“病”，

故选：C．

3．（3分）右图是“大润发”超市中“飘柔”洗发水的价格标签，一服务员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮忙算一算，该洗发水的原价为（　　）

A．22元    B．23元    C．24元    D．26元

解：设洗发水的原价为x元，由题意得：

0.8x＝19.2，

解得：x＝24．

故选：C．

4．（3分）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）

A．②③    B．①②③    C．①②④    D．①④

解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；

图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．

故选：C．

5．（3分）下列各方程中，是一元一次方程的是（　　）

A．x﹣2y＝4    B．xy＝4    C．3y﹣1＝4    D．

解：各方程中，是一元一次方程的是3y﹣1＝4，

故选：C．

6．（3分）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　）

A．x+1＝（15﹣x）﹣2    B．x+1＝（30﹣x）﹣2    

C．x﹣1＝（15﹣x）+2    D．x﹣1＝（30﹣x）+2

解：∵长方形的周长为30cm，长方形的长为xcm，

则长方形的宽为（15﹣x）cm，

根据题意，得：x﹣1＝15﹣x+2，

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分27分）

7．（3分）如果代数式﹣2a2+3b+8的值为1，那么代数式4a2﹣6b+2的值等于　16　．

解：∵﹣2a2+3b+8的值为1，

∴﹣2a2+3b+8＝1，

∴﹣2a2+3b＝﹣7，

∴4a2﹣6b+2

＝﹣2（﹣2a2+3b）+2

＝﹣2×（﹣7）+2

＝14+2

＝16

故答案为：16．

8．（12分）计算：48°39′+67°31′＝　116°10'　．

解：39′+31′＝70′＝1°10′，

故48°39′+67°31′＝116°10'．

故答案为：116°10'．

9．（3分）图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①、②、③、④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是　①　．

解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．

故答案为：①．

10．（3分）一列方程如下排列：

的解是x＝2

的解是x＝3

的解是x＝4

……

根据观察所得到的规律，请你写出一个解是x＝10的方程：　1　．

解：方程1的解为x＝10．

故答案为：1．

11．（3分）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为2cm的小正方形，则这个小长方形的面积为　60　cm2．

解：设每个长方形的宽为xcn，长为ycm，那么可得出方程组为：

，

解得：，

因此每个长方形的面积应该是xy＝60cm2．

故答案为：60．

12．（3分）已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE＝　65°或15°　．

解：∵∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，且OD，OE分别为∠AOB，∠BOC的角平分线，

∴∠BOD∠AOB＝40°，∠EOB∠BOC＝25°，

①当OC在∠AOB内时，如图1，

∴∠DOE＝∠DOB﹣∠EOB＝40°﹣25°＝15°．

②当OC在∠AOB外时，如图2，

∠DOE＝∠DOB+∠EOB＝40°+25°＝65°．

综上所述，∠DOE的度数为65°或15°．

故答案是：65°或15°．

三．解答题（共11小题，满分55分）

13．（8分）计算与解方程：

（1）﹣32+（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|；

（2）12°24′17″×4﹣30°27′8″；

（3）1．

解：（1）原式＝﹣9+9﹣6+4

＝﹣2；

（2）原式＝48°96′68″﹣30°27′8″

＝18°69′60″

＝19°10′；

（3）3（4﹣x）﹣2（2x+1）＝6

12﹣3x﹣4x﹣2＝6

﹣7x＝﹣4

x．

14．（4分）已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6cm，求CM和AD的长．

解：设AB＝2xcm，BC＝5xcm，CD＝3xcm

所以AD＝AB+BC+CD＝10xcm

因为M是AD的中点

所以AM＝MDAD＝5xcm

所以BM＝AM﹣AB＝5x﹣2x＝3xcm

因为BM＝6 cm，

所以3x＝6，x＝2，

故CM＝MD﹣CD＝5x﹣3x＝2x＝2×2＝4cm，

AD＝10x＝10×2＝20 cm．

15．（4分）如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，求∠BOD的度数．

解：由角的和差，得∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣28°＝62°．

由角平分线的性质，得∠AOF＝∠EOF＝62°．

由角的和差，得∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝62°﹣28°＝34°．

由对顶角相等，得

∠BOD＝∠AOC＝34°．

16．（4分）已知关于x的一元一次方程4x+2m＝3x﹣1，

（1）求这个方程的解；

（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．

解：（1）移项，得4x﹣3x＝﹣1﹣2m，

所以x＝﹣1﹣2m；

（2）去括号，得3x+3m＝﹣x+1，

移项，得4x＝1﹣3m

解得x

由于两个方程的解相同，

∴﹣1﹣2m

即﹣4﹣8m＝1﹣3m

解，得m＝﹣1

答：m的值为﹣1．

17．（4分）某同学在A，B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．

（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八五折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

