高三数列大题训练50题

1 ．数列{}的前n项和为，且满足，.

（1）求{}的通项公式； （2）求和Tn =.

2 ．已知数列，a1=1，点在直线上.

（1）求数列的通项公式；

（2）函数，求函数最小值.

3 ．已知函数(a，b为常数)的图象经过点P（1，）和Q（4，8）

（1） 求函数的解析式；

（2）记an=log2,n是正整数，是数列{an}的前n项和，求的最小值。

4 ．已知y＝f(x)为一次函数，且f(2)、f(5)、f(4)成等比数列，f(8)＝15．  

求＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)的表达式．

5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.

（1）求证:为等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足，试写出的通项公式，并求的结果.

6 ．在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*)，满足向量与向量共线，且点Bn(n,bn) (n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.

（1）试用a1,b1与n来表示an;

（2）设a1=a,b1=-a,且127 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的N*都成立，数列是等差数列．

（1）求数列与的通项公式；

（2）问是否存在N*，使得？请说明理由．

8 ．已知数列

（1）试求a2，a3的值；

（2）若存在实数为等差数列，试求λ的值.

9 ．已知数列的前项和为，若，

（1）求数列的通项公式;

围。

10．已知数列的前n项和是n的二次函数，满足且

（1）求数列（2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范的通项公式； 

（2）设数列满足，求中数值最大和最小的项. 

12．已知数列中，，且当时， 

（1）求数列的通项公式；

（2）若的前项和为，求。

13．正数数列的前项和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：。

14．已知函数=,数列中,2an+1－2an+an+1an=0，a1=1,且an≠0, 数列{bn}中, bn=f(an－1)

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）求数列{bn}的通项公式；

（3）求数列{}的前n项和Sn.

15．已知函数＝a·bx的图象过点A（4，）和B（5，1）．

（1）求函数解析式；

（2）记an＝log2  n∈N*，是数列的前n项和，解关于n的不等式 

16．已知数列的前项的和为，且，.

（1）求证：为等差数列；

（2）求数列的通项公式．

17．在平面直角坐标系中，已知、、，满足向量与向量共线，且点都在斜率6的同一条直线上.

（1）证明数列是等差数列；（2）试用与n来表示；

（3）设，且12，求数中的最小值的项.

18．设正数数列{}的前n项和满足．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）设，求数列{}的前n项和．

19．已知等差数列{an}中，a1=1,公差d>0，且a2、a5、a14分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项.

（1）求数列{an}、{bn}的通项an、bn;

（2）设数列{cn}对任意的n∈N*，均有+…＋＝an+1成立，求c1+c2+…+c2005的值.

20．已知数列{}满足，且

（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求数列{}的通项公式；

（3）设数列{}的前项之和，求证：。

21．设数列{an}的前n项和为=2n2，{bn}为等比数列，且a1=b1，b2(a2 －a1) =b1。

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）设cn=, 求数列{cn}的前n项和Tn.

22．已知函数与函数＞0)的图象关于对称.

（1）求;

（2）若无穷数列满足,且点均在函数上,求的值,并求数列的所有项的和(即前项和的极限)。

23．已知函数

（1）求证：数列是等差数列；

（2）若数列的前n项和

24．已知数列和满足：，，，（），且是以为公比的等比数列　

（1）证明：；

（2）若，证明数列是等比数列；

（3）求和： 　

25．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…

（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求数列｛an｝的通项及Tn；

26．等差数列是递增数列，前n项和为，且a1，a3，a9成等比数列，．

 （1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前n项的和．

27．已知向量且.若与共线,

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

28．已知：数列满足.

（1）求数列的通项；

（2）设求数列的前n项和Sn.

29．对负整数a，数可构成等差数列.

（1）求a的值；

（2）若数列满足首项为，①令，求的通项公式；②若对任意，求取值范围.

30．数列

（1）求证：数列是等比数列；

（2）求数列{}的通项公式；

（3）若

31．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

32．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足

（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论； 20070209

（3）求证： 

（2）求Sn和an

33．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数有。

（1）求；

（2）求数列的通项公式；

（3）设集合，若等差数列的任一项是的最大数，且，求的通项公式。

34．已知点列在直线l：y = 2x + 1上，P1为直线l与 y轴的交点，等差数列{an}的公差为  

（1）求{an}、{bn}的通项公式；

（2），求和：C2 + C3 + … +Cn；

（3）若，且d1 = 1，求证数列为等比数列：求{dn}的通项公式  

35．已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列满足.

