【精品】高中数学必修一 集合及集合的表示(提高)讲义 知识点讲解+练习(含答案)

【学习目标】

1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系．

2.能选择自然语言、图象语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．

3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．

【要点梳理】

集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.

要点一、集合的有关概念

1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.

2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.

3．关于集合的元素的特征

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.

4．元素与集合的关系：

(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA

(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作

5．集合的分类

(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.

(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.

(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.

6．常用数集及其表示

非负整数集(或自然数集)，记作N

正整数集，记作N*或N+

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

实数集，记作R

要点二、集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.

1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.

2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….

3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{    }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.

4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.

【典型例题】

类型一：集合的概念及元素的性质

例1 集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？

答案：是

解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，，即.

点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.

举一反三：

【变式1】设

(1)若aZ，则是否有aS？

(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？

解：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，∴aS；

(2)x1，x2S，则

∵m1，n1，m2，n2Z，∴m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z

∴x1·x2S.

类型二：元素与集合的关系

例2.用符号“”或“”填空．

(1)

(2)

(3)

解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.

(1) 

(2)令，则

令，则

(3) ∵(-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，

∴

点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“｜”左边的元素组成的，符号“｜”右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.

举一反三：

【变式1】 用符号“”或“”填空

（1）若,则        ；-2       .

（2）若则        ；-2       .

答案：

（1），  （2），

类型三：集合中元素性质的应用

例3.设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的，对于有序元素对（a,b）,在中唯一确定的元素与之对应），若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（   ）

A. 

B. 

C. 

D. 

答案： A

解析：抓住本题的本质恒成立. 只要为中元素即可有. B中由已知即为符合已知条件形式.中即可. D中相当于已知中的也正确.只有A不一定正确.

点评：本题应紧紧抓住关系式，即关系式中有三个数，其中有两个数相同且分别在两边，此时关系式等于中间的数，只要分析出这个特点即可解决.

举一反三：

【变式1】定义集合运算：.设集合，，则集合的所有元素之和为

A. 0     B. 6      C. 12     D. 18

答案： D

解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.

点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.

例4. ，则M=(  )

A. {2，3}   B. {1，2，3，4}  C. {1，2，3，6}   D. {-1，2，3，4}

答案：D

解析：集合中的元素满足是整数，且能够使是自然数，所以

由aZ，所以-1≤a≤4

当a=-1时，符合题意；

当a=0时，不符合题意；

当a=1时，不符合题意；

当a=2时，符合题意；

当a=3时，符合题意；

当a=4时，符合题意.

故a=-1，a=2，a=3，a=4为M中元素，即M={-1，2，3，4}，选项D正确.

■高清课程：集合的表示及运算  例1

例5. 设集合={x|}，当集合为单元素集时，求实数的值.

答案：0，1

解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：

当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.

当a≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.

例6.已知集合，若，求实数的值及集合.

答案：，

解析：（1）若则.

所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.

（2）若，则或，

当时，满足题意；

当时，，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.

（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.

综上，，集合.

点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.

举一反三：

【变式1】已知集合，，求实数的值

答案：

解析：当，即时，，满足题意；

当即，时，，与集合的概念矛盾，不满足题意舍去，

时， 由上面知，满足题意

故 

例7．设是实数集，且满足条件：若，则.

（1）若，则中必还有另外两个元素；

（2）集合不可能是单元素集；

（3）集合中至少有三个不同的元素.

答案：（1） （2）略 （3）略

解析：（1）若，则，于是，故集合中还含有两个元素.

（2）若为单元素集，则，即，此方程无实数解，，与都为集合的元素，则不可能是单元素集.

（3）由已知.现只需证明三个数互不相等.

①若方程无解，；

②若，方程无解，；

③若，方程无解，，

故集合中至少有三个不同的元素.

点评：集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点.

类型四：集合的表示方法

例8．试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程的所有实数根组成的集合；

(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.

答案：；。

解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件

因此，用描述法表示为；

方程有两个实数根

因此，用列举法表示为.

(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15因此，用描述法表示为；

大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，

因此，用列举法表示为.

