2009年高考北京数学(理科)试题及参

一. 选择题 （本大题共8小题，共0分） 

1. （2009北京理1）在复平面内，复数对应的点位于        （    ）

题目ID：

566fe0-a065-4e5d-8a9e-258b517f0cde

答案：

B

难度：

B

考查点：

复数的四则运算，复数

解析：

本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查.

        ∵，∴复数所对应的点为，故选B.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

复数的四则运算，复数 

2. （2009北京理2）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么                （    ）

题目ID：

e6b756b2-44fd-4bd1-ba3e-8fe1391fec9d

答案：

D

难度：

B

考查点：

平面向量

解析：

取a，b，若，则cab，dab，

       显然，a与b不平行，排除A、B. 

       若，则cab，dab，

即cd且c与d反向，排除C，故选D.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

平面向量 

3. （2009北京理3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点         （    ）

题目ID：

a73086-650b-452f-aec3-e795c5cde43f

答案：

C

难度：

C

考查点：

对数函数的图象，函数

解析：

a---，

b---，

c---，

d---.

故应选C.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

对数函数的图象，函数 

4. （2009北京理4）若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为  （    ）                                                    

题目ID：

5f70ca2c-1a1e-4d28-9229-7234842c409d

答案：

D

难度：

D

考查点：

空间距离，空间向量与立体几何，立体几何

解析：

依题意，，如图，

，故选D.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

空间距离，空间向量与立体几何，立体几何 

5. （2009北京理5）“”是“”的                                  （    ）

题目ID：

18c801-d087-4c85-be2e-2b58c082a515

答案：

A

难度：

C

考查点：

终边相同的角

解析：

本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.

       当时，.

       反之，当时，有，

             或，故应选A.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

终边相同的角 

6. （2009北京理6）若为有理数），则                           （     ）

题目ID：

d42a83ee-01c0-4043-af84-cf882ee72601

答案：

C

难度：

C

考查点：

二项式定理，计数原理

解析：

      ∵

        ，

       由已知，得，∴.故选C.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

二项式定理，计数原理 

7. （2009北京理7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为               （    ）

题目ID：

b43b77-e25e-4b99-bf67-131548bea001

答案：

B

难度：

C

考查点：

排列，组合，计数原理

解析：

首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个），

        当0不排在末位时，有（个），

         于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.故选B.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

排列，组合，计数原理 

8. （2009北京理8）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是        （    ）

题目ID：

bd50d3db-3a1f-4f85-ae88-d38b84a4a3df

答案：

A

难度：

D

考查点：

直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线与方程，平面解析几何

解析：

本题采作数形结合法易于求解，如图，

设，

则，

∵，

∴

消去n,整理得关于x的方程            （1）

∵恒成立，

∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线与方程，平面解析几何 

二. 填空题 （本大题共12小题，共0分） 

9. （2009北京理9）._________. 

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题目ID：

3df17a70-1f83-48f0-b836-9422d20c8d94

答案：

难度：

C

考查点：

极限

解析：

，故应填.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

极限 

10. （2009北京理10）.若实数满足则的最小值为__________. 

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题目ID：

1d4f5be7-e1be-48dc-8362-c29e5c3b1671

答案：

难度：

B

考查点：

简单的线性规划问题，不等式

解析：

如图，

当时，为最小值.故应填.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

简单的线性规划问题，不等式 

11. （2009北京理11）设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________. 

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题目ID：

5b53d5d2-ef86-4845-9656-465769962888

答案：

难度：

C

考查点：

导数的几何意义，函数与导数

解析：

取，如图，采用数形结合法，

易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

导数的几何意义，函数与导数 

12. （2009北京理12）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________.                         

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题目ID：

f2d7255c-c6-4474-878e-00b44962a745

答案：

难度：

D

考查点：

余弦定理，椭圆的定义，圆锥曲线与方程，平面解析几何

解析：

∵，

∴，

∴，

又，           

∴，

又由余弦定理，得，

∴，故应填.     

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

余弦定理，椭圆的定义，圆锥曲线与方程，平面解析几何 

13. （2009北京理13）若函数  则不等式的解集为____________. 