（1）求证：数列成等差数列；

（2）求数列的前n项和；

（3）若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

36．已知数列{an}的前n项和为Sn（），且

（1）求证：是等差数列；

（2）求an；

（3）若，求证： 

37．已知

（1）当，时，问分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；

（2）若在R上恒为增函数，试求的取值范围;

（3）已知常数，数列满足,试探求的值，使得数列成等差数列．

38．在数列

（1）求数列的通项公式；

（2）求证： 

39．设函数f(x)的定义域为，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知

（1）求的值；

（2）判断上单调性；

（3）一个各项均为正数的数列{an}满足：其中Sn是数列{an}的前n项和，求Sn与an的值.

40．已知定义在（－1,1）上的函数f (x)满足，且对x,y时，有。

（1）判断在(－1，1)上的奇偶性，并证明之； 

（2）令，求数列的通项公式；

（3）设Tn为数列的前n项和，问是否存在正整数m，使得对任意的，有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，则说明理由。

41．已知，且

（1）求的表达式；

（2）若关于的函数在区间（-，-1]上的最小值为12，求的值。

42．设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点个数为。（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前n项和为，且，若对于一切的正整数n，总有，求实数m的取值范围。

43．在数列中，，其中 

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）证明存在，使得对任意均成立  

44．设数列{an}是首项为4，公差为1的等差数列，Sn为数列{bn}的前n项和，且

（1）求{an}及{bn}的通项公式an和bn.

（2）若成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（3）若对任意的正整数n，不等式恒成立，求正数a的取值范围. 

45．函数的最小值为且数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；

（3）若，求数列的最大项．

46．设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足．其中．

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求证：数列的前项的和（）． 

47．设数列；

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设数列的公比求数列的通项公式；

（3）记；

48．已知二次函数满足，且对一切实数恒成立.

（1）求   （2）求的表达式；

（3）求证：.

49．在数列中，，， 

（1）若对于，均有成立，求的值； 

（2）若对于，均有成立，求的取值范围； 

（3）请你构造一个无穷数列，使其满足下列两个条件，并加以证明：

； 

当为中的任意一项时，中必有某一项的值为1.

50．对任意都有

（1）求和的值．

（2）数列满足： =+，数列是等差数列吗？请给予证明；

（3）令试比较与的大小．

数列大题训练50题

参

1 ．解：（1） ∵，两式相减，得， 

∴，

∴.  

（2）

=

==. 

2 ．解 （1）∵在直线x－y+1=0上，

∴  故是首项为1，公差为1的等差数列.

∴  

（2）∵

∴  ∴的最小值是 

3 ．解：(1)因为函数f(x)=abx(a,b为常数)的图象经过点P，Q则有

(2)an = log2 (n) = log2 = 2n - 5    

因为an+1 - an=2(n + 1)- 5 -(2n -5) = 2  ;

所以{an}是首项为-3，公差为 2的等差数列        

所以   当n=2时，取最小值 - 4   

4 ．解：设y＝f(x)＝kx＋b( k≠0)，则f(2)＝2k＋b，f(5)＝5k＋b，f(4)＝4k＋b，

依题意：[f(5)]2＝f(2)·f(4)．

即：(5k＋b)2＝(2k＋b)(4k＋b)，化简得k(17k＋4b)＝0．

∵k≠0，∴b＝－k    ① 

又∵f(8)＝8k＋b＝15     ②

将①代入②得k＝4，b＝－17． 

∴Sn＝f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(4×1－17)＋(4×2－17)＋…＋(4n－17)

＝4(1＋2＋…＋n)－17n＝2n2－15n． 

5 ．（1），所以是等比数列

（2），所以是等差数列

（3）

6 ．解：(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上，

∴=6，即bn+1-bn=6,

于是数列{bn}是等差数列，故bn=b1+6(n-1). 

∵共线.

∴1×(-bn)-(-1)(an+1-an )=0,即an+1-an=bn 

∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+ …+(an-an-1)=a1+b1+b2+b3+…+bn-1

=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2) 

当n=1时，上式也成立.

所以an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).    

(2)把a1=a,b1=-a代入上式，得an=a-a(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n2-(9+a)n+6+2a.

∵127 ．解：（1）已知…N*)     　   ①

时，…N*)　 ②

①-②得，，求得，

在①中令，可得得，

所以N*)．  

由题意，，，所以，，

∴数列的公差为,

∴，

N*)． 

（2），

当时， 单调递增，且，

所以时， ，

又，

所以，不存在N*，使得． 

8 ．（I）解  依a1=5可知：a2=23, a3=95    

（II）解 设  若{bn}是等差数列，则有2b2=b1+b3 

即 

得

事实上， 

因此，存在、公差是1的等差数列

9 ．解：（1）令，，即

由

∵，∴，即数列是以为首项、为公差的等差数列， ∴

（2）①，即

②∵，又∵时， 

∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立，因此

10．依题意设

（1），∴   ①

又∴    ②

由①、②得所以

又

而符合上式，∴ 

（2）

当时，是增函数，因此为的最小项，且

又，所以中最大项为，最小项为。

11．（1）由y＝得 x＝，∴ 

又an＋1＝f-1（an）（n），∴an＋1＝

a1＝,an＋1＝，∴an（nN＋）

∴且

∴{}是以－2007为首项, 2为公差的等差数列

∴

∴为所求

（2）由（1）知bn＝，

记g（n）＝（2n－2009）（2n－2011）（nN＋） 

当1≤n≤1004时,g（n）单调递减且gmin（n）＝g（1004）＝3

此时bn>0且bn的最大值为;  当n＝1005时,g（n）＝－1;

