1.集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误:
(1){1}∈A ; (2){c}∈B; (3) {1,{2},4}A;(4){a,b,c}B;
(5){2}A; (6){c}B; (7); (8){{2}}A;
(9){}B; (10)∈{{2},3}.
解:(1)不正确。因为{1}是集合,集合与集合之间一般不能有属于关系。
(2)正确。虽然{c}是集合,但是它又是B中的元素。
(3)正确。虽然{1,{2},4}是A的真子集,但是同时满足子集定义,故可以这样表示。
(4)不正确。因为cB。
(5)不正确。虽然{2}是一个集合,但是它只是A中的一个元素,不能有包含关系。
(6)不正确。理由同(5)。
(7)正确,符合定义。
(8)正确,都符合定义。
(9)不正确,因为B中本没有元素。
(10)不正确。不是{{2},3}是中的元素,不能有属于关系,若写成{{2},3}则可以。
2.确定下列集合的幂集:
(1)A={a,{b}}; (2)B={1,{2,3}};
(2)C={,a,{b}}; (4)D=。
解 (1)因为A的所有子集为,{a},{{b}},{a,{b}},所以
(2)因为B的所有子集为,{1},{{2,3}}和{1,{2,3}}。所以
(3)因为C的所有子集为,{},{a},{{b}},{,a},{,{b}},{a,{b}},{,a,{b}},所以
(4)因为D的子集为,{},所以
说明 欲求一个给定集合的幂集合,首先把这个给定集合的所有子集列出,并检验所列子集的个数是否等于个,n为给定集合的元数,当然,熟练者可以省略这一步骤.
2.判定以下论断哪些是恒成立的哪些是恒不成立的哪些是有时成立的
(1)若a∈A,则a∈A∪B;
(2)若a∈A,,则a∈A∩B;
(3)若a∈A∪B,则a∈A;
(4)若a∈A∩B,则a∈B;
(5)若aA,则a∈A∪B;
(6)若aA,则a∈A∩B;
(7)若,则A∩B=A;
(8)若,则A∩B=B.
解 (1)恒成立.因为A A∪B,若a∈A,则a∈A∪B.
(2)有时成立.若a∈A,但 A∩B;若a∈A,且a∈B,则a∈A∩B.
(3)有时成立.若a∈A∪B,可能有三种情形: a∈A但对于第一、三种情形,有a∈A,但是第二种情形,。
(4)恒成立。因为a∈A∩B,必有a∈A,且a∈B。
(5)有时成立。虽然,但是,有a∈B或两种可能,若,则 A∪B;若a∈B,有a∈A∪B。
(6)恒不成立。因为,即使a∈B,也有 A∩B,若,更有 A∩B。
(7)恒成立。当,A是B的子集,当然满足A∩B=A。
(8)有时成立。既然,就有两种可能:A=B或者AB。若A=B,则A∩B=B成立;若AB,则A∩B=B就不成立。
4.设全集合E={a,b,c,d,e},A={a,d},B={a,b,e},C={b,d},求下列集合:
(1)A∩~B; (2)(A∩B)∪~C;
(3)~A∪(B-C);(4)
解 (1)A∩~B={a,d}∩{c,d}={d}.
(2) (A∩B)∪~C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}.
(3)~A∪(B-C)={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}.
(4)={,{a},{d},{a,d}}.
={,{a},{b},{e},{a,b},{a,e},{b,e},{a,b,e}}
故 ={,{a}}.
5. 设A和B是全集E的子集,利用运算律证明:
(1)(A∩B) ∪(A∩~B)=A;
(2)B∪~((~A∪B) ∩A)=E.
证 (1) (A∩B) ∪(A∩~B)=A∩(B∪~B)=A∩E=A
(3)B∪~((~A∪B) ∩A)
=B∪~((~A ∩A) ∪(B∩A) (分配律)
=B∪~(∪(B∩A)) (互补律)
=B∪~(B∩A) (同一律)
=B∪(~B∪~A) (德·摩根律)
=(B∪~B)∪~A (结合律)
=E∪~A (互补律)
=E.
说明 利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写.
6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证:
(1)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A);
(2)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)= (A∩B)∪(~A∩B∩C)∪(A∩~B∩C).
证(1) (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)
=(( A∪B)∩(C∪B))∩(A∪C)
=((A∩C)∪B)∩(A∪C)
=((A∩C)∩(A∪C)∪(B∩(A∪C))
=(( A∩C∩A)∪(A∩C∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)
=(A∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)
=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)
(3) (A∩B)∪(~A∩B∩C)∪(A∩~B∩C)
=(A∩B)∪(((~A∩B) ∪(A∩~B)) ∩C)
=(A∩B)∪(((~A∪A)∩(~A∪~B)∩(B∪A)∩(B∪~B))∩C)
=(A∩B)∪((~(A∩B)∩(A∪B)∩C)
=((A∩B)∪(~(A∩B))∩((A∩B)∩(A∪B))∩((A∩B)∪C)
=((( A∩B)∪A)∪B)∩((A∪C)∩(B∪C))
=(A∪B)∩(B∪C)∩(A∪C).
7.利用A-B=A∩~B与吸收律及其它运算律,证明
(((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A)=~A∩B
证 (((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A)
=((A∪B)∩((A∪B)∪C))-((A∪(B-C))∩A)
=(A∪B)-((A∪B)∩(A∪~C)∩A)
=(A∪B)-(A∩(A∪B)∩(A∪~C)
=(A∪B)-(A∩(A∪~C))
=(A∪B)-A
=(A∪B)∩~A
=(A∩~A)∪(B∩~A)
=∪(~A∩B)
=~A∩B.
说明 本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律,才使运算简便,否则将很繁杂。
8.设A,B,C为三个任意集合,试证明
(1)若A×A=B×B,则A=B;
(2)若A×B=A×C,且A≠,则B=C.
证 (1)设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此.
对任意b∈B,有(b,b)∈B×B,则(b,b)∈A×A,于是b∈A,因此BA,所以A=B.
(2) 若B=,则A×B=,因为A×B==A×C,于是A×C=,而A=,只有C=,故B=C.
若B≠,设任意b∈B,因为A≠,再设a∈A,则(a,b) ∈A×B,又因为A×B==A×C,则(a,b)∈A×C,于是b∈C,所以BC.
同理可证CB,故B=C.
说明 在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明.
8.在具有x和y轴的笛卡尔坐标系中,若有X={x︱x∈R,且-3≤x≤2},Y={y︱y∈R,且-2≤y≤0},试求出笛卡尔积X×Y,Y×X,画出其图像.
解 X×Y={(x,y)︱-3≤x≤2, -2≤y≤0,x,y∈R}
Y×X={(y,x)︱-2≤y≤0, -3≤x≤2, x,y∈R}
X×Y与Y×X的图像如图1-1所示的阴影部分.
说明 对于笛卡尔积Y×X的图像,从(y,x)∈Y×X,点(y,x)要求第一元素为该点的横坐标,第二元素为该点的纵坐标,所以将图1-1中右图表示两轴的字母换成y,x.
图 1—1