解：（1）设随身听和书包的单价分别为x元，y元．

由题意可得，

解得

答：随身听和书包的单价分别为360元，92元；

（2）A超市需要：452×0.85＝384.2（元）；

B超市需要：先购买随身听花费360元，返券90元，还需要92﹣90＝2（元），共花费360+2＝362（元）．

因为384.2＞362，所以在B超市购买省钱．

18．（4分）【定义】

若关于x的一元一次方程ax＝b的解满足x＝b+a，则称该方程为“友好方程”，例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“友好方程”．

【运用】

（1）①﹣2x＝4，②3x＝﹣4.5，③x＝﹣1三个方程中，为“友好方程”的是　②　（填写序号）；

（2）若关于x的一元一次方程3x＝b是“友好方程”，求b的值；

（3）若关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n（n≠0）是“友好方程”，且它的解为x＝n，求m与n的值．

解：（1）①﹣2x＝4，

解得：x＝﹣2，

而﹣2≠﹣2+4，不是“友好方程”；

②3x＝﹣4.5，

解得：x，

而4.5+3，是“友好方程”；

③x＝﹣1，

解得：x＝﹣2，

﹣2≠﹣1，不是“友好方程”；

故答案是：②；

（2）方程3x＝b的解为x．

所以3+b．

解得b；

（3）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“友好方程”，并且它的解是x＝n，

∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n，

解得m＝﹣3，n．

19．（4分）将正整数1，2，3，4，5，……排列成如图所示的数阵：

（1）十字框中五个数的和与框正中心的数11有什么关系？

（2）若将十字框上下、左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和与框正中心的数还有这种规律吗？请说明理由；

（3）十字框中五个数的和能等于180吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由；

（4）十字框中五个数的和能等于2020吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由．

解：（1）∵4+10+11+12+18＝55，

55÷11＝5，

∴十字框中五个数的和是框正中心的数11的5倍，

（2）设框正中心的数为x，

则其余的4个数分别为：x﹣7，x﹣1，x+1，x+7，

∴十字框中五个数的和是：x﹣7+x﹣1+x+x+1+x+7＝5x，

故十字框中五个数的和是框正中心的数的5倍；

（3）不能；理由如下：

设框正中心的数为a，

由（2）得：5a＝180，

∴a＝36，

∵36是第1列的数，

∴十字框中五个数的和不能等于180．

（4）不能；理由如下：

设框正中心的数为b，

由（2）得：5b＝2020，

∴b＝404，

404﹣7＝397，

404﹣1＝403，

404+1＝405，

404+7＝411．

故这五个数分别是397，403，404，405，411．

20．（4分）问题一：如图①，已知AC＝160km，甲，乙两人分别从相距30km的A，B两地同时出发到C地．若甲的速度为80

km/h，乙的速度为60km/h，设乙行驶时间为x（h），两车之间距离为y（km）

（1）当甲追上乙时，x＝　1.5h　．

（2）请用x的代数式表示y．

问题二：如图②，若将上述线段AC弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB正好对应钟表上的弧AB（1小时的间隔），易知∠AOB＝30°．

（1）分针OD指向圆周上的点的速度为每分钟转动　6　km，时针OE指向圆周上的点的速度为每分钟转动　0.5　°；

（2）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？

解：问题一：（1）根据题意得：（80﹣60）x＝30，

解得：x＝1.5．

故答案为：1.5h．

（2）当0≤x≤1.5时，y＝30﹣（80﹣60）x＝﹣20x+30；

当1.5＜x≤2时，y＝80x﹣（60x+30）＝20x﹣30；

当2＜x时，y＝160﹣60x﹣30＝﹣60x+130．

∴两车之间的距离y．

问题二：（1）30÷5＝6（km），

30÷60＝0.5（km）．

故答案为：6；0.5．

（2）设经历t分钟后分针和时针第一次重合，

根据题意得：6t﹣0.5t＝30×2，

解得：t．

答：从2：00起计时，分钟后分针与时针第一次重合．

21．（4分）如图，正方形ABCD的边AB在数轴上，数轴上点A表示的数为，正方形ABCD的面积为16．

（1）数轴上点B表示的数为　4　；

（2）将正方形ABCD沿数轴水平移动，移动后的正方形记为A′B′C′D′，移动后的正方形A′B′C′D′与原正方形ABCD重叠部分的面积为S．

①当S＝4时，画出图形，并求出数轴上点A′表示的数；

②设正方形ABCD的移动速度为每秒2个单位长度，点E为线段AA′的中点，点F在线段BB′上，且BFBB′．经过t秒后，点E，F所表示的数互为相反数，直接写出t的值．

