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集合典型习题

来源:动视网 责编:小OO 时间:2025-09-27 11:30:46
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集合典型习题

第一章集合1.集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误:(1){1}∈A;(2){c}∈B;(3){1,{2},4}A;(4){a,b,c}B;(5){2}A;(6){c}B;(7);(8){{2}}A;(9){}B;(10)∈{{2},3}.解:(1)不正确。因为{1}是集合,集合与集合之间一般不能有属于关系。(2)正确。虽然{c}是集合,但是它又是B中的元素。(3)正确。虽然{1,{2},4}是A的真子集,但是同时满足子集定义,故可以这样表示。(4)
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导读第一章集合1.集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误:(1){1}∈A;(2){c}∈B;(3){1,{2},4}A;(4){a,b,c}B;(5){2}A;(6){c}B;(7);(8){{2}}A;(9){}B;(10)∈{{2},3}.解:(1)不正确。因为{1}是集合,集合与集合之间一般不能有属于关系。(2)正确。虽然{c}是集合,但是它又是B中的元素。(3)正确。虽然{1,{2},4}是A的真子集,但是同时满足子集定义,故可以这样表示。(4)
第一章  集合

1.集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误:

(1){1}∈A ;  (2){c}∈B; (3) {1,{2},4}A;(4){a,b,c}B;

(5){2}A;   (6){c}B; (7);   (8){{2}}A;

(9){}B;    (10)∈{{2},3}.

解:(1)不正确。因为{1}是集合,集合与集合之间一般不能有属于关系。

   (2)正确。虽然{c}是集合,但是它又是B中的元素。

   (3)正确。虽然{1,{2},4}是A的真子集,但是同时满足子集定义,故可以这样表示。

   (4)不正确。因为cB。

   (5)不正确。虽然{2}是一个集合,但是它只是A中的一个元素,不能有包含关系。

   (6)不正确。理由同(5)。

   (7)正确,符合定义。

   (8)正确,都符合定义。

   (9)不正确,因为B中本没有元素。

   (10)不正确。不是{{2},3}是中的元素,不能有属于关系,若写成{{2},3}则可以。

2.确定下列集合的幂集:

(1)A={a,{b}}; (2)B={1,{2,3}};

(2)C={,a,{b}};   (4)D=。

解  (1)因为A的所有子集为,{a},{{b}},{a,{b}},所以

      (2)因为B的所有子集为,{1},{{2,3}}和{1,{2,3}}。所以

(3)因为C的所有子集为,{},{a},{{b}},{,a},{,{b}},{a,{b}},{,a,{b}},所以

(4)因为D的子集为,{},所以

说明   欲求一个给定集合的幂集合,首先把这个给定集合的所有子集列出,并检验所列子集的个数是否等于个,n为给定集合的元数,当然,熟练者可以省略这一步骤.

2.判定以下论断哪些是恒成立的哪些是恒不成立的哪些是有时成立的

(1)若a∈A,则a∈A∪B;

(2)若a∈A,,则a∈A∩B;

(3)若a∈A∪B,则a∈A;

(4)若a∈A∩B,则a∈B;

(5)若aA,则a∈A∪B;

(6)若aA,则a∈A∩B;

(7)若,则A∩B=A;

(8)若,则A∩B=B.

  解  (1)恒成立.因为A A∪B,若a∈A,则a∈A∪B.

(2)有时成立.若a∈A,但 A∩B;若a∈A,且a∈B,则a∈A∩B.

(3)有时成立.若a∈A∪B,可能有三种情形: a∈A但对于第一、三种情形,有a∈A,但是第二种情形,。

(4)恒成立。因为a∈A∩B,必有a∈A,且a∈B。

(5)有时成立。虽然,但是,有a∈B或两种可能,若,则 A∪B;若a∈B,有a∈A∪B。

(6)恒不成立。因为,即使a∈B,也有 A∩B,若,更有 A∩B。

(7)恒成立。当,A是B的子集,当然满足A∩B=A。

(8)有时成立。既然,就有两种可能:A=B或者AB。若A=B,则A∩B=B成立;若AB,则A∩B=B就不成立。

4.设全集合E={a,b,c,d,e},A={a,d},B={a,b,e},C={b,d},求下列集合:

(1)A∩~B;   (2)(A∩B)∪~C;

(3)~A∪(B-C);(4)

解  (1)A∩~B={a,d}∩{c,d}={d}.

(2) (A∩B)∪~C={a}∪{a,c,e}={a,c,e}.

(3)~A∪(B-C)={b,c,e}∪{a,e}={a,b,c,e}.

(4)={,{a},{d},{a,d}}.

={,{a},{b},{e},{a,b},{a,e},{b,e},{a,b,e}}

故   ={,{a}}.

5. 设A和B是全集E的子集,利用运算律证明:

(1)(A∩B) ∪(A∩~B)=A;

(2)B∪~((~A∪B) ∩A)=E.

