人教版九年级上册数学期末考试试题及答案解析

一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． C． D．

2．下列方程是一元二次方程的是（ ）

A． ． ． ．

3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）

A． ． ． ．

4．二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7有（　　）

A．最大值﹣7 ．最小值﹣7 ．最大值7 ．最小值7

5．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，它的解析式为（ ）

A． ．

C． ．

6．下列事件是随机事件的是（ ）

A．购买一张福利彩票就中奖 B．有一名运动员奔跑的速度是50米秒

C．在一个标准大气压下，水加热到会沸腾

D．在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球

7．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠A的度数等于(　　)

A．30° ．45° ．60° ．90°

8．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ）

A． ． ． ．

9．已知圆心角是，半径为30的扇形的弧长为（ ）

A． ． ． ．

10．已知圆心角为的扇形的弧长为，该扇形的面积为（ ）

A． ． ． ．

11．已知直线经过一、二、三象限，则抛物线大致是（ ）

A． B． C． D．

12．如图，的半径为，，则经过点的弦长可能是（ ）

A．3 ．5 ．9 ．12

二、填空题

13．一元二次方程的根是_____．

14．抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为_____．

15．数学老师将全班分成4个小组开展合作学习，采用随机抽签方式确定2个小组进行展示活动，则第1小组和第2小组被抽到的概率是_________．

16．如图，的内切圆⊙O分别与AB，AC，BC相切于点D，E，F．若，，，则⊙O的半径等于________．

17．如图，在边长为的正六边形中，是的中点，则_______．

18．如图，把绕点顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角的度数为______．

三、解答题

19．用指定方法解方程：

（1）（公式法）；

（2）（配方法）．

20．（1）画图：图①为正方形网格，画出绕点顺时针旋转后的图形．

（2）尺规作图：在图②中作出四边形关于点对称的图形（不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．

21．已知是关于的二次函数，，满足下表

（1）图象函数名称________，开口方向_______；

（2）对称轴表达式_________；

（3）顶点坐标_________；

（4）随的变化情况___________，___________．

22．如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．

23．如图是一张长24cm，宽12cm的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．

（1）a＝　　；

（2）若铁盒底面积是80cm2，求剪去的小正方形边长．

24．某电脑销售店电脑原价为每台5000元，元旦期间开展了促销活动，将原价经过两次下调后，促销价为每台4050元．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）某校计划以促销价购买100台电脑．该店还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送12个月的免费保修费，免费保修费为每台每月10元．请问哪种方案更优惠？

25．如图，中，，平分，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作，恰好经过点．

（1）求证：直线是的切线；

（2）若，，求线段的长．

26．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象经过A，B，C三点．

（1）求A，C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

参

1．D

【解析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

【详解】

解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．

故选D.

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.

2．C

【分析】

根据一元一次方程的定义依次判断即可．

【详解】

解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；

B、该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；

C、该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、该方程分式方程，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c为常数且a≠0）．

3．D

【分析】

用直接开平方法解方程，然后根据平方根的意义求得m的取值范围.

【详解】

解：

∵关于的方程有实数根

∴

故选：D

【点睛】

本题考查直接开平方法解方程，注意负数没有平方根是本题的解题关键.

4．A

【分析】

根据顶点式直接写出答案即可．

【详解】

二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7中，k＝﹣3＜0，

∴二次函数y＝﹣3（x+1）2﹣7，当x＝﹣1时有最大值﹣7，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．

5．B

【分析】

根据二次函数图象的平移方法即可求解．

【详解】

解：将抛物线图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象解析式为

故选择：B．

【点睛】

此题主要考查二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数平移的方法．

6．A

【分析】

根据随机事件的定义，随机事件:是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，进行一一排查即可．

【详解】

解：A. 购买一张福利彩票就中奖，是随机事件，故A正确；

B. 有一名运动员奔跑的速度是50米秒，是确定事件中不可能事件，故B不正确；

C. 在一个标准大气压下，水加热到会沸腾，是确定事件中必然事件，故C不正确；

D. 在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是确定事件中不可能事件，故D不正确；

故选择：A．

【点睛】

本题考查随机事件，掌握随机事件的定义，随机事件与确定性事件相比，是不确定的，因为对这种事件不能确定它是发生，还是不发生，即对事件的结果无法确定．

7．B

【分析】

先由AB是⊙O的直径得出∠C=90°，再根据AC=BC，得出△ABC是等腰直角三角形，由此求出∠A=45°．

【详解】

∵AB是⊙O的直径，

∴∠C＝90°，

∵AC＝BC，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴∠A＝45°．

故选B．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．同时考查了等腰直角三角形的性质．

8．D

【分析】

根据概率计算公式，直接用黄色小球的个数除以总个数计算即可得结果．

【详解】

解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为，

故选：D．

【点睛】

本题考查了概率的计算，牢记概率的计算公式是解题的关键．

9．B

【分析】

直接利用弧长公式计算即可得到答案．

【详解】

扇形圆心角为，半径为30

该扇形的弧长

故选：B．

【点睛】

本题考查了扇形弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键．

10．C

【分析】

设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．

【详解】

解：设扇形的半径为r．

由题意：=6π，

∴r=9，

∴S扇形==27π，

故选择：C．

【点睛】

本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．

11．A

【分析】

由直线经过一、二、三象限，可确定，由，抛物线开口向上，可判断D不正确，由抛物线的对称轴x≠0，可判断C不正确，由x=抛物线对称轴在y轴左侧可判断D不正确，A正确．

