滤波器设计步骤及实现程序

湖南理工学院信息与通信工程学院

一、IIR脉冲响应不变法设计步骤

1、已知实际数字指标

2、将数字指标化为原型模拟指标，可设T=pi, 

3、求原型模拟滤波器的，其中：

4、根据N写出归一化原型系统函数

5、用代入得原型系统函数

6、将化为部分分式展开形式

7、写出的极点，并写出的部分分式展开形式

8、将化为分子分母形式，验证设计结果。

二、IIR双线性变换法设计步骤

1、已知实际数字指标

2、将数字指标化为原型模拟指标，可设T=2, 

3、求原型模拟滤波器的，其中：

4、根据N写出归一化原型系统函数

5、用代入得原型系统函数

6、用代入原型系统函数得

8、将整理成分子分母形式，验证设计结果。

三、FIR窗函数法设计步骤

1、已知实际数字指标

2、根据选窗的类型：矩形窗as<21dB, A=1.8π,窗函数是 boxcar(N)；三角窗as<25dB, A=6.1π,窗函数是 bartlett(N)；汉宁窗as<44dB, A=6.2π,窗函数是 hanning(N)；哈明窗as<53dB, A=6.6π,窗函数是 hamming(N)；布莱克曼窗as<74dB, A=11π,窗函数是 blackman(N)。

3、根据过渡带和窗类型求总点数。

4、根据写出理想频响指标

5、根据算出

6、对加窗得设计结果

8、写出，验证设计结果。

四、FIR频率采样法设计步骤

1、已知实际数字指标

2、根据选过渡带点数

3、根据过渡带和过渡带点数求总点数。

4、根据求出，设置过渡值

5、根据约束条件构建理想频响的采样指标

6、对进行IDFT变换得，取实部。

7、写出，验证设计结果，优化过渡值大小、过渡点位置和过渡点多少。

一、IIR滤波器设计：脉冲响应不变法实现程序

%用脉冲响应不变法设计butterworth数字低通滤波器 

%技术指标：wp=0.3*pi rad, ap=2dB, ws=0.5*pi rad, as=10dB

clc; clear; close all; format compact;%程序初始化

wp=0.3*pi, ap=2, ws=0.5*pi, as=10,%输入数字指标

T=pi,%假设采样周期，用于设计原型模拟滤波器，不影响H(z)的设计结果

Wp=wp/T, Ap=ap, Ws=ws/T, As=as,%将数字指标转化为原型模拟指标

M=log10( (10 .^ (0.1*Ap) - 1)./(10 .^ (0.1*As) - 1) ) / ...

 计算滤波器阶数

N = ceil( M),%滤波器阶数向上取整

Wcp = Wp / ( (10^(.1*Ap) - 1)^(1/(2*N))),%通带边界精确满足的截止频率

Wcs = Ws / ( (10^(.1*As) - 1)^(1/(2*N))),%阻带边界精确满足的截止频率

Wc=Wcp,%截止频率用通带边界精确满足的截止频率

%Wc=(Wcp+Wcs)/2,%通带阻带边界都有余量的截止频率

%Wc=Wcs,%截止频率用阻带边界精确满足的截止频率

[bp,ap]=butter(N,1,'s'),%求归一化原型滤波器系统函数Ga(p)P157

tf(bp,ap,'variable','p'),%显示Ga(p)

[bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wc),%去归一化得原型滤波器系统函数Ha(s)

tf(bs,as),%显示Ha(s)，分子不足前面补0

[Ak,sk]=residue(bs,as),%将Ha(s)按部分分式形式展开

ak=T*Ak,zk=exp(sk*T),%将Ha(s)的部分分式参数转换为H(z)的部分分式参数

[bz,az]=residuez(ak,zk,0),%将H(z)的部分分式形式化为分子分母等阶形式

tf(bz,az,'variable','z^-1'),%显示系统函数

%[bz1,az1] = impinvar(bs,as,1/T)%调用impinvar函数验证

%tf(bz1,az1,'variable','z^-1'),%显示验证系统函数,z^-1式的分子不足是后面补0

freqz(bz,az,100),%绘出频率特性曲线，检验设计指标

二、IIR滤波器设计：双线性变换法实现程序

%用双线性变换法设计butterworth数字低通滤波器 

%技术指标：wp=0.3*pi rad, ap=2dB, ws=0.5*pi rad, as=10dB

clc; clear; close all; format compact;%程序初始化

wp=0.3*pi, ap=2, ws=0.5*pi, as=10,%输入数字指标

T=2,%假设采样周期，用于设计原型模拟滤波器，不影响H(z)的设计结果

Wp=(2/T)*tan(wp/2), Ap=ap,Ws=(2/T)*tan(ws/2),As=as,%将数字指标预畸变成原型模拟指标

M=log10( (10 .^ (0.1*Ap) - 1)./(10 .^ (0.1*As) - 1) ) / ...

