上海市金山中学2013-2014学年高二下学期4月阶段测试(月考)数学试题Word...

考试时间120分钟   满分150分

一、填空题（本大题每题4分，满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应题号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分。

1．若直线经过点,方向向量为，则直线的点方向式方程是_.

2．若直线与直线垂直，则________.

3．若（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则的值为       .13 

4．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程是________.

5．将函数的图像绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为__________.  

6．在东经圈上有甲、乙两地，它们分别在北纬与北纬圈上，地球半径为，则甲、乙两地的球面距离是           . 

7．设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________． 

8．已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.

9．已知双曲线方程，则过点和双曲线只有一个交点的直线有________条. 

10．如图1，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是__________.

11．设正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_______． 

12．已知椭圆的两个焦点为,以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另外两条边，且，则等于________. (不扣分)

13．如图2，在直三棱柱中，，，，是上一动点，则的最小值是__________． 

14．在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之和等于，，则由中的所有点所组成的图形的面积是_________.

二、选择题（本大题每题5分，满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上写上代号，每题选对得4分，否则一律得零分。

15．过点且与直线平行的直线方程是                      （    ）

．   ．    ．    ． 

16．若（是虚数单位），则的最小值是      （    ）

．         ．         ．            ． 

17．动圆经过点并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积                                                        （     ）

．有最大值  ．有最小值    ．有最小值         ．有最小值

18．正方体的面内有一点，满足,则点的轨迹是                                                              （     ）

．圆的一部分    ．椭圆的一部分  ．双曲线的一部分   ．抛物线的一部分 

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应区域内写出必须的步骤。

19．（本题满分12分）

    已知复数满足：且是纯虚数，求复数.

解：设   ……  1分

    ①           ……  3分

又是纯虚数  ……  5分

，且②   ……  7分

解①②可得或者    …… 11分

或者       ……  12分

20．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

    已知抛物线．

（1）若直线与抛物线相交于两点，求弦长；

（2）已知的三个顶点在抛物线上运动.若点在坐标原点，边过定点，点在上且，求点的轨迹方程．

解：（1）得，……  2分

所以……  6分

（注：用其他方法也相应给分）

（2）设点的坐标为,由边所在的方程过定点,               

  ……  8分

  ,                                  

所以,  即…… 14分

        (注:没写扣1分)

21．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图3，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆柱侧面积等于．

（1）求圆柱的体积；

（2）求异面直线与所成角的大小．

解：（1）设圆柱的底面半径为，由题意， 

．……　2分

． ……　6分 

（2）连接，由于∥，

即为异面直线与所成角 (或其补角)，…8分

过点作圆柱的母线交下底面于点，连接

由圆柱的性质，得为直角三角形，四边形为矩形

，

由，由等角定理，得

所以

可解得，

在Rt中， 

由余弦定理，…　13分

异面直线与所成角．……　14分

22．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．

定义：我们把椭圆的焦距与长轴的长度之比即，叫做椭圆的离心率.若两个椭圆的离心率相同，称这两个椭圆相似.

（1）判断椭圆与椭圆是否相似？并说明理由；

（2）若椭圆与椭圆相似，求的值；

（3）设动直线与（2）中的椭圆交于两点，试探究：在椭圆上是否存在异于的定点，使得直线的斜率之积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.

解：（1），相似；  ……4分

（2）； ……8分

（3）设、、常数，代入，得，……10分

代入，

整理得，……12分

由，……14分

得，或，.  ……16分                                                   

23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是．

（1）求双曲线的方程；

（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；

（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:．

解： （1）设的坐标分别为

    因为点在双曲线上，所以，即，所以 

在中，，，所以          ……2分

由双曲线的定义可知： 

     故双曲线的方程为：                                    ……4分

（2）由条件可知：两条渐近线分别为       ……5分

设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则

则点到两条渐近线的距离分别为……7分

因为在双曲线：上，所以

又，         

所以      ……10分

（3）由题意，即证：.

设，切线的方程为：                  ……11分   

 ①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得：

所以：                   

又…13分

     所以        ……15分

②当时，易知上述结论也成立．  所以       ……16分

综上，，所以．……18分

（注：用其他方法也相应给分）