新人教版2020-2021年中考数学真题分类专项训练四边形

一、选择题

1．（2019盐城）如图，点D、E分别是△ABC边BA、BC的中点，AC=3，则DE的长为

A．2    B．    C．3    D．

【答案】D

2．（2019孝感）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为

A．    B．    C．    D．

【答案】A

3．（2019台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为

A．：1    B．3：2    C．：1    D．：2

【答案】A

4．（2019安徽）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是

A．0    B．4    C．6    D．8 

【答案】D

5．（2019株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是

A．对角线垂直且相等        

B．四边都互相垂直    

C．四个角都相等    

D．是轴对称图形，但不是中心对称图形

【答案】C

6．（2019威海）如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是

A．∠ABD=∠DCE    B．DF=CF    C．∠AEB=∠BCD    D．∠AEC=∠CBD

【答案】C

7．（2019湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是

A．2    B．    C．    D．

【答案】D

8．（2019天津）如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是，，点，在坐标轴上，则菱形的周长等于

A．    B．    C．    D．20

【答案】C

9．（2019池河）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是

A．∠B=∠F    B．∠B=∠BCF    C．AC=CF    D．AD=CF

【答案】B

10．（2019绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为

A．    B．    C．    D．

【答案】A

11．（2019重庆）下列命题正确的是

A．有一个角是直角的平行四边形是矩形    

B．四条边相等的四边形是矩形

C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形    

D．对角线相等的四边形是矩形

【答案】A

12．（2019铜仁）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为

A．12    B．14    C．24    D．21

【答案】A

13．（2019海南）如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为

A．12    B．15    C．18    D．21

【答案】C

14．（2019广州）如图，ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是

A．EH=HG

B．四边形EFGH是平行四边形    

C．AC⊥BD

D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍

【答案】B

15．（2019铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是

A．360°    B．540°    C．630°    D．720°

【答案】C

16．（2019庆阳）如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是

A．180°    B．360°    C．540°    D．720°

【答案】C

17．（2019绍兴）正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积

A．先变大后变小        B．先变小后变大    

C．一直变大        D．保持不变

【答案】D

18．（2019云南）一个十二边形的内角和等于

A．2160°    B．2080°    C．1980°    D．1800°

【答案】D

19．（2019福建）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为

A．12    B．10    C．8    D．6

【答案】B

20．（2019咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为

A．45°    B．60°    C．72°    D．90°

【答案】C

21．（2019湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是

A．24    B．30    C．36    D．42

【答案】B

22．（2019湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是

A．五边形    B．六边形    C．七边形    D．八边形

【答案】D

二、填空题

23．（2019长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE=50m，则AB的长是__________m．

【答案】100

24．（2019十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为__________．

【答案】24

25．（2019温州）三个形状大小相同的菱形按如图所示方式摆放，已知∠AOB=∠AOE=90°，菱形的较短对角线长为2cm．若点C落在AH的延长线上，则△ABE的周长为__________cm．

【答案】12+8

26．（2019杭州）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于__________.

【答案】

27．（2019达州）如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为__________．

【答案】16

28．（2019湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是__________．

【答案】4

29．（2019天津）如图，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接．折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上．若，则的长为__________．

【答案】

30．（2019武汉）如图，在ABCD中，E.F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE的大小为__________．

【答案】21°

31．（2019益阳）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是__________．

【答案】5

32．（2019绍兴）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点O为正方形的中心，点E，F分别为AB，AD的中点．用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则四边形MNPQ的周长是__________．

【答案】6+2或10或8+2

33．（2019）五边形的内角和为__________度．

【答案】540

34．（2019广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是__________．

【答案】8

三、证明题

35．（2019江西）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AC=2AO，BD=2OD，

∵OA=OD，∴AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形．

36．（2019嘉兴）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

证明：添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠ABD=∠BDC，

又∵BE=DF（添加），

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE=CF．

37．（2019衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠B=∠D，

∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=CF．

38．（2019福建）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE．求证：AF=CE．

【答案】见解析．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠B=90°，AD=BC，

在△ADF和△CBE中，，

∴△ADF≌△CBE（SAS），

∴AF=CE．

39．（2019云南）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=OC，BO=OD，且∠AOB=2∠OAD．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若∠AOB：∠ODC=4：3，求∠ADO的度数．