证  (1) (A∩B) ∪(A∩~B)=A∩(B∪~B)=A∩E=A

(3)B∪~((~A∪B) ∩A)

=B∪~((~A ∩A) ∪(B∩A)         (分配律)

=B∪~(∪(B∩A))                (互补律)

=B∪~(B∩A)                    (同一律)

=B∪(~B∪~A)                  (德·摩根律)

=(B∪~B)∪~A                  (结合律)

=E∪~A                         (互补律)

=E.

说明 利用运算律证明集合恒等式时,后面的运算律名称不一定要求写,只是刚开始做这种类型题时标一下,目的在于熟悉理解运算律内容,稍加熟练后便可以不写.

6. 设A,B,C 是三个任意集合,求证:

(1)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)=(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A);

(2)(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)= (A∩B)∪(~A∩B∩C)∪(A∩~B∩C).

证(1)  (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)

   =(( A∪B)∩(C∪B))∩(A∪C)

   =((A∩C)∪B)∩(A∪C)

   =((A∩C)∩(A∪C)∪(B∩(A∪C))

   =(( A∩C∩A)∪(A∩C∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)

   =(A∩C)∪(B∩A)∪(B∩C)

   =(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)

(3)  (A∩B)∪(~A∩B∩C)∪(A∩~B∩C)

=(A∩B)∪(((~A∩B) ∪(A∩~B)) ∩C)

=(A∩B)∪(((~A∪A)∩(~A∪~B)∩(B∪A)∩(B∪~B))∩C)

=(A∩B)∪((~(A∩B)∩(A∪B)∩C)

=((A∩B)∪(~(A∩B))∩((A∩B)∩(A∪B))∩((A∩B)∪C)

=((( A∩B)∪A)∪B)∩((A∪C)∩(B∪C))

=(A∪B)∩(B∪C)∩(A∪C).

7.利用A-B=A∩~B与吸收律及其它运算律,证明

(((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A)=~A∩B

证  (((A∪B∪C)∩(A∪B))-((A∪(B-C))∩A)

   =((A∪B)∩((A∪B)∪C))-((A∪(B-C))∩A)

   =(A∪B)-((A∪B)∩(A∪~C)∩A)

   =(A∪B)-(A∩(A∪B)∩(A∪~C)

   =(A∪B)-(A∩(A∪~C))

   =(A∪B)-A

   =(A∪B)∩~A

   =(A∩~A)∪(B∩~A)

   =∪(~A∩B)

   =~A∩B.

说明 本题证明过程中的第二步、第四步、第五步应用了吸收律,才使运算简便,否则将很繁杂。

8.设A,B,C为三个任意集合,试证明

(1)若A×A=B×B,则A=B;

(2)若A×B=A×C,且A≠,则B=C.

证  (1)设任意a∈A,则(a,a)∈A×A,因为A×A=B×B,有(a,a)∈B×B,故a∈B,因此.

 对任意b∈B,有(b,b)∈B×B,则(b,b)∈A×A,于是b∈A,因此BA,所以A=B.

   (2) 若B=,则A×B=,因为A×B==A×C,于是A×C=,而A=,只有C=,故B=C.

若B≠,设任意b∈B,因为A≠,再设a∈A,则(a,b) ∈A×B,又因为A×B==A×C,则(a,b)∈A×C,于是b∈C,所以BC.

同理可证CB,故B=C.

  说明  在每一节后面的证明题,若不能应用本节给出的定理,一般要考虑用定义证明.

8.在具有x和y轴的笛卡尔坐标系中,若有X={x︱x∈R,且-3≤x≤2},Y={y︱y∈R,且-2≤y≤0},试求出笛卡尔积X×Y,Y×X,画出其图像.

 解  X×Y={(x,y)︱-3≤x≤2, -2≤y≤0,x,y∈R}

Y×X={(y,x)︱-2≤y≤0, -3≤x≤2, x,y∈R}

 X×Y与Y×X的图像如图1-1所示的阴影部分.

说明  对于笛卡尔积Y×X的图像,从(y,x)∈Y×X,点(y,x)要求第一元素为该点的横坐标,第二元素为该点的纵坐标,所以将图1-1中右图表示两轴的字母换成y,x.

图 1—1

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集合典型习题

第一章集合1.集合A={1,{2},3,4},B={a,b,{c}},判定下列各题的正确与错误:(1){1}∈A;(2){c}∈B;(3){1,{2},4}A;(4){a,b,c}B;(5){2}A;(6){c}B;(7);(8){{2}}A;(9){}B;(10)∈{{2},3}.解:(1)不正确。因为{1}是集合,集合与集合之间一般不能有属于关系。(2)正确。虽然{c}是集合,但是它又是B中的元素。(3)正确。虽然{1,{2},4}是A的真子集,但是同时满足子集定义,故可以这样表示。(4)
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