2021年上海市金山区中考数学二模卷及答案

金山区2020学年第二学期期中质量监测

初三数学试卷

（满分150分，考试时间100分钟）（2021．4）

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1.下列根式中，是最简二次根式的是（）（A ）8；

（B ）5；

（C ）33；（D ）42.

2.已知y x >，那么下列正确的是（）

（A ）0>+y x ；（B ）ay ax >;

（C ）22+>-y x ；（D ）y x -<-22.

3.已知正比例函数的图像经过点()21-，那么这个正比例函数的解析式是（）

（A ）x y 2-=；

（B ）x y 2

1

-

=；（C ）x y 2=；（D ）x y 2

1=

.4.某人统计九年级一个班35人的身高时，算出平均数与中位数都是158厘米，但后来发现其中一位同学的身高记录错误，将160厘米写成了166厘米，经重新计算后，正确的中位数是a 厘米，那么中位数a 应（）

（A ）大于158；

（B ）小于158；

（C ）等于158；

（D ）无法判断.

5.已知三条线段长分别为cm 2、cm 4、acm ，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a 的取值可以是（

）

（A ）cm 1；

（B ）cm 2；

（C ）cm 4；

（D ）cm 7.

6.已知⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为432、、，且5=AB ,6=AC ，6=BC ，那么这三个圆的位置关系是（）

（A ）⊙A 与⊙B 、⊙C 外切，⊙B 与⊙C 相交；（B ）⊙A 与⊙B 、⊙C 相交，⊙B 与⊙C 外切；（C ）⊙B 与⊙A 、⊙C 外切，⊙A 与⊙C 相交；（D ）⊙B 与⊙A 、⊙C 相交，⊙A 与⊙C 外切.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7.因式分解：=

-42

x ．

8.已知()x

x x f 22-=，那么()=

2f ．

9.如果反比例函数x

m y 1

-=（m 是常数，1≠m ）的图像，在每个象限内y 随着x 的增大而减小，那么m 的取值范围是

．

10.方程

x x -=+2的解是

．

11.如果从方程01=+x ，0122

=--x x ，11=+x x ，01=+x ，014=-x ，31=+x

x 中任意选取一个方程，那么取到的方程是整式方程的概率是

．

12.如果关于x 的方程022

=+-k x x 有两个不相等的实数根，那么实数k 的取值范围是

．

13.为了了解某校初三学生在体育测试中报名球类的情况，随机调查了40名学生的报名情况，得到如下数据．

项目排球篮球足球人数

10

15

15

根据此信息，估计该校480名初三学生报名足球的学生人数约为

人．

14.已知在正六边形ABCDEF 中，6=AB ，那么正六边形ABCDEF 的面积等于

．

15.如图，BE 、AD 分别是ABC ∆的两条中线，设a BO =，b BD =，那么向量AB 用向量a 、b 表示为

．

16.小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA 、PB 分别反映了小张、小王步行所走的路程S （千米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是

分钟．

17.如图，在ABC ∆中，4==AC AB ，6=BC ，把ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，当点A 与边BC 上的点A '重合时，那么B A A '∠的余弦值等于

．

18.如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=BC ，点E 在对角线BD 上，联结AE ，作AE EF ⊥交边BC 于F ，若16

39

=

BF ，那么=BE ．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）

第16题图

8

t (分钟）

5

第15题图

A

B

第17题图

第18

题图

A

B

C

D

E

F

计算：

(

)(

)

()

3121

32

232

32

---++

+--.

20.（本题满分10分）解方程组：⎩⎨

⎧=-+=-5

21

22

2y xy x y x 21.（本题满分10分，每小题满分5分）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O 的半径OA 等于cm 50，

水的深度等于cm 25（水的深度指AB

⌒的中点到弦AB

求：（1）水面的宽度AB .

（2）横截面浸没在水中的AB

⌒的长（结果保留

π）.22.（本题满分10分，每小题满分5分）A 、B 两地相距18千米，甲工程队要在A 、B 两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在A 、B 两地间铺设一条输道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设1千米.（1）若两队同时开工，甲工程队每天铺设3千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？

（2）若甲工程队提前3天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多少千米？

第21题图

第24题图

23.（本题满分12分，每小题满分6分）如图，已知在梯形ABCD 中，BC AD //，对角线BD 平分ABC ∠，点G 在底边BC 上，联结DG 交对角线AC 于F ，DAB DGB ∠=∠.（1）求证：四边形ABGD 是菱形.

（2）联结EG ，求证：EF BC EG BG ⋅=⋅.