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题目ID：

11f408-da49-4249-63-17a9d14978

答案：

难度：

D

考查点：

分段函数，函数，不等式

解析：

（1）由.

（2）由.

∴不等式的解集为，∴应填.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

分段函数，函数，不等式 

14. （2009北京理14）已知数列满足：则________；=_________. 

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题目ID：

b01997-559f-4a9c-a87b-a63f2bf4cf78

答案：

1,0

难度：

D

考查点：

数列的递推公式，数列

解析：

依题意，得，.

       ∴应填1，0.

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

数列的递推公式，数列 

15. （2009北京理15）.在中，角的对边分别为，.     

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的面积. 

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题目ID：

c8dd69d3-a903-44fd-8291-d67c7315958e

答案：

(Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角,且,

∴,

∴.

       (Ⅱ)由(Ⅰ)知,     

             又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,得

∴.

∴△ABC的面积.

难度：

C

考查点：

正弦定理，三角形面积公式（两边夹角），解三角形，三角函数

解析：

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

正弦定理，三角形面积公式（两边夹角），解三角形，三角函数 

16. （2009北京理16）如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且     

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.

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题目ID：

62b34a78-c83e-4785-9e8b-9ed43987cbff

答案：

解法1(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.

又,∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,

∴,

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,

∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,

∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,

∴△ABP为等腰直角三角形,∴,

∴在Rt△ABC中,,∴.

∴在Rt△ADE中,,

∴与平面所成的角的大小.

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,

又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,

∴∠AEP为二面角的平面角,

∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.     

∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,

故存在点E使得二面角是直二面角.

解法2如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,

        设,由已知可得

       .

       (Ⅰ)∵,     

∴,∴BC⊥AP.

又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.

(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,

∴,

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,

∵,

∴.

∴与平面所成的角的大小.

(Ⅲ)同解法1.

难度：

D

考查点：

直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，空间向量与立体几何，立体几何

解析：

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，空间向量与立体几何，立体几何 

17. （2009北京理17）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.

（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；               

（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望. 

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题目ID：

f37527da-dc2c-406a-9be1-7fe05da93b40

答案：

(Ⅰ)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.

(Ⅱ)由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).     

事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4),

∴,     

∴即的分布列是

∴的期望是.

难度：

C

考查点：

事件的性，离散型随机变量的分布列，二项分布，随机变量的数学期望

解析：

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

事件的性，离散型随机变量的分布列，二项分布，随机变量的数学期望 

18. （2009北京理18）

设函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；     

（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 

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题目ID：

e1de0002-34c3-46fe-9433-cdae7f37af50

答案：

(Ⅰ),

             曲线在点处的切线方程为.

(Ⅱ)由,得,

      若,则当时,,函数单调递减,

              当时,,函数单调递增,     

     若,则当时,,函数单调递增,

       当时,,函数单调递减,     

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若,则当且仅当,

即时,函数内单调递增,

若,则当且仅当,

即时,函数内单调递增,     

综上可知,函数内单调递增时,的取值范围是.

难度：

E

考查点：

曲线的切线方程，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数与导数

解析：

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

曲线的切线方程，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数与导数 

19. （2009北京理19）.已知双曲线的离心率为，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交

于不同的两点，证明的大小为定值 

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题目ID：

ab98c758-9ce0-4de3-84f0-d025b587231f

答案：

解法1(Ⅰ)由题意,得,解得,     

               ∴,∴所求双曲线的方程为.

(Ⅱ)点在圆上,     

圆在点处的切线方程为,

化简得.     

由及得,

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,

∴,且,     

设A、B两点的坐标分别为,

则,     

∵,且

,

.

∴ 的大小为 

解法2(Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)点在圆上,     

圆在点处的切线方程为,

化简得.由及得     

                 ①

                 ②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,

∴,设A、B两点的坐标分别为,

则,     

∴,∴ 的大小为 

(∵且,∴,从而当时,方程①和方程②的判别式均大于零)

难度：

E

考查点：

双曲线的第二定义

解析：

点拨：

暂无

解题方法：

暂无

思想方法：

暂无

涉及知识：

双曲线的第二定义 

20. （2009北京理20）已知数集