db-olupm广东省惠州市2011届高三第三次调研考试--数学(文)祥解

   .~

1我们‖打〈败〉了敌人。 

　　②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。

惠州市2011届高三第三次调研考试

数学试题(文科） 

本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．

一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 

1．已知复数，，则z = 在复平面上对应的点位于（     ）

   A．第一象限       B．第二象限      C．第三象限       D．第四象限

2．已知向量,且，则向量与的夹角为（     ）

A．          B．         C．           D．

3．在等比数列中，则（     ）

A．3           B．           C．3或             D．或

4. 设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：

①；           ②;

③;             ④.

其中正确命题的个数有（     ）

A.1个         B.2个        C.3个        D.4个

5.是（     ）

A. 最小正周期为的奇函数            B.最小正周期为的偶函数

C. 最小正周期为的奇函数            D. 最小正周期为的偶函数

6. 命题“”的否命题是（     ）

A.            B.若，则

C.            D.

7．若方程在内有解，则的图象是（     ）

8．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（     ）

A．         B．        C．          D．

9．已知定义域为(－1，1)的奇函数又是减函数，且则a的取值范围是（     ）

A．(3，)      B．(2，3)       C．(2，4)           D．(－2，3)

10．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数

，  都有，则的值是（     ）

A.                B.                C.               D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）

（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题都必须做答。

11．已知函数, 则 _____________.

12．已知点P(x,y)满足条件的最大值为8，

则_____________.

13．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的

等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体

的体积是_____________.        

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）已知直线与圆，

则上各点到的距离的最小值为_____________.

15．(几何证明选讲选做题)如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B

两点，割线PCD经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O的半径为_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

（★请在答题卷的指定区域内作答，否则该题计为零分．）

16．（本小题满分12分）

如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得，,且米。

（1）求；

（2）求该河段的宽度。

17．（本题满分12分）

某高校在2010年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.

（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，

求第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？

18．（本题满分14分）

如图，己知中，，，且

  （1）求证：不论为何值，总有

  （2）若求三棱锥的体积．

19．（本题满分14分）

已知动圆过定点，且与定直线相切.

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）若是轨迹的动弦，且过， 分别以、为切点作轨迹的切线，设两切线交点为，证明:.

20．（本题满分14分）

已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

21．（本题满分14分）

已知函数的图象经过点和，记

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求的最小值；

（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.

惠州市2011届高三第三次调研考试

数学试题(文科）答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

2.【解析】由＝cos=，故，选B。

3.【解析】或

或，故选C。

4.【解析】考虑的情形，则排除①③，故正确命题有②、④,故选B。

5．【解析】=，故选C。

6.【解析】由原命题与否命题的关系易得正确答案为C。

7.【解析】方程在内有解，即故选D。

8.【解析】抛物线的焦点为（2，0），∴椭圆焦点在x轴上且半焦距为2，

∴，∴，∴椭圆的方程为 故选A。

9．【解析】由条件得f(a－3)＜f(a2－9)，即  ∴a∈(2,3) 故选B。

10．【解析】由定义有对任意实数x恒成立，且m0,令

∴5x-mx=x对任意实数x恒成立, ∴m=4. 故选A。

二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上）

11.8；  12. k =-6；   13.；    14. ；    15. 2。

11．【解析】。

12.【解析】画图，联立方程组得，代入

13.【解析】由三视图知几何体的直观图是半个圆锥， 。

14.【解析】圆方程为，∴，∴距离最小值为。

15．【解析】设圆的半径为R,由得解得R=2。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．解：（1）

                                  ………………4分

（2）∵，

∴,

由正弦定理得：

∴                                    ………………7分

如图过点B作垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。

在中，∵,………………9分

∴＝

       =（米）               ………………12分

17．解：（1）由题可知，第2组的频数为人,     ……………… 1分

第3组的频率为,              ……………… 2分 

频率分布直方图如下:                                          ……………… 5分

（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人,   ……… 6分      第4组:人,      ……… 7分

第5组:人,     ……… 8分     所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为,

则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:                           …………… 10分

第4组至少有一位同学入选的有: 9种可能。                                         所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为………… 12分

18．(1）证明：因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，

又在△BCD中，∠BCD = 900，所以，BC⊥CD，又AB∩BC＝B，

所以，CD⊥平面ABC，                        …………3分

又在△ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，

且    

所以，不论为何值，EF//CD,总有EF⊥平面ABC：   ………7分

（2）解：在△BCD中，∠BCD = 900，BC＝CD＝1，所以，BD＝,

又AB⊥平面BCD，所以，AB⊥BD，

又在Rt△ABD中，∴AB=BDtan。  ………………10分 

由（1）知EF⊥平面ABE，

所以，三棱锥A－BCD的体积是                  ………………14分

19．解：（1）依题意，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线上……3分

  因为抛物线焦点到准线距离等于4,  所以圆心的轨迹是………………6分

（2） ………………8分

，   ，      ………11分

抛物线方程为    所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是

，  。                                    ………12分

                            ………13分

所以，                                            ………14分

20．解：（1）                ………2分

∴曲线在处的切线方程为，即  ………4分

（2）过点向曲线作切线，设切点为

则

则切线方程为                    ………………6分

将代入上式，整理得。

∵过点可作曲线的三条切线

∴方程（*）有三个不同实数根.                  ……………8分

记,=.

令或1.                                             ……………10分

则的变化情况如下表

由题意有，当且仅当   即时，

函数有三个不同零点.

此时过点可作曲线的三条不同切线。故的范围是   …………14分

21．解：（1）由题意得，解得，            …………2分

        …………4分

（2）由（1）得，         ①

  ②    ①-②得

 . ，        …………7分

设，则由

得随的增大而减小，随的增大而增大。时， 

又恒成立，                             …………10分

 （3）由题意得恒成立

  记，则

                                                     …………12分

是随的增大而增大  

的最小值为，，即.         …………14分