2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷(理科)及答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（　　）

A．    B．    C．3    D．﹣3

2．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（　　）

A．{（﹣1，1）}    B．[0，+∞）    C．（﹣1，1）    D．∅

3．（5分）“x＞0”是“（）x＜3”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（　　）

A．    B．    C．    D．

5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A．a∥b，b⊂α，则a∥α    B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b

C．a⊂α，b⊂α，α∥α，b∥β，则α∥β    D．α∥β，a⊂α，则a∥β

7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（　　）

A．关于点（，0）对称    B．关于点（，0）对称

C．关于直线x=对称    D．关于直线x=对称

8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（　　）

A．150m    B．75m    C．150m    D．300m

9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）

A．4π    B．36π    C．48π    D．24π

10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）

A．[0，+∞）    B．（﹣∞，﹣3]    C．（﹣∞，0]    D．[﹣3，+∞）

11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（　　）

A．    B．    C．    D．

12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（　　）

A．ln2    B．ln2﹣1    C．﹣ln2    D．﹣ln2﹣1

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为　   　．

14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值　   　．

15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是　   　．

16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是　   　．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．

18．（12分）设f（x）=aex﹣cos（x），其中a＞0．

（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；

（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围．

19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=c2．

（1）求sinB的值；

（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．

20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（Ⅱ）若SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．

21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性

（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．

请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．

（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；

（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．

（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；

（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．

2018年四川省泸州市高考数学一诊试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知tan（）=，则tanα的值为（　　）

A．    B．    C．3    D．﹣3

【解答】解：由tan（）=，得，

∴，解得tanα=．

故选：A．

2．（5分）已知集合A={x|y=﹣2x﹣1}，B={y|y=x2}，则A∩B=（　　）

A．{（﹣1，1）}    B．[0，+∞）    C．（﹣1，1）    D．∅

【解答】解：∵集合A={x|y=﹣2x﹣1}=R，

B={y|y=x2}={y|y≥0}，

∴A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．

故选：B．

3．（5分）“x＞0”是“（）x＜3”的（　　）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【解答】解：“（）x＜3”⇔“3﹣x＜3”⇔“﹣x＜1”⇔“x＞﹣1”，

故“x＞0”是“（）x＜3”的充分不必要条件，

故选：A．

4．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正切值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：以D为坐标原点，DC，DA，DD1分别为x，y，z轴

建立空间直角坐标系，

设正方体的边长为2，

可得A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），

B1（2，2，2），C1（2，0，2），

由中点坐标公式可得E（2，1，0），F（2，1，2），

则=（2，﹣1，2），=（0，1，﹣2），

则cos＜，＞===﹣，

可得异面直线AF与C1E所成角的余弦值为，

则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为=，

可得异面直线AF与C1E所成角的正切值为，

故选：C．

5．（5分）函数y=xln|x|的大致图象是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：令f（x）=xln|x|，易知f（﹣x）=﹣xln|﹣x|=﹣xln|x|=﹣f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；

又x＞0时，f（x）=xlnx，容易判断，当x→+∞时，xlnx→+∞，排除D选项；

令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意．

故选：C．

6．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（　　）

A．a∥b，b⊂α，则a∥α    B．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b

C．a⊂α，b⊂α，α∥α，b∥β，则α∥β    D．α∥β，a⊂α，则a∥β

【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：

在A 中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；

在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；

在C中，a⊂α，b⊂α，α∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；

在D中，α∥β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a∥β，故D正确．

故选：D．

7．（5分）已知函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，则函数y=cos（2x+φ）的图象（　　）

A．关于点（，0）对称    B．关于点（，0）对称

C．关于直线x=对称    D．关于直线x=对称

【解答】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，

∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，

故选：A．

8．（5分）如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30°，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45°，则此山的高CD=（　　）

A．150m    B．75m    C．150m    D．300m

【解答】解：设此山高h（m），由题意在点A处时测得点D的仰角为30°，得AC=h，

在△ABC中，∠CBA=90°，测得点D的仰角为45°，

∴BC=h，AB=300．

根据勾股定理得，3h2=h2+90000，

∴h=150

故选：C．

9．（5分）已知圆锥的高为5，底面圆的半径为，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）

A．4π    B．36π    C．48π    D．24π

【解答】解：设球的半径为R，

则∵圆锥的高h=5，底面圆的半径r=，

∴R2=（R﹣h）2+r2，即R2=（R﹣5）2+5，

解得：R=3，

故该球的表面积S=4πR2=36π，

故选：B．

10．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，且对任意x∈R都有f（f（x）+x3）=2，若函数g（x）=f（x）﹣kx在[﹣1，1]上与函数f（x）具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）