证明：（1）∵AO=OC，BO=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠AOB=∠DAO+∠ADO=2∠OAD，

∴∠DAO=∠ADO，∴AO=DO，∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，

∵∠AOB：∠ODC=4：3，

∴∠AOB：∠ABO=4：3，

∴∠BAO：∠AOB：∠ABO=3：4：3，

∴∠ABO=54°，

∵∠BAD=90°，∴∠ADO=90°–54°=36°．

40．（2019岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，

在△ADF和△CDE中，，

∴△ADF≌△CDE（SAS），

∴∠1=∠2．

41．（2019湖州）如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．

（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；

（2）若∠AFB=90°，AB=6，求四边形BEFD的周长．

证明：（1）∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，

∴DF∥BC，EF∥AB，

∴DF∥BE，EF∥BD，

∴四边形BEFD是平行四边形；

（2）∵∠AFB=90°，D是AB的中点，AB=6，

∴DF=DB=DAAB=3，

∵四边形BEFD是平行四边形，

∴四边形BEFD是菱形，

∵DB=3，

∴四边形BEFD的周长为12．

42．（2019甘肃）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．

（1）证明：△ADG≌△DCE；

（2）连接BF，证明：AB=FB．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG=∠C=90°，AD=DC，

又∵AG⊥DE，

∴∠DAG+∠ADF=90°=∠CDE+∠ADF，

∴∠DAG=∠CDE，

∴△ADG≌△DCE（ASA）；

（2）如图，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，∴BE=CE，

又∵∠C=∠HBE=90°，∠DEC=∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA），

∴BH=DC=AB，即B是AH的中点，

又∵∠AFH=90°，∴Rt△AFH中，BF=AH=AB．

43．（2019怀化）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）求证：四边形AECF是矩形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，

∵AE⊥BC，CF⊥AD，

∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（AAS）；

（2）∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=90°，

∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，

∴四边形AECF是矩形．

44．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2．

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG．

解：（1）设正方形CEFG的边长为a，

∵正方形ABCD的边长为1，∴DE=1﹣a，

∵S1=S2，∴a2=1×（1﹣a），

解得（舍去），，

即线段CE的长是；

（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC=1，

∴CH=0.5，

∴DH，

∵CH=0.5，CG，

∴HG，

∴HD=HG．

45．（2019安徽）如图，点E在ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE.

（1）求证：△BCE≌△ADF；

（2）设ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值.

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴，

，

又，

，

，

，

同理可得：，

在和中，，

∴△BCE≌△ADF；

（2）连接EF，

∵△BCE≌△ADF，，

又，

∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，

∴，

∴，

设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，

则h=h1+h2，

∴，即=2.

46．（2019长沙）如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．

（1）求证：BE=AF；

（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，

∵DE=CF，∴AE=DF，

在△BAE和△ADF中，，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE=AF；

（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，

∴∠EBA=∠FAD，

∴∠GAE+∠AEG=90°，

∴∠AGE=90°，

∵AB=4，DE=1，

∴AE=3，

∴BE===5，

在Rt△ABE中，AB×AE=BE×AG，

∴AG==．

47．（2019宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．

（1）求证：BG=DE；

（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长．

证明：（1）∵四边形EFGH是矩形，

∴EH=FG，EH∥FG，

∴∠GFH=∠EHF，

∵∠BFG=180°﹣∠GFH，∠DHE=180°﹣∠EHF，

∴∠BFG=∠DHE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠GBF=∠EDH，

∴△BGF≌△DEH（AAS），

∴BG=DE；

（2）连接EG，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∵E为AD中点，

∴AE=ED，

∵BG=DE，

∴AE=BG，AE∥BG，

∴四边形ABGE是平行四边形，

∴AB=EG，

∵EG=FH=2，

∴AB=2，

∴菱形ABCD的周长为8．

48．（2019滨州）如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，求四边形的面积．

证明：（1）由题意可得，，

∴，

∵，∴，

∴，∴，∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵∴四边形是菱形；

（2）∵矩形中， ，

∴，

∴，∴，

设，则，

∵，∴，解得，

∴，∴四边形的面积是：．

49．（2019杭州）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为，点E在CD边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为，且. 

