指数与指数运算

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫.

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值.

根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持.

三维目标

1.通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质.掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质.培养学生观察分析、抽象类比的能力.

2.掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想.通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理.

3.能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.

4.通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质.展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.

重点难点

教学重点：

(1)分数指数幂和根式概念的理解.

(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质.

(3)运用有理指数幂性质进行化简、求值.

教学难点:

(1)分数指数幂及根式概念的理解.

(2)有理指数幂性质的灵活应用.

课时安排

3课时

教学过程

第1课时  指数与指数幂的运算(1)

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的.教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算.

思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？

(2)如x4=a,x5=a,x6=a根据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?

(4)可否用一个式子表达呢?

活动：教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定释上面的式子,对问题②的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维.

讨论结果：

(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根.一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根.一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根.

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根.

(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根.

教师板书n次方根的意义:

一般地,如果xn=a,那么x叫a的n次方根(n-throot),其中n＞1且n∈N*.

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例.

提出问题

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目).

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根.

(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?

(3)问题（2）中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?

活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题（2）中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果：

（1）因为±2的平方等于4,±2的立方等于8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.

（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总的来看,这些数包括正数,负数和零.

（3）一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数.0的任何次方根都是0.

（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数.

类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:

①当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用表示,如果是负数,负的n次方根用表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a＞0).

②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示.

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

上面的文字语言可用下面的式子表示:

a为正数: 

a为负数: 

零的n次方根为零,记为=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例.

思考根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?

活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,4次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题.

解答：答案不唯一,比如,的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为,而-27的4次方根不存在等.其中也表示方根,它类似于的形式,现在我们给式子一个名称——根式.

根式的概念:

式子叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.

如中,3叫根指数,-27叫被开方数.

思考

表示an的n次方根,等式=a一定成立吗？如果不一定成立,那么等于什么？

活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号,充分让学生多举实例,分组讨论.教师点拨,注意归纳整理.

〔如==-3, =|-8|=8〕.

解答：根据n次方根的意义,可得:()n=a.

通过探究得到：n为奇数, =a.

n为偶数, =|a|=

因此我们得到n次方根的运算性质：

①()n=a.先开方,再乘方（同次）,结果为被开方数.

②n为奇数, =a.先奇次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数.

n为偶数, =|a|=a,先偶次乘方,再开方（同次）,结果为被开方数的绝对值.

应用示例

思路1

例1求下列各式的值:

(1);(2);(3);(4) (a>b).

活动：求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析.观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药.求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数.

解：(1) =-8;

(2) =10;

(3) =π-3;

(4) =a-b(a>b).

点评：不注意n的奇偶性对式子的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用.

变式训练

求出下列各式的值:

(1);

(2) (a≤1);

(3).

解：(1) =-2,

(2) (a≤1)=3a-3,

(3) = 

点评：本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论,造成错解.

思路2

例1下列各式中正确的是(    )

(1) =a;

(2) =;

(3)a0=1;

(4) =.

活动：教师提示,这是一道选择题,本题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答.

解：(1) =a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写=|a|,故本题错.

(2) =,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为=,故本题错.

(3)a0=1是有条件的,即a≠0,故本题也错.

(4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选(4).

点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心.

例+=_________

活动：让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式.正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路.

解： ===+1.

===-1.

所以+=2.

点评：不难看出与形式上有些特点,即是对称根式,是形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

    思考

上面的例2还有别的解法吗?

活动：教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法.

另解：利用整体思想,x=+,

两边平方得x2=3+2+3-2+2()()=6+2=6+2=8,所以x=2.

点评：对双重二次根式,特别是形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.

变式训练

若=a-1，求a的取值范围.

解：因为=a-1,而==|a-1|=a-1,

即a-1≥0,

所以a≥1.

点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键.

知能训练

(教师用多媒体显示在屏幕上)

1.以下说法正确的是(    )

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的任何次方根都是零

D.a的n次方根用表示(以上n＞1且n∈N*).