当n≥1006时,g（n）单调递增且gmin（n）＝g（1006）＝3此时bn>0且bn的最大值为;

综上：bn的最大值为,最小值为－1    

12．（1）

    等差数列   

（2）错位相减， 

13．（I）由已知，得  

作差，得。

又因为正数数列，所以，由，得

（II），

所以……=

14．解：（1）2an+1－2an+an+1an=0  ∵an≠0,  两边同除an+1an  

∴数列{}是首项为1,公差为的等差数列 

（2）∵=

∴an－1=

∵bn=f(an－1)=f()=－n+6  (n∈N)

（3）       －n+6  (n≤6, n∈N)

=    n－6 (n>6, n∈N) 

                       (n≤6, n∈N)  

∴Sn=                                                 (n>6, n∈N)  

15．（1）   

（2）n=5，6，7，8，9  

16．解：（1）当时，，∴， 

∴， ∴数列为等差数列． 

（2）由（1）知，，

∴． 

当时，，

∴ 

17．解：（1）∵点都在斜率为6的同一条直线上，

于是数列是等差数列，故 

（2）共线，

当n=1时，上式也成立. 

所以 

（3）把代入上式，

得

，

∴当n=4时，取最小值，最小值为

18．解：（Ⅰ）当时，，∴.   

∵，               ①

∴  (n.     ②                      

①－②，得，

整理得，， 

∵   ∴.

∴，即.  

故数列是首项为，公差为的等差数列.

∴.  

（Ⅱ）∵，    

∴  

.   

19．解：(Ⅰ)由题意，有 (a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2.    

而a1=1,d>0.∴d=2,∴an=2n-1.    

公比q==3,a2=b2=3.

∴bn=b2·qn-2=3·3 n-2=3 n-1.

(Ⅱ)当n=1时， =a2,∴c1=1×3=3.

当n≥2时，∵    ……①

            ……②

②—①,得∴cn=2bn= 

∴cn=

∴c1+c2+c3+…+c2005=3+2(31+32+33+…+32004) =3+2·     

20．(1) 

21．解：（1）∵当n=1时 ，a1=S1=2；

当n≥2时，an=Sn －Sn－1=2n2 －2(n－1)2=4n－2.

故数列{an}的通项公式an=4n－2，公差d=4.

设{bn}的公比为q，则b1qd= b1，∵d=4，∴q=.∴bn=b1qn－1=2×=,

即数列{ bn }的通项公式bn=。

（2）∵

∴Tn=1+3·41+5·42+······+(2n－1)4n－1

∴4Tn=1·4+3·42+5·43+······+(2n－1)4n

两式相减得3Tn=－1－2（41+42+43+······+4n－1）+(2n－1)4n=

∴Tn=

22．(1) 

(2)在上  

,当时 

  等比且公比为,首项为  等比公比为,首项为1 ,所以的各项和为

23．解：（1）由已知得： 

是首项为1，公差d=3的等差数列

（2）

由

24．解法：（I）证：由，有， 　

（）证：，

，，

是首项为5，以为公比的等比数列　

（）由（）得，，于是

当时， 　

当时， 

故

25．解：（1）由已知，    

，，两边取对数得，即

是公比为2的等比数列. 

（2）由（1）知 

        = 

26．(1)解：设数列公差为d(d＞0)

　　∵a1，a3，a9成等比数列，∴，即

　　整理得： 

    ∵，∴　                     　①

　　∵   ∴　 　②

　　由①②得：， 

    ∴ 

(2) 

    ∴

27．(1)     ①

取得

                   ②

②①得： 

中的奇数项是以为前项，4为公比的等比数列，偶数项是以的前项，4为公比的等比数列

（2）当为偶数时，

当为奇数时， 

28．（Ⅰ） 

验证n=1时也满足上式： 

（Ⅱ）

29．（1）  又

（2）①

又

②

   即

而

30．解（1）由题意知： 

是等比数列

（2）由（1）知数列以是a2－a1=3为首项，

以2为公比的等比数列，所以

故a2－a1=3·20，所以a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…， 

所以

（3）

设①

2②

①—②得： 

31．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x2－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故Tn＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

32．解证：（Ⅰ） 

当n≥2时， 

   故是以2为首项，以2为公差的等差数列. 