24.（本题满分12分，每小题满分4分）已知直线b kx y +=经过点()0,2-A ，()3,1B 两点，抛物线b ax ax y +-=42与已知直线交于C 、D 两点（点C 在点D 的右侧），顶点为P .（1）求直线b kx y +=的表达式.

（2

）若抛物线的顶点不在第一象限，求a 的取值范围.

（3）若直线DP 与直线AB 所成的夹角等于

15，且点P 在直线AB 的上方，求抛物线b ax ax y +-=42

的表达式.

第23题图

B

A

C

D

E

F G

25.（本题满分14分，第(1)题4分，第(2)①题4分，第(2)②题6分）

已知在ABC ∆中，32==AC AB ，

120=∠BAC ，ADE ∆的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），

30=∠DAE .（1）求证：ABF ∆∽DCA ∆.（2）若ED AD =.

①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（BF FC >）时，求FEC

ABF

S S ∆∆.②联结BE ，当1=DF 时，求BE 的长.

A

B

C 第25题图备用图

A

F

E D

C B 第25题图

A

B

C

第25题图备用图

参和评分标准

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；

2．D ；

3．A ；

4．C ；

5．C ；

6．A ．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．()()22-+x x ；8．1；9．1>m ；10．1-=x ；11．

2

1；12．1k <；

13．180；

14．354；

15．b a 23+-；

16．6；

17．

4

2；18．

4

15．三、简答题：（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78

分）19.解：原式()()()()()()

()

13211313132232

2

2

----+

-+-=

；……………（4分）

()

132

1

213223+---+

-=；……………（4分）132

1

1323+---+-=；……………（1分）

2

1

=.……………（1分）20.解：由①得12-=x y ③；……………（3分）

把③代入②得()()5121222

2

=---+x x x x ；……………（2分）

解得：2=x ；……………（2分）

把2=x 代入③得3122=-⨯=y ；……………（2分）

所以，原方程组的解是⎩⎨

⎧==3

2

y x .……………（1分）

21.解：（1）取AB

⌒的中点D ，联结OD 交弦AB 于点H ，……………（1分）∵OD 是⊙O 的半径，AD

⌒=DB ⌒；∴AB BH AH 2

1=

=,AB OD

⊥即DH 为AB ⌒的中点到弦AB 的距离；……………（1分）

由题意可得：50==OD OA ，25=HD ；∴25=OH ，即AO OH 2

1

=

；∴在AOH Rt ∆中，可得

30=∠OAH ；……………（1分）

∵OA AH OAH =

∠cos ，∴2

3

50=AH ，解得：325=AH ；……………（1分）∴350=AB （cm ）.……………（1分）（2）∵AB OH ⊥，

30=∠OAH ；

∴

90=∠AHO ，

603090=-=∠AOD ；……………（1分）

∴3501805060180πππ=⨯⋅==

r n l AD （cm ）；……………（2分）∵AD ⌒=BD ⌒=21AB ⌒，∴3

1003502ππ=⨯=AB

l （cm ）.……………（2分）22.解（1）甲工程队完成任务所需时间：6318=÷（天）；……………（1分）乙工程队完成任务所需时间：() 4.51318=+÷（天）；……………（1分）

5.15.46=-（天）；……………（2分）

答：乙工程队比甲工程队提前1.5天完成任务.……………（1分）

（2）设甲工程队每天铺设管道x 千米，乙工程队每天铺设管道()1+x 千米；……（1分）

根据题意可列方程：

()

3118

18=+-x x ；……………（1分）解得：31-=x ，22=x ；……………（1分）

经检验31-=x ，22=x 都是原方程的根，31-=x 不符合题意舍去；31=+x ；…（1分）答：甲、乙两队每天铺设管道分别为2千米和3千米.……………（1分）

23．证明：（1）∵BC AD //；∴

180=∠+∠ABG DAB ；……………（1分）∵DAB

DGB ∠=∠∴

180=∠+∠ABG DGB ；∴DG AB //……………（1分）∴四边形ABGD 是平行四边形；……………（1分）∵BC AD //，对角线BD 平分ABC ∠；∴DBG ADB ∠=∠，DBG ABD ∠=∠；

∴ADB ABD ∠=∠；……………（1分）∴AD AB =；……………（1分）

∴四边形ABGD 是菱形.……………（1分）

（2）∵BC AD //，∴

BE DE

BC AD =

；……………（1分）∵AB DF //，∴AE EF

BE DE =；……………（1分）∴AE

EF

BC AD =

；……………（1分）∵四边形ABGD 是菱形；∴AD BG AB ==，又∵GBE ABE ∠=∠，BE BE =；∴ABE ∆≌GBE ∆；……………（1分）∴AE EG =；……………（1分）又∵BG AD =∴