答案：C

2.化简下列各式:

(1);(2);(3);(4);(5).

答案：(1)2;(2);(3)x2;(4)|x|;(5)|x-y|.

3.计算=__________.

解： 

=

=

=++-

=2.

答案：2

拓展提升

问题： =a与()n=a（n＞1,n∈N）哪一个是恒等式,为什么?请举例说明.

活动：组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n次方根的定义.

通过归纳,得出问题结果,对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下.再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.

解答：①（）n=a（n＞1,n∈N）.

如果xn=a（n＞1,且n∈N）有意义,则无论n是奇数或偶数,x=一定是它的一个n次方根,所以（）n=a恒成立.

例如：（）4=3, =－5.

②=

当n为奇数时,a∈R, =a恒成立.

例如： =2, =－2.

当n为偶数时,a∈R,an≥0,表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么=a.例如=3, =0；如果a＜0,那么=|a|=－a,如==3.

即（na）n=a（n＞1,n∈N）是恒等式, =a（n＞1,n∈N）是有条件的.

点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.

课堂小结

学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上.

1.如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n＞1且n∈N*.用式子表示,式子叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数.

(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用表示,如果是负数,负的n次方根用-表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±(a＞0).

(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号表示.

(3)负数没有偶次方根.0的任何次方根都是零.

2.掌握两个公式：n为奇数时,()n=a,n为偶数时, =|a|=

作业

课本P59习题2.1A组  1.

补充作业:

1.化简下列各式：

(1);(2);(3);(4).

解：(1) = = =;

(2) = =;

(3) = =x2;

(4) = =.

2.若5分析:因为5答案：2a-13.

3. =__________.

分析：对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式,

不难看出==+.

同理==-.所以+=2.

答案：2

设计感想

学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a<0,a=0三种情况,并结合具体例子讲解,因此设计了大量的类比和练习题目,要灵活处理这些题目,帮助学生加以理解,所以需要用多媒体信息技术服务教学.

(设计者：路致芳)

第2课时  指数与指数幂的运算(2)

导入新课

思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.

思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.

推进新课

新知探究

提出问题

(1)整数指数幂的运算性质是什么？

(2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0,

①==a2=a;

②==a4=a;

③==a3=a;

④==a5=a.

(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？

, , , (x>0,m,n∈N*,且n>1).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？

(5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.

讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;

a-n= (a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.实质上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了, , , ,形式上变了,本质没变.

根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.

(3)利用(2)的规律, =5,=7,=a,=x.

(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.

结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.

(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).

综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:

规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1).

提出问题

①负整数指数幂的意义是怎样规定的?

②你能得出负分数指数幂的意义吗?

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?

④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a＞0的必要性,教师及时作出评价.

讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n= (a≠0),n∈N*.

②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.

规定:正数的负分数指数幂的意义是a== (a>0,m,n∈N*,n>1).

③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:

正数的正分数指数幂的意义是a= (a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a== (a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢?

如(-1) =3-1=-1,(-1) =6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.

⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:

（1）ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),

（2）(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),

（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题.

应用示例

思路1

例1求值:①8;②25③()-5;④().

活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,写成2-1,写成()4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.

解：①8=(23) =2=22=4;

②25=(52) =5=5-1=;

③()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

④()=()=()-3=.

点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如8===4.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式.

a3·;a2·; (a>0).

活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.

解：a3·=a3·a=a=a;

a2·=a2·a=a=a;

=(a·a)=(a)=a.

点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.

例3计算下列各式（式中字母都是正数）:

（1）(2ab)(-6ab)÷(-3ab);

（2）(mn)8.

活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.

解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］ab=4ab0=4a;

（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.

点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了.

本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用.

变式训练

求值:

(1)3··;

(2).

解：(1)3··=3·3·3·3=3=32=9；

(2) =( =( = = =.

例4计算下列各式:

（1）()÷;

（2）(a＞0）.

活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答.

解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5

=5-5=5-5=-5;

（2）==a=a=.

思路2

例1比较, ,的大小.

