云师大线性代数试题及答案A

线性代数试题及答案

一、填空

1．排列3421的逆序数为_______.

   2．若方阵满足，则           .

3．设，则__________ ____.

4．设为三阶方阵，，则____________.

5．设,=         .

6．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是____________.

7．若线性相关，则             .

8．设矩阵的秩，则元齐次线性方程组的解集的秩         .

9．已知，则_______.

10．设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，则_______.

二、选择

   1.设方阵满足,则必有（    ）.

a.;     b.;     c.;     d..

2．设为阶方阵，是非零常数，则（    ）.

a.;      b.;          c.;          d..

3．设齐次方程的通解为，则系数矩阵为(    ).

a.;     b.;     c.;     d..

4．向量组线性无关的充要条件是（    ）.

a.存在不全为零的数使;

b.向量组中任意两个向量都线性无关;

c.向量组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示;

d.向量组中任意一个向量都不能用其余向量线性表示.

5．设是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(    ).

a.若仅有零解，则有惟一解；      b.若有非零解，则有无穷多解；   

c.若有无穷多解，则仅有零解；    d.若有无穷多解，则有非零解.

三、判断

（   ） 1．初等变换中，交换两行的位置，矩阵变号.

（   ） 2．若3阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解为6个行列式.

（   ） 3．任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成标准形.

（   ） 4．若矩阵中有某个阶子式不为0，则.

（   ） 5．线性无关的向量组中任何一部分组都线性无关.

1．  当取何值时，齐次线性方程组有非零解？（10分）                     

2．  计算阶行列式.（10分）

3．若，求.（10分）

4．求齐次线性方程组的基础解系.

┈ 

5．设，当为何值时，此方程有惟一解、无解或有无穷多解？

并在有无穷多解时求其通解.（14分）

1. 已知向量组线性无关,试证向量组线性无关.（6分）

答案：

一．（1） 5  （2）   （3）   （4） （5）24

（6） （7）2或 （8） n     (10)   n 

二．单选择题。

1. d        2. c       3. a        4. d         5.d

三．判断题。

1.错，2.错，3.错，4.对，5.对

四．计算题。

1.解：由定理知，系数行列式为0.

 分

 分

需验证，当时，齐次线性方程组有非零解。 分

2.   

3.　　　　　　 ２分

 分

  分

4.解： 分

同解方程为 分

分别取， 分

得基础解系 分

5.解：由于系数矩阵是方阵，其行列式

 分

当即且时，方程组有惟一解。 分

当时，增广矩阵为 

方程组无解； 分

当时，增广矩阵为

方程组有无穷多解， 分

且其通解为 分

五．证明题。

1.证明：，记作.分

由于则可逆，由定理知 分

因为的列向量组线性无关，即，从而，  

所以线性无关。 分