点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.

（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.

（3）用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.

举一反三：

【变式1】用列举法表示集合：

(1)A={xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0}

(2)B={(x，y)|x+y=3， xN， yN}

(3)C={y|x+y=3，xN， yN}

(4)

(5)

(6)P={x|x(x-a)=0， aR}

解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.

(1)A={1，-2，-1，2}

(2)B={(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)}

(3)C={0，1，2，3}

(4)D={(0，0)}

(5)M={0}

(6)当a≠0时，P={0，a}；当a=0时，P={0}.

点评：此例题（2）与（3），（4）与（5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.

【变式2】用适当的方法表示下列集合：

（1）比5大3的数；

（2）方程的解集；

（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合。

答案：（1）；（2）；（3）。

解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为。

（2）方程可化为，

方程的解集为。

（3）用描述法表示为。

点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。

巩固练习

一、选择题

1．下列四个集合中，是空集的是(    )

A．   B．

C．     D．

2．集合可化简为（    ）

A．   B．   C．   D．

3．集合 用描述法可表示为（    ）

A．  B． C． D．

4．若以集合中的三个元素为边长可构成一个三角形，则这个三角形一定不是(   )

A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形    D．等腰三角形

5． 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（   ）

A．    B．    C．    D．

6．设为实数，．记集合．若||、分别为集合的元素个数，则下列结论不可能的是（   ）

A．且        B．且

C．且        D．且

二、填空题

7．用符号“”或“”填空

(1)-3______，   ______，   ______；

(2)(是个无理数).

8. 方程组用列举法表示为        . 

9．设，则集合中所有元素之积为          . 

10．由所确定的实数集合是        .

11．用描述法表示的集合可化简为        .

12．设是整数集的一个非空子集，对于,如果，且，那么称是的一个“孤立元”.给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有       个.

三、解答题

13．已知集合，试用列举法表示集合.

14．分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）大于且小于6的整数所组成的集合；

（2）方程的实数根所组成的集合.

15．已知集合={x|，}.

（1）若中只有一个元素，实数的取值范围.

（2）若中至少有一个元素，实数的取值范围.

（3）若中元素至多只有一个，求实数的取值范围.

16．设集合.

求证：（1）一切奇数属于集合；

     （2）偶数不属于；

     （3）属于的两个整数，其乘积仍属于.

答案与解析：

一、选择题

1.D  选项A所代表的集合是并非空集，选项B所代表的集合是并非空集，选项C所代表的集合是并非空集，选项D中的方程无实数根.

2. B 解方程得，因为，故选B.

3. C 集合A表示所有的正奇数，故C正确.

4.D  元素的互异性.

5. D ，故选D.

6．D 当时，且；当时，且；当时且（比如）时，且    ，故只有D不可能.

二、填空题

7. .

8. 加减消元法，解二元一次方程组，解集是点集.

9. ，，解得，代入，得，由韦达定理，得所有元素之积为.

10. 对分类讨论可得.

11.   ，，.

12．6  若，因为1不是孤立元，所以.设另一元素为，假设，此时，，且，不合题意，故.据此分析满足条件的集合为，共有6个.

三、解答题

13.解：由题意可知是的正约数，当；当；

当；当；而，∴，即 .

14.解：（1）  

（2） .

15. 解：（1）若时，则，解得，此时.

若时，则

或时，中只有一个元素.

（2）①中只有一个元素时，同上或.

②中有两个元素时，，解得且.综上.

（3）①时，原方程为，得符合题意；

②时，方程为一元二次方程，依题意，解得.

综上，实数的取值范围是或.

16．证明：（1）设为任意奇数，则，因为且均为整数，.由的任意性知，一切奇数属于.

（2）首先我们证明如下命题：

设：，则与具有相同的奇偶性.

以下用反证法证明.

假设，则存在，使得.若与同为奇数，则（）（ ）必定为奇数，而表示偶数，矛盾；若与同为偶数，则（）（ ）必定被4整除，但表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾.

综上所述，形如的偶数不属于.

（3）设，则存在，使得.

     =

     =，

又因为，均为整数，

.