活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.

解：因为==,=,而125＞123＞121,所以>>.

所以>>.

点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法.

例2求下列各式的值:

(1);

(2)2××.

活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外=,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.

解：(1) =［34×(3)］=(3)=(3)=3=;

(2) =2×3×()×(3×22) =2·3=2×3=6.

例3计算下列各式的值:

（1）［(ab2)-1·(ab-3) (b)7］;

（2）;

(3).

活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.

解：(1)原式=(ab2) (ab-3)·(b)=ababb=ab=ab0=a;

另解：原式=(ab-2ab·b)

=(ab)=(a2b0) =a;

（2）原式=====

=;

（3）原式=（ab）-3÷(b-4a-1) =ab-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.

例4已知a＞0,对于0≤r≤8,r∈N*,式子()8-r·r能化为关于a的整数指数幂的情形有几种？

活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.

解：()8-r·r=a·a=a=a.

16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a的整数指数幂.

点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式.

例5已知f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x.

（1）求［f（x）］2－［g（x）］2的值；

（2）设f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.

活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.

解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=［f（x）+g（x）］·［f（x）－g（x）］

=（ex－e-x+ex+e-x）（ex－e-x－ex－e-x）=2ex（－2e-x）=－4e0=－4;

另解：(1)［f（x）］2－［g（x）］2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2

=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x

=-4ex-x=-4e0=-4;

(2)f（x）·f（y）=（ex－e-x）（ey－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4,

同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8,

得方程组解得g（x+y）=6,g（x－y）=2.

所以==3.

点评：将已知条件变形为关于所求量g（x+y）与g（x－y）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想.

知能训练

课本P54练习  1、2、3.

［补充练习］

教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.

1.(1)下列运算中,正确的是(    )

A.a2·a3=a6

B.(-a2)3=(-a3)2

C.( -1)0=0

D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①,②③,④（各式的n∈N,a∈R）中,有意义的是(    )

A.①②            B.①③            C.①②③④            D.①③④

(3)等于(    )

A.a               B.a2               C.a3                  D.a4

(4)把根式－2改写成分数指数幂的形式为(    )

A.-2(a-b)                          B.-2(a-b) 

C.-2(a-b)                        D.-2(a-b)

(5)化简（ab）（-3ab）÷（ab）的结果是(    )

A.6a             B.-a            C.-9a               D.9a

2.计算：(1)0.027－（－）-2+256－3-1+（2－1）0=________.

(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=________.

3.已知x+y=12,xy=9且x＜y,求的值.

答案：1.(1)D  (2)B  (3)B  (4)A  (5)C  2.(1)19  (2)8

3.解： ==.

因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

又因为x＜y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式=.

拓展提升

1.化简.

活动：学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到:

x-1=(x)3-13=(x-1)·(x+x+1);

x+1=(x)3+13=(x+1)·(x-x+1);

x-x=x［(x)2-1］=x (x-1)(x+1).

构建解题思路教师适时启发提示.

解： =

=

=x-1+x-x+1-x-x=-x.

点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,

(a-b)(a+b)=a-b,

(a±b)2=a±2ab+b,

(a±b)(aab+b)=a±b.

2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.

(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).

解：(1)将a+a=3,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;

(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;

(3)由于a-a=(a)3-(a)3,

所以有==a+a-1+1=8.

点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.

课堂小结

活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:

(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a>0,m,n∈N*,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a== (a>0,m,n∈N*,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r、s,均有下面的运算性质:

①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈Q),

②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),

③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

(4)说明两点:

①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.

②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(an) = =am来计算.

作业

课本P59习题2.1A组  2、4.

设计感想

本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.

(设计者：郝云静)

第3课时  指数与指数幂的运算(3)

导入新课

思路1.

同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.

思路2.

同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①我们知道=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是的什么近似值？

②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?

⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?

活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:

问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.

问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.

问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.

问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.

问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.

讨论结果：①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于,称的过剩近似值.

②第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于52的方向逼近5.