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连结HD，求证：.

解：根据题意，得AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.

（1）设CE=x（0因为S1=S2，所以x2=1－x，

解得x=（负根已舍去），即CE=.

（2）证明：因为点H为BC边的中点，

所以CH=，所以HD=，

因为CG=CE=，点H，C，G在同一直线上，

所以HG=HC+CG=＋=，所以HD=HG.

50．（2019舟山）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD上．请添加一个条件，使得结论“AE=CF”成立，并加以证明．

【答案】添加的条件是BE=DF（答案不唯一）．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∴∠ABD=∠BDC，

又∵BE=DF（添加），

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE=CF．

51．（2019台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．

①如图1，若AC=AD=BE=BD=CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；

②如图2，若AC=BE=CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：

（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）

如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．

①若AC=CE=EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（__________）

②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形．（__________）

证明：（1）①∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，

∴AB=BC=CD=DE=EA，

在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，，

∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），

∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，

∴五边形ABCDE是正五边形；

②若AC=BE=CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：

在△ABE、△BCA和△DEC中，，

∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），

∴∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，

在△ACE和△BEC中，，

∴△ACE≌△BEC（SSS），

∴∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，

∵四边形ABCE内角和为360°，

∴∠ABC+∠ECB=180°，

∴AB∥CE，

∴∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，

∴∠CAE=∠CEA=2∠ABE，

∴∠BAE=3∠ABE，

同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，

∴五边形ABCDE是正五边形；

（2）①若AC=CE=EA，如图3所示：

则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：

∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，

∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，

在△AEF、△CAB和△ECD中，，

∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），

如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，

而正六边形的各个内角都为120°，

∴六边形ABCDEF不是正六边形；

故答案为：假；

②若AD=BE=CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：

如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，

在△BFE和△FBC中，，

∴△BFE≌△FBC（SSS），

∴∠BFE=∠FBC，

∵AB=AF，∴∠AFB=∠ABF，

∴∠AFE=∠ABC，

在△FAE和△BCA中，，

∴△FAE≌△BCA（SAS），

∴AE=CA，

同理：AE=CE，

∴AE=CA=CE，

由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F=∠D=∠B=90°，

而正六边形的各个内角都为120°，

∴六边形ABCDEF不是正六边形；

故答案为：假．

52．（2019绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB=AE=6，BC=5，∠A=∠B=90°，∠C=135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

解：（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：

过点C作CF⊥AE于F，S1=AB•BC=6×5=30；

②若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：

过点E作EF∥AB交CD于F，过点F作FG⊥AB于G，过点C作CH⊥FG于H，

则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，

∵∠C=135°，

∴∠FCH=45°，

∴△CHF为等腰直角三角形，

∴AE=FG=6，HG=BC=5，BG=CH=FH，

∴BG=CH=FH=FG﹣HG=6﹣5=1，

∴AG=AB﹣BG=6﹣1=5，

∴S2=AE•AG=6×5=30；

（2）能；理由如下：

在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于M，FN⊥AE于N，过点C作CG⊥FM于G，

则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，

∵∠C=135°，

∴∠FCG=45°，

∴△CGF为等腰直角三角形，

∴MG=BC=5，BM=CG，FG=DG，

设AM=x，则BM=6﹣x，

∴FM=GM+FG=GM+CG=BC+BM=11﹣x，

∴S=AM×FM=x（11﹣x）=﹣x2+11x=﹣（x﹣5.5）2+30.25，

∴当x=5.5时，S的最大值为30.25．