随机分布函数 泊松分布

泊松分布

概率质量函数

累积分布函数

参数

支撑集

概率質量函數

累积分布函数

期望值

中位数

众数

方差

偏度

峰度

信息熵

动差生成函数

特性函数

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。

泊松分布的概率质量函数为：

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

性质

服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数λ： E(X)=V(X)=λ

动差生成函数：

泊松分布的来源

在二项分布的伯努力试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，而乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。这在现实世界中是很常见的现象，如DNA 序列的变异、放射性原子核的衰变、电话交换机收到的来电呼叫、公共汽车站候车情况等等。

证明如下。首先，回顾e的定义：

二项分布的定义：

如果令p = λ / n, n趋于无穷时P的极限:

[编辑] 最大似然估计

给定n个样本值k i，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ的估计。为计算最大似然估计值, 列出对数似然函数：

对函数L取相对于λ的导数并令其等于零:

解得λ从而得到一个驻点（stationary point）:

[编辑] 例子

对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10：30到11：47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100个、81个、34个、9个、6个。使用极大似真估计（MLE），得到λ的估计为0.8696。实际上各批次发生的频率与λ = 0.87的泊松分布吻合的非常好。