解：（1）∵正方形ABCD的面积为16，

∴AB＝4，

∵点A表示的数为，

∴AO，

∴BO4，

∴数轴上点B表示的数为4，

（2）①∵正方形的面积为16，

∴边长为4，

当S＝4时，分两种情况：

若正方形ABCD向左平移，如图1，

A'B＝4÷4＝1，

∴AA'＝4﹣1＝3，

∴点A'表示的数为3；

若正方形ABCD向右平移，如图2，

AB'＝4÷4＝1，

∴AA'＝4﹣1＝3，

∴点A'表示的数为3．

综上所述，点A'表示的数为3或3；

②t的值为4．

理由如下：

当正方形ABCD沿数轴负方向运动时，点E，F表示的数均为负数，不可能互为相反数，不符合题意；

当点E，F所表示的数互为相反数时，正方形ABCD沿数轴正方向运动，如图3，

∵AEAA'＝×2t＝t，点A表示，

∴点E表示的数为t，

∵BFBB′2tt，点B表示4，

∴点F表示的数为4t，

∵点E，F所表示的数互为相反数，

∴t+（4t）＝0，

解得t．

故答案为：4．

22．（4分）如图，直线AB，CD交于点O，将一个三角板的直角顶点放置于点O处，使其两条直角边分别位于OC的两侧．若OC刚好平分∠BOF，∠BOE＝2∠COE，求∠COE的度数．

小方同学的解答过程是这样的：

解：设∠COE＝α．

由于已知∠BOE＝2∠COE，

所以∠BOE＝2α．

所以∠BOC＝∠BOE+∠COE＝2α+α＝3α．

因为OC平分∠BOF，根据角平分线的定义，

所以∠BOC＝∠FOC＝3α．

因为∠EOF是直角，

所以∠EOF＝90°．

所以∠EOF＝∠FOC+∠COE＝3α+α＝4α＝90°

所以α＝22°50′

即∠COE＝22°50′

以上的解答中有一处错误，导致了从这一步往后的错误．

这一处错误是：　α＝22°50′　．

应该修改为（从错误处开始）：　所以α＝22.5°，即∠COE＝22.5°　．

解：如图，直线AB，CD交于点O，将一个三角板的直角顶点放置于点O处，使其两条直角边分别位于OC的两侧．若OC刚好平分∠BOF，∠BOE＝2∠COE，求∠COE的度数．

小方同学的解答过程是这样的：

解：设∠COE＝α，

由于已知∠BOE＝2∠COE，

所以∠BOE＝2α，

所以∠BOC＝∠BOE+∠COE＝2α+α＝3α，

因为OC平分∠BOF，根据角平分线的定义，

所以∠BOC＝∠FOC＝3α，

因为∠EOF是直角，

所以∠EOF＝90°，

所以∠EOF＝∠FOC+∠COE＝3α+α＝4α＝90°，

所以α＝22.5°，

即∠COE＝22.5°．

所以这一处错误是：α＝22°50′．

应该修改为（从错误处开始）：所以α＝22.5°，

即∠COE＝22.5°．

故答案为：α＝22°50′；所以α＝22.5°，即∠COE＝22.5°．

23．（11分）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．

（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；

（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．

（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．

解：（1）∵M、N分别是AC、BC的中点，

∴MCAC、CNBC，

∵AC＝9cm，CB＝6cm，

∴MN＝MC+CNACBC（AC+BC）（9+6）＝7.5cm；

（2）∵M、N分别是AC、BC的中点，

∴MCAC、CNBC，

∵AC+CB＝acm，

∴MN＝MC+CN（AC+CB）a（cm）；

（3）MNb，

如图，

∵M、N分别是AC、BC的中点，

∴MCAC、CNBC，

∵AC﹣BC＝b cm，

∴MN＝MC﹣CNACBC（AC﹣BC）b．