 计算滤波器阶数

N = ceil( M),%滤波器阶数向上取整

Wcp = Wp / ( (10^(.1*Ap) - 1)^(1/(2*N))),%通带边界精确满足的截止频率

Wcs = Ws / ( (10^(.1*As) - 1)^(1/(2*N))),%阻带边界精确满足的截止频率

Wc=Wcp,%截止频率用通带边界精确满足的截止频率

%Wc=(Wcp+Wcs)/2,%通带阻带边界都有余量的截止频率

%Wc=Wcs,%截止频率用阻带边界精确满足的截止频率

[bp,ap]=butter(N,1,'s'),%求归一化原型滤波器系统函数Ga(p)P157

tf(bp,ap,'variable','p'),%显示Ga(p)

[bs,as]=lp2lp(bp,ap,Wc),%去归一化得原型滤波器系统函数Ha(s)

tf(bs,as),%显示Ha(s)，分子不足前面补0

[bz,az] = bilinear (bs,as,1/T),%将模拟低通原型转换为数字低通

tf(bz,az,'variable','z^-1'),%显示系统函数

freqz(bz,az,100),%绘出频率特性曲线，检验设计指标

三、FIR滤波器设计：窗函数法实现程序

%用窗函数法设计数字低通滤波器 

%技术指标：wp=0.27*pi rad, ap=2dB, ws=0.40*pi rad, as=10dB。

clc; clear; close all; format compact;%程序初始化

wp=0.27*pi, ap=2, ws=0.40*pi, as=10,%输入数字指标

%根据as选择窗函数的类型并输入参数A，计算窗口长度M 

  %矩形窗as<21dB,A=1.8*pi,窗函数是 boxcar(N)

  %三角窗as<25dB,A=6.1*pi,窗函数是 bartlett(N)

  %汉宁窗as<44dB,A=6.2*pi,窗函数是 hanning(N)

  %哈明窗as<53dB,A=6.6*pi,窗函数是 hamming(N)

  %布莱克曼窗as<74dB,A=11*pi,窗函数是 blackman(N)

A=1.8*pi,%因as=10dB选矩形窗

Bt=ws-wp; %计算过渡带宽

M=ceil(A/Bt);%根据窗函数的类型计算长度

if mod(M,2)==0; N=M+1, else  N=M, end; %选用第一类滤波器

wc=(wp+ws)/2, %转折频率一般取通带频率和阻带频率的中点

n=-30:40;r=(N-1)/2; %用于计算理想低通单位脉冲响应中数据

hdn=sin(wc*((n-r)+eps))./(pi*((n-r)+eps)); %参见教材P202求理想单位脉冲响应

wn=boxcar(N); %窗函数数据

m=0:N-1;r=(N-1)/2; hm=sin(wc*((m-r)+eps))./(pi*((m-r)+eps));

hn=hm'.*wn; %理想单位脉冲响应加窗处理

figure(1),%绘加窗处理过程图

subplot(3,1,1),stem(n,hdn,'r.'),grid on ,axis([-15,30,-0.2,0.5])

subplot(3,1,2),stem([0:N-1],wn,'.'),grid on ,axis([-15,30,-0.4,1.4])

subplot(3,1,3),stem([0:N-1],hn,'k.'),grid on ,axis([-15,30,-0.2,0.5])

figure(2);freqz(hn,1,100);% 绘频率特性曲线图，检验设计指标

figure(3),%绘幅度响应函数Hg(ω)图

Hejw=fft(hn,256); %计算频率响应函数

k=[0:255];wk=2*pi/256*k;Hgw=(Hejw.').*exp(j*wk*(N-1)/2);  %计算幅频响应

plot(wk/pi,real(Hgw));xlabel('ω/π');ylabel('Hg(ω)');%绘图

四、FIR滤波器设计：频率采样法实现程序

%用频率采样法设计FIR低通滤波器

%技术指标：wc=0.3*pi rad, N=15，不加过渡点

clc; clear; close all; format compact;%程序初始化

wc=0.3*pi;N=15;%设计阶数N为奇的第一类滤波器 

%根据约束条件确定H(k)的值

k=[0:N-1],w=2*pi/N*k;kc=fix(wc*N/(2*pi)),%求频点及转折频率对应的k值

Hk_abs=[ones(1,kc+1),zeros(1,N-2*kc-1),ones(1,kc)],%采样频点幅值

Hk_angles=-(N-1)/N*pi*k;%采样频点相位

Hk= Hk_abs.*exp(j*Hk_angles);%采样频点的H(k)

hn=real(ifft(Hk)),%求H(k)的IDFT得单位脉冲响—即设计结果

%理解频域离散与时域的周期延拓

n=-30:40;r=(N-1)/2;

hdn1=sin(wc*((n-r)+eps))./(pi*((n-r)+eps)); %参见教材P202

hdn2=sin(wc*((n-r)+N+eps))./(pi*((n-r)+N+eps)); %参见教材P202

hdn3=sin(wc*((n-r)-N+eps))./(pi*((n-r)-N+eps)); %参见教材P202

figure(1),%绘时域的周期延拓叠加图

subplot(4,1,1),stem(n,hdn1,'r.'),grid on ,axis([-15,30,-0.1,0.4])

subplot(4,1,2),stem(n,hdn2,'.'),grid on ,axis([-15,30,-0.1,0.4])

subplot(4,1,3),stem(n,hdn3,'.'),grid on ,axis([-15,30,-0.1,0.4])

subplot(4,1,4),stem([0:14],hn,'k.'),grid on ,axis([-15,30,-0.1,0.4])

figure(2)%绘幅度谱变化过程图

w1=[0,wc,wc+eps,2*pi-wc,2*pi-wc+eps,2*pi]/pi;xk=[1,1,0,0,1,1]

plot(w1,xk,'r:'),xlabel('ω/π'),axis([0,2,-0.3,1.2])%绘理想幅频曲线

hold on,stem(2/N*k, Hk_abs,'.'),%绘频率采样图

%绘设计结果的幅频响应图

Hejw=fft(hn,256); %计算频率响应

K=[0:255];wk=2*pi/256*K;Hgw=Hejw.*exp(j*wk*(N-1)/2);  %计算幅频响应

hold on;plot(wk/pi,real(Hgw),'k');xlabel('ω/π');ylabel('Hg(ω)');%绘图