EG

EF

BC BG =

，∴EF BC EG BG ⋅=⋅24.解：（1）∵直线b kx y +=经过点(2-A 所以：⎩⎨⎧=+=+-302b k b k ，……………（2分）

解得：⎩⎨⎧==2

1

b k ；……………（1分）

∴直线b kx y +=的表达式为2+=x y （2）∵2=b ，∴抛物线的表达式为ax y 2

=∴顶点P 的坐标是()a 42,2-；……………（∵抛物线的顶点不在第一象限，且顶点P ∴顶点P 在x 轴上或者第四象限，∴42≤-a （3）∵顶点P 在直线AB 的上方，抛物线242

+-=ax ax y 与直线AB 交于C 、D 两点；∴抛物线开口向下；

∵抛物线242

+-=ax ax y 与直线2+=x y 都经过点()20，且点C 在点D 的右侧；

∴点D 的坐标是()20，；………………（1分）

∵2==OD OA ，

90=∠AOD ，∴

45=∠=∠ODA OAD ；

设直线DP 与x 轴交于点M ，∵直线DP 与直线AB 所成的夹角等于

15，且点P 在直线AB 的上方；

C

∴ 15=∠ADM ，

60=∠+∠=∠ADM PAO PMO ；

在MOD Rt ∆中，OD OM DMO =

∠cot ，即332=OM ，∴3

32=OM ；…………（1分）设对称轴直线2=x 与x 轴交于点E ，可知x PE ⊥轴，

90=∠=∠DOM PEO ；

∴y PE //轴，PE OD ME OM =即PE

2

33

223

32=+，解得232+=PE ；∴23242+=-a ，可得2

3

-

=a .………………（1分）∴抛物线b ax ax y +-=42

的表达式是2322

32

++-

=x x y .………………（1分）25.（1）证明：∵AC AB =，∴C B ∠=∠；…………………………………（1分）∵

180=∠+∠+∠C B BAC ，

120=∠BAC ，∴

30=∠=∠C B ；∵

30=∠DAE ，∴DAE C B ∠=∠=∠；…………………（1分）∵BAD B ADC ∠+∠=∠，BAD DAE BAF ∠+∠=∠；∴ADC BAF ∠=∠；…………………（1分）∵C B ∠=∠；

∴ABF ∆∽DCA ∆.…………………（1分）（2）①解：∵ABF ∆∽DCA ∆，∴

AC BF AD AF =，即BF

AF

AC AD =

；………………（1分）∵ED AD =，∴DEA DAE ∠=∠，∴C DEA ∠=∠；又∵B DAE ∠=∠，∴ABC ∆∽DAE ∆;………………（1分）∴

BC AE AB AD =，即BC AE AC AD =；∴BC AE BF AF =，即BF BC

AF AE =；∴BF

CF

AF EF =，又∵AFB EFC ∠=∠；∴ECF ∆∽ABF ∆；………………（1分）

∴2

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S S FEC ABF ；∵点F 是BC 的黄金分割点，且BF FC >；

∴215-=CF BF ，∴2

5

32152

2

-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆CF BF S S FEC ABF .………………（1

分）

A

B

C

D

F

E

B

A

C

D F E

②解：作

BC AH ⊥垂足为H ，∵32==AC AB ， 30=∠ABC ；

∴BH BC 2=，32

1

==

AB AH ，322=-=AH AB BH 得6=BC ；………（1分）∵ABF ∆∽DCA ∆，∴AC

BF

CD AB =

，即AC AB BF CD ⋅=⋅；设x BD =，那么x CD -=6；∵1=DF ，∴1+=x BF ；

可得()()323216⨯=+-x x ，解得3,221==x x 即2=BD 或3；………………（1分）当2=BD 时3=BF 即F 为BC 中点，∵AC AB =；

∴BC AF ⊥，又∵DE AD =，∴FE AF =即BC 垂直平分AE ；∴32==BA BE ；………………（2分）

当3=BD 时，D 为BC 中点，∵AC AB =，

120=∠BAC ，

30=∠DAE ；

∴BC AD ⊥， 602

1

=∠=

∠BAC BAD ， 90=∠+∠=∠DAE BAD BAE ；作AE DG ⊥垂足为G ，∴2

330cos =⋅=

AD AG ，

∵DE AD =，∴32==AG AE ；∴在ABE Rt ∆中2122=+=

AE AB BE .………………（2分）

综上所述，当1=DF 时，32=BE

或21.