A．[0，+∞）    B．（﹣∞，﹣3]    C．（﹣∞，0]    D．[﹣3，+∞）

【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）的导函数f′（x）无零点，∴函数f（x）是单调函数，

令f（x）+x3=t，则f（x）=t﹣x3，

f′（x）=﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，故f（x）在[﹣1，1]递减，

结合题意g（x）=﹣x3+t﹣kx在[﹣1，1]递减，

故g′（x）=﹣3x2﹣k≤0在[﹣1，1]恒成立，

故k≥﹣3x2在[﹣1，1]恒成立，故k≥0，

故选：A．

11．（5分）已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥与半圆柱的组合体，

三棱锥的长宽高分别为：2，1，2，故体积为：，

半圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：π，

故组合体的体积V=+π，

故选：D．

12．（5分）函数f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（　　）

A．ln2    B．ln2﹣1    C．﹣ln2    D．﹣ln2﹣1

【解答】解：令f（x）=x﹣ln（x+2）+ex﹣a+4ea﹣x，

令g（x）=x﹣ln（x+2），g′（x）=1﹣=，

故g（x）=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，

故当x=﹣1时，g（x）有最小值﹣1﹣0=﹣1，

而ex﹣a+4ea﹣x≥4，

（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；

故f（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；

故x=a+ln2=﹣1，

即a=﹣1﹣ln2．

故选：D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）已知函数f（x）=2cos（+x），且f（﹣a）=，则f（a）的值为　　．

【解答】解：f（x）=2cos（+x）=﹣2sinx，函数f（x）为奇函数，

又f（﹣a）=，

∴f（a）=﹣f（﹣a）=．

故答案为：．

14．（5分）设函数f（x）=，若f（a）=9，则a的值　3　．

【解答】解：若a＞2，由f（a）=9，得2a+1=9，得a=3，

若0＜a≤2，由f（a）=9，得log2a+4=9，得a=32，舍去．

综上a=3，

故答案为：3．

15．（5分）已知函数f（x）=x（2x﹣），若f（x﹣1）＞f（x），则x的取值范围是　（﹣∞，）　．

【解答】解：x＞0时，f（x）在（0，+∞）递增，

而f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函数，

故f（x）在（﹣∞，0）递减，

若f（x﹣1）＞f（x），

则|x﹣1|＞|x|，即（x﹣1）2＞x2，

解得：x＜，

故答案为：（﹣∞，）．

16．（5分）一个长，宽，高分别为1、2、3密封且透明的长方体容器中装有部分液体，如果任意转动该长方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是　（1，5）　．

【解答】解：长方体ABCD﹣EFGH，若要使液面不为三角形，

则液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC；

而当平面EHD平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该长方体，

液面的形状都不可能是三角形；

所以液体体积必须大于三棱柱G﹣EHD的体积，

并且小于长方体ABCD﹣EFGH体积﹣三棱柱B﹣AFC体积1﹣=，

又长方体体积为1×2×3=6，

所以液体体积取值范围是×6＜V液体＜×6，即1＜V液体＜5．

故答案为：（1，5）．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．（12分）已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，求m的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+a=

=，

∴=，

∴a=；

（2）由（1）知，f（x）=，

若方程f（x）+m+1=0在[，]内有两个零点，则方程f（x）=﹣m﹣1在[，]内有两个零点，

即函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，

如图：

由图可知，要使函数y=f（x）的图象与y=﹣m﹣1的图象在[，]内有两个不同交点，

则，即．

18．（12分）设f（x）=aex﹣cos（x），其中a＞0．

（Ⅰ）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；

（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上存在唯一极值，求正数a的取值范围．

【解答】证明：（Ⅰ）∵f（x）=aex﹣cos（x），

∴f′（x）=aex+sin（x），

∴k=f′（0）=a，f（0）=a，

∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））的切线方程为y﹣a=ax，即ax﹣y+a=0，

∴a（x+1）﹣y=0，

∴ax﹣y+a=0过定点（﹣1，0），

∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点：

解：（2）∵f（x）=aex﹣cos（x），

∴f′（x）=aex+sin（x），

∵f（x）在（﹣1，1）上存在唯一的极值点，

∴f′（﹣1）f′（1）＜0，

∴（﹣）（ae+）＜0，

解得﹣＜a＜，

故a 的范围为（﹣，）．

19．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA=2sin（A+B），它的面积S=c2．

（1）求sinB的值；

（2）若D是BC边上的一点，cos，求的值．

【解答】解：（1）∵sinA=2sin（A+B），

∴sinA=2sinC，a=2c，

∴S=sinB•c•2c=c2，

故sinB=；

（2）由（1）sinB=，cos，

∴cosB=，sin∠ADB=，

∴sin∠BAD

=sin（B+∠ADB）

=sinBcos∠ADB+cosBsin∠ADB

=×+×

=，

由=，

得：=，解得：BD=c，

故=3．

20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AD=SD，BC=CD=，侧面SAD⊥底面ABCD．

