山东省济南市2022届高三数学下学期3月一模考试试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，则（    ）

A．        B．        C．        D．

2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则z的模为（    ）

A．            B．            C．            D．2

3．某学校于3月12日组织师生举行植树活动，购买垂柳、银杏、侧柏、海桐四种树苗共计1200棵，比例如图所示．高一、高二、高三报名参加植树活动的人数分别为600，400，200，若每种树苗均按各年级报名人数的比例进行分配，则高三年级应分得侧柏的数量为（    ）

A．34            B．46        C．50            D．70

4．已知，则的值为（    ）

A．            B．             C．        D．

5．函数的部分图象大致为（    ）

A．B．C．D．

6．我们通常所说的ABO血型系统是由A，B，O三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA，AO为A型血，BB，BO为B型血，AB为AB型血，OO为O型血．比如：父亲和母亲的基因型分别为AO，AB，则孩子的基因型等可能的出现AA，AB，AO，BO四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（    ）

A．                B．                C．                D．

7．“”的一个充分条件是（    ）

A．        B．        C．        D．

8．已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（    ）

A．            B．            C．1            D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A．展开式共6项                B．常数项为

C．所有项的系数之和为729        D．所有项的二项式系数之和为

10．在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论正确的是（    ）

A．             B．平面

C．点B到平面的距离为            D．直线BO与直线的夹角为

11．已知函数，下列结论正确的是（    ）

A．为偶函数        B．的值域为

C．在上单调递减        D．的图象关于直线不对称

12．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C．则下列结论正确的是（    ）

A．曲线C与y轴的交点为，        B．曲线C关于x轴对称

C．面积的最大值为2        D．的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，满足，，则的值为______．

14．已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为______．

15．已知椭圆的焦点分别为，，且是抛物线焦点，若P是与的交点，且，则的值为______．

16．已知函数，对任意非零实数x，均满足．则的值为______；函数的最小值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知数列的前n项和；

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18．（12分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．

（1）求B：

（2）若D为边AC的中点，且，，求a．

19．（12分）

如图，矩形ABCD中，，，将沿AC折起，使得点D到达点P的位置，．

（1）证明：平面平面ABC；

（2）求直线PC与平面ABC所成角的正弦值．

20．（12分）

第56届世界乒乓球锦标赛将于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得1分．

（1）已知某局比赛中双方比分为8：8，此时甲先连续发球2次，然后乙连续发球2次，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互，求该局比赛甲以11：9获胜的概率；

（2）已知在本场比赛中，前两局甲获胜，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互．两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望．

21．（12分）

在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4．

（1）求C的方程；

（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标．

22．（12分）

设函数．

（1）若有两个不同的零点，求实数a的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，，证明：．

数学试题参

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13．3；14．；15．；16．0，（第一空2分，第二空3分）．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解析】

（1）当时，，

当时，符合上式，所以．

（2）因为，

所以．

18．【解析】

（1）因为，由正弦定理得：，

因为，所以，又，所以，

因为，所以．

（2）延长BD到点M使，连接AM，

在中，，，，，

由余弦定理得：，

即：，解得：或（舍），所以．

19．【解析】

（1）因为，，，所以，所以，

又因为，，PB，平面PAB，所以平面PAB，

因为平面ABC，所以平面平面PAB．

（2）作于点O，以O为坐标原点，以过O垂直于平面PAB的直线，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

因为，，所以，，所以，

因为平面ABC的法向量为，

所以，

所以直线PC与平面ABC所成角的正弦值为．

20．【解析】

（1）设事件“在比分为8：8的条件下甲以11：9获胜”，

则．

（2）随机变量X的所有可能取值为：2，3，4，5，

，，

，，

所以随机变量X的分布列为：

21．【解析】

（1）因为实轴长为4，即，，又，所以，，

故C的方程为．

（2）由O，A，N，M四点共圆可知，，

又，即，

故，

即，所以．

设，，，

由题意可知，则直线，直线，

因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，

故M坐标为，所以，

又，由，则，

整理可得，

当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，

故设直线，代入双曲线方程：中，

可得，所以，，

又

，

所以

故，即，所以点P坐标为．

22．【解析】

（1）令，则有2个零点，等价于存在两个正根．

所以，解得，

所以使得有两个零点的a的取值范围是．

（2），

因为，，且有两个极值点，，

所以，为的两个不同解．

由（1）知，且，，不妨设，

．

要证明，

只需证，因为，所以，

只需证，注意到，

只需证，两边同除得，

因为，只需证，

设，令，则只需证即可．

则，令，

则，所以在上单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，所以，得证．