（Ⅱ）由（Ⅰ）得 

当n≥2时， 

当n=1时， 

（Ⅲ）

33．解：（1），

∴数列是以为首项，-1为公差的等差数列，

。

（2）由，得。

。

而当时，。

。

（3）对任意，

所以，即。

是中的最大数，。

设等差数列的公差为，则。

，，

是一个以-12为公差的等差数列，

，

。

34．解：（Ⅰ）在直线 

∵P1为直线l与y轴的交点，∴P1（0，1）  ， 

又数列的公差为1  

（Ⅱ）

（Ⅲ） 

是以2为公比，4为首项的等比数列，

35．解：（Ⅰ）由题意知，   （） 

∵， 

∴ 

∴数列是首项，公差的等差数列，

其通项为（）． 

（Ⅱ）∵,（）

∴,

于是

两式相减得  

.

∴  （）

（Ⅲ）　∵， （）

∴当时， 

当时，，即

∴当时，取最大值是        

又对一切正整数n恒成立 ∴

即得或 

36．（1）∵，∴，又∵∴

∴数列是等差数列，且

（2）当时， 

当n=1时，不成立. ∴

（3），∴.

∴左边显然成立.

37．解：（Ⅰ）当时， 

（1）时， 

当时，；当时， 

（2）当时， 

当时，；当时， 

综上所述，当或4时，；当时， 

（Ⅱ） 

在上恒为增函数的充要条件是，解得 

（Ⅲ），

① 当时，，即  （1）

当n=1时，；当n≥2时，  （2）

（1）—（2）得，n≥2时，，即

又为等差数列，∴   此时 

②当时，即  ∴

若时，则（3），将（3）代入（1）得，

对一切都成立

另一方面，，当且仅当时成立，矛盾

不符合题意，舍去.  

综合①②知，要使数列成等差数列，则 

38．（I）解：由

从而由

的等比数列

故数列 

（II）

39．1°

40．解：（I）令x=y=0，得f(0)=0。

又当x=0时，即。

∴对任意时，都有。

为奇函数。

（II）满足

。。

在上是奇函数， ∴，即。

是以为首项，以2为公比的等比数列。。                                                    

（III）=。

假设存在正整数m，使得对任意的，

有成立，

即对恒在立。

只需，即

故存在正整数m，使得对，有成立。

此时m的最小值为10。

41．解（1）    

（2）∵，∴，

∴。

①当即时，函数在区间（-,-1]上是减函数

∴当时，即，

又,∴该方程没有整数解； 

当，即时， 

∴，解得或（舍去）

综上所述，为所求的值

42．解：（I）由，得

或

∴内的整点在直线和上，记直线为l，l与直线的交点的纵坐标分别为，则

（II）

∴当时，，且

是数列中的最大项，故 

43．（Ⅰ） 解：由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为 

（Ⅱ）解：设，　　　①

　　　　　　　　②

当时，①式减去②式，

得，

这时数列的前项和 

当时，  这时数列的前项和 

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

 　　　　③

由知，要使③式成立，只要，

因为

所以③式成立  

因此，存在，使得对任意均成立  

44．解：（I）

（II）假设符合条件的k(k∈N*)存在，

由于∴当k为正奇数时，k + 27为正偶数

由（舍）

当k为正偶数时，k + 27为正奇数，

由  即（舍）

因此，符合条件的正整数k不存在 

（III）将不等式变形并把代入得

设

又， 

45．解：（Ⅰ）由

，， 

由题意知：的两根，

（Ⅱ）， 

为等差数列，，， 

经检验时，是等差数列， 

（Ⅲ）

46．⑴由已知条件得，   ①

当时，，  ②

①－②得：，即，

∵数列的各项均为正数，∴（），

又，∴；

∵，

∴，∴；

⑵∵，

∴，

，

两式相减得，

∴．

47．解：（1）由

相减得：是等比数列

（2），

（3），

        ①

    ②

①－②得：，

，

所以： 

48．解： （1）根据对一切实数恒成立，

令，可得，； 

（2）设，则，解得

又恒成立，即恒成立，，解得，， 

（3）由（2）得， 

49．（Ⅰ）解：依题意，， 

所以，解得，或，符合题意.  

（Ⅱ解不等式，即， 得

所以，要使成立，则   

（1）当时，，

而，即，不满足题意. 

（2）当时，，，，满足题意.

综上，.   

（Ⅲ）解：构造数列：，  . 那么.   不妨设取，

那么，，，，

.  由，可得， （，）.

因为，所以.

又，所以数列是无穷数列，因此构造的数列符合题意.  

50．解：（Ⅰ）因为．所以． 

令，得，即． 

（Ⅱ）

又

两式相加

．

所以， 

又．故数列是等差数列．分

（Ⅲ）

所以