（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAD；

（Ⅱ）若SD与底面ABCD所成的角为60°，求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．

【解答】（1）证明：取AB中点M，连接DM，

∵底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=，

∴四边形BCDM是正方形，且AM=DM．∴∠DAB，∠ADC=90°，

∴DB⊥AD

又∵侧面SAD⊥底面ABCD，侧面SAD∩底面ABCD=AD，BD⊂面ABCD，

∴BD⊥平面SAD，又DB⊂平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAD

（2）解∵侧面SAD⊥底面ABCD，∴∠SDA就是SD与底面ABCD所成的角或其补角，∴∠SDA=60°或120°，下面可以分类讨论，

在此求解∠SDA=60°的情况．

∵AD=SD，∴△SAD是等边△．

如图以D为原点，DA，DB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，

设CD=2，则S（，0，），B（0，2，0），C（﹣，，0）

，

设面SCB的法向量为：

，可得

设面SBD的法向量为．

可得

cos==

∴二面角C﹣SB﹣D的余弦值为．

21．（12分）已知函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性

（Ⅱ）当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2，且x1＜x2，证明：x1x22＜2．

【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=﹣ax+alnx（a＞0）的定义域为（0，+∞）

f′（x）=x﹣a+=，（a＞0），△=a2﹣4a．

①当△≤0，即0＜a≤4时，函数f（x）在（0，+∞）递增，

②当△＞0，即＞4时，f′（x）=0的根，

x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，

∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）递减．

（Ⅱ）证明：当a=1时，若方程f（x）=+m（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2

⇔方程lnx﹣x﹣m=0（m＜﹣2）有两个相异实根x1，x2．

令g（x）=lnx﹣x﹣m，定义域为（0，+∞），g′（x）=﹣1

令g′（x）＜0得x＞1，令g′（x）＞0得0＜x＜1

所以函数g（x）=lnx﹣x﹣m的单调减区间是（1，+∞），单调递增区间（0，1），

又lnx1﹣x1﹣m=lnx2﹣x2﹣m=0，

由题意可知lnx2﹣x2=m＜﹣2＜ln2﹣2，

又可知g（x）=lnx﹣x﹣m在（1，+∞）递减，故x2＞2，

令h（x）=g（x）﹣g（），（x＞2），

h（x）=g（x）﹣g（）=）=﹣x++3lnx﹣ln2（x＞2），

h′（x）=﹣，

当x＞2时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，所以h（x）＜h（2）=2ln2﹣＜0．

所以当x2＞2 时，g（x2）﹣g（ ）＜0，即g（x1）＜g（），

因为g（x）在（0，1）上单调递增，

所以x1＜，故x1•x22＜2． 

综上所述：x1•x22＜2．

请考生在22.23题中任选一题作答，[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为=3，曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ（a＞0）．

（1）设t为参数，若y=﹣2，求直线l参数方程；

（2）已知直线l与曲线C交于P，Q，设M（0，），且|PQ|2=|MP|•|MQ|，求实数a的值．

【解答】解：（1）由=3，即ρcosθcos﹣ρsinθsin=3，

直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=3，化为直角坐标方程：x﹣y﹣6=0．

∵y=﹣2+t，∴x=y+6=t，

∴直线l的参数方程为：（t为参数）．

（2）曲线C的极坐标方程为ρ=4acosθ，∴ρ2=4aρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4ax=0．

将（1）中的直线参数方程代x2+y2﹣4ax=0，并整理得：t2﹣2（1+a）t+12=0，

又△=12（1+a）2﹣4×12=12（a2+2a﹣3）＞0，解得：a＞1，

设P、Q对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=2（1+a），t1•t2=12，

由t的几何意义得|PQ|2=|t1﹣t2|2=（t1+t2）2﹣4t1•t2=12（1+a）2﹣4×12，

|MP|•|MQ|=|t1|•|t2|=|t1t2|=12，

所以12（1+a）2﹣4×12=12，解得：a=﹣1，

∴实数a的值﹣1．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．

（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；

（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，

可得或或，

解得：﹣≤x≤；

故不等式的解集是[﹣，]；

（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，

即|3x﹣a|﹣|3x+6|≤1﹣a，

由绝对值不等式的性质可得：

||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，

即有f（x）的最大值为|a+6|，

∴ 或，

解得：a≥﹣．