专题------瓜豆原理之圆型(15)

专题------瓜豆原理之圆型（1）

运动轨迹为圆或弧

引例1 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，Q 为AP 中点．

考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？

引例2 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，作AQ ⊥AP 且AQ =AP ．

考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？

引例3 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ =90°且AP =2AQ ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？

【模型总结】

为了便于区分动点P 、Q ，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”．

此类问题的必要条件：两个定量

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP :AQ 是定值）．

【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ =∠OAM ；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比： AP :AQ =AO :AM ，也等于两圆半径之比． 按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q 与P 的关系相当于旋转+伸缩．

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．

【思考1】：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为一边作等边△APQ ．

考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？

Q

Q

2

【思考2】如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP ，以AP 为斜边作等腰直角△APQ ．

考虑：当点P 在圆O 上运动时，如何作出Q 点轨迹？

【练习】

1.如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （

2.8,0

），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB

的中点，则AC 的最小值是_______．

2.如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________．

3.如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得

DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值．

4.△ABC 中，AB

=4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为_____________．

5.在直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是以点A 为圆心，4为半径的圆上的一点，连接BD ，点M 为BD 的中点，若点D 在圆A 上运动一周，则点M 的运动路径长为 ，线段CM 的最大值是________。

专题------瓜豆原理之圆型(2)

记住以下要点：

（1）如果主动点在某一封闭图形上运动，则从动点运动所形成的封闭图形与主动点运动的封闭图形相似，其相似比=从动点到定点的距离：主动点到定点的距离。

（2）若主动点的运动路径是圆形，则从动点运动的路径也是圆形。从动点运动的弧的度数（或圆心角的度数）=主动点运动的弧的度数（或圆心角的度数）；从动圆的半径：主动圆的半径=从动点到定点的距离：主动点到定点的距离=相似比

（3）通常常将圆型最值转化为圆外一点到圆上一点的最值

典型例题+练习：

例1 如图，圆O 的半径为2，点O 到顶点A 的距离为5，点B 在圆O 上，点P 是线段AB 的中点，若B 在圆O 上运动一

周。

（1）试说明点P 的运动路径是一个圆

（2）△ABC 始终是一个等三角形，直接写出PC 的取值范围。 O A B C D E F A B C D E

O 第1题图 第4题图 第3题图 第2题图 B

3 例3 如图，点P(3，4)，圆P 半径为2，A （2.8，0），B （5.6，0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC

的最小值是_____________________.（可仿照例1完成）

例4 如图，在等腰直角△ABC 中，AC=BC=，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当点P 从半圆上的

点A 运动至点B 时，点M 的运动路径长为______________.

例5 如图，正方形ABCD 中，AB=，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE=2，连接DE ，将线段DE 绕点D

逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF 。则线段0F 的最小值为_______

例6 如图，B 是圆O 的半径OA 延长线上的一点，OA=AB=2，C 是半圆O 上的一个动点，以BC 为斜边在BC 的上方作等腰

直角△BCD ，连接OD ，则线段OD 的最大长度是_________________

例7 如图，△ABC 中，AB=4，AC=2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为

________________.

费马点：三角形内到三角形三个顶点的距离之和最小的点

基本原理分析：如图，点D 是△ABC 内一点，连接AD 、BD 、CD ，我们将△CDB 绕点C 逆时针旋转60°得△CD / B /,则△D

D /C 和△B B /C 都是等边三角形。则AD+BD+CD=AD+D D /+ B /D /(如图（1）)，显然当A 、D 、D /、 B /在同一直线上时（如

图（2））AD+BD+CD 有最小值=A B /

例1 如图，直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，点P 是△ABC 内一点，求PA+PB+PC 的最小值。

E C B O

A B

B C 例6 例5 例4