第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向逼近5.

从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…<5<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.

充分表明5是一个实数.

③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.

④根据②③我们可以推断5是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.

⑤无理数指数幂的意义:

一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.

也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.

提出问题

（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?

（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?

（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?

活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.

对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.

对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.

对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.

讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.

（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:

①ar·as=ar+s(a>0,r,s都是无理数).

②(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数).

③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数).

（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.

实数指数幂的运算性质:

对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:

①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).

②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).

③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).

应用示例

思路1

例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）

（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.

活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；

对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;

对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;

对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.

学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.

答案：（1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032;

（3）3.1≈2.336;（4）≈6.705.

点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.

例2求值或化简.

(1) (a>0,b>0);

(2)() (a>0,b>0);

(3).

活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.

解：(1) = (ab)=a-2bab=ab=.

点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.

(2)() = aabb=a0b0=.

点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.

(3) 

=

=-+2--2+

=0.

点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.

例3已知x= (5-5),n∈N*,求(x+)n的值.

活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.

x2= (5-5)2= (5-2·50+5)

= (5+2+5-4)

= (5+5)2-1.

这时应看到

1+x2=1+ (-5)2= (5+5)2,

这样先算出1+x2,再算出,带入即可.

解：将x= (5-5)代入1+x2，得1+x2=1+ (5-5)2= (5+5)n,

所以(x+)n=［(5-5)+］n

=［(5-5)+ (5+5)］n=(5)n=5.

点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.

思路2

例1计算:(1);

(2)125+()-2+343-();

(3)(-2xy)(3xy)；

(4)(x-y)÷(x-y).

活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.

解：(1) 

=()+()+(0.062 5) +1-

=()2×+()+(0.5) + 

=++0.5+

=5;

(2)125+()-2+343-()

=(53) +(2-1)-2+(73) -(3-3) 

=5+2-2×(-1)+7-3

=25+4+7-3=33;

(3)(-2xy)(3xy)=(-2×3)(xx·yy)

==-6xy

=;

(4)(x-y)÷(x-y)=((x)2-(y)2)÷(x-y)

=(x+y)(x-y)÷(x-y)

=x+y.

点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.

例2化简下列各式:

(1);

(2)(a3+a-3)(a3-a-3)÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］.

活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.

解：(1)原式=

=

==;

(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］

====a+a-1.

点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为m·aa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.

知能训练

课本P59习题2.1A组  3.

利用投影仪投射下列补充练习:

1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是(    )

A. (1-2)-1        B.(1-2)-1         C.1-2        D. (1-2)

分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.

因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),

依次类推,所以== (1-2)-1.

答案：A

2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=()+100+()-3+49×=+100+-3++=100.

3.计算(a≥1).

解：原式= (a≥1).

本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.

4.设a>0,x= (a-a),则(x+)n的值为_______.

分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到

解：1+x2=1+ (a-a)2= (a+a)2.

这样先算出1+x2,再算出,

将x= (a-a)代入1+x2,得1+x2=1+ (a-a)2= (a+a)2.

所以(x+)n=［(a-a)+ (a+a)2］n

=［(a-a)+ (a+a)］n=a.

答案：a

拓展提升

参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.

活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.

解：3=1.73205080…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.

21.7,21.72,21.731,21.7319,…,

同样把用2作底数,的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:

21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2α会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.

即21.7<21.73<21.731<21.7319<…<<…<21.7321<21.733<21.74<21.8.

也就是说是一个实数, =3.321 997 …也可以这样解释:

当3的过剩近似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近；

当3的不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.

所以就是一串有理指数幂21.7,21.73,21.731,21.7319,…,和另一串有理指数幂21.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即≈3.321 997.

课堂小结

(1)无理指数幂的意义.

一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.

(2)实数指数幂的运算性质:

对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:

①ar·as=ar+s(a>0,r,s∈R).

②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R).

③(a·b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).

(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.

作业

课本P60习题2.1 B组  2.

设计感想

无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.