【详解】

解：∵直线经过一、二、三象限，

∴，

∵，抛物线开口向上，则D不正确，

∵，

∴抛物线的对称轴x≠0，则C不正确，

由x=，

抛物线对称轴在y轴左侧，则D不正确，A正确，

故选择：A．

【点睛】

本题考查一次函数经过象限确定抛物线的位置，掌握抛物线的性质，特别是抛物线的性质与系数的关系是解题关键．

12．C

【分析】

当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；当弦与OP是垂直时，弦最短为8；判断即可.

【详解】

当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；

当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得

半弦长= =4，

所以最短弦为8；

所以符合题意的弦长为8到10，

故选C.

【点睛】

本题考查了直径是最长的弦，垂径定理，熟练运用分类思想，垂径定理，勾股定理是解题的关键.

13．

【分析】

利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．

【详解】

解：或，

所以．

故答案为．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

14．（0，﹣5）

【分析】

要求抛物线与y轴的交点，即令x＝0，解方程．

【详解】

解：把x＝0代入y＝﹣x2+2x﹣5，求得y＝﹣5，

则抛物线y＝﹣x2+2x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）．

故答案为（0，﹣5）．

【点睛】

本题考查了抛物线与轴的交点坐标，正确掌握令或令是解题的关键．

15．

【分析】

首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．

【详解】

解：如图所示：

由图可知，共有12种可能结果，其中第1小组和第2小组被抽的结果有2种，

所以第1小组和第2小组被抽到的概率为．

故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．

16．2

【分析】

连接OE，OD，OF，由切线长定理可得AE=AD，BF=BD，证明四边形OECF是正方形，根据勾股定理求出AB的长，然后根据AD+BD=AB列方程求解即可．

【详解】

解：连接OE，OD，OF，设⊙O的半径为r，

∵⊙O分别与边AB、AC 、BC相切于点D、E、F，

∴OE⊥AC，OD⊥AB，OF⊥BC，AE=AD，BF=BD，

∴∠OEC=∠OFC=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形OECF是矩形，

∵OE=OF，

∴四边形OECF是正方形，

∴EC=FC=r，

∴AE=AD=6-r，BF=BD=8-r，

∵∠C=90°，，，

∴AB==10，

∵AD+BD=AB，

∴6-r+8-r=10，

∴r=2．

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

17．

【分析】

连接AE，过点F作FH⊥AE，根据正六边形的内角和得出∠AFE＝∠DEF＝120°，再根据等腰三角形的性质可得∠FAE＝∠FEA＝30°，得出∠AEP＝90°，由直角三角形的性质和勾股定理求得FH，AE，再利用勾股定理即可得出AP．

【详解】

解：如图，连接AE，过点F作FH⊥AE，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝2，∠AFE＝∠DEF＝120°，

∴∠FAE＝∠FEA＝30°，

∴∠AEP＝90°，

∴FH＝AF＝1，

∴AH＝，

∴AE＝2AH＝，

∵P是ED的中点，

∴EP＝DE＝1，

∴AP＝．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正多边形、勾股定理及等腰三角形的性质等知识，掌握相关图形的性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

18．40°

【分析】

根据旋转的性质可得，再根据外角的性质求得，从而得到结果．

【详解】

由旋转得，，

又∵，

∴，即．

故答案为：40°．

【点睛】

本题考查了旋转的性质及外角的性质，明确旋转角，熟练掌握旋转性质是解题的关键．

19．（1），；（2），

【分析】

（1）先确定原方程各项系数的值，再代入求根公式即可得到方程的解；

（2）方程整理后，再移项，把二次项系数化为1，最后运用配方法求解即可．

【详解】

解：（1）

∵，，，

∴，

则，

∴，．

（2）

把原方程化为．

配方，得，

即．

由此可得．

，．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元二次方程，可以大大降低计算量．

20．（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF，顺次连接即可；

（2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO，顺次连接即可．

【详解】

解：（1）连结OA、OB、OC，将OA、OB、OC绕着点O顺时针旋转90°得OD，OE，OF，

顺次连结DE，EF，FD，

如图①，则为所求；

（2）连结AO、BO、CO、DO并延长，在延长线上截取A′O=AO，B′O=BO，C′O=CO，D′O=DO，

顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A，

如图②，四边形为所求．

【点睛】

本题考查旋转作图，中心对称作图问题，掌握旋转作图与中心对称作图的方法与步骤是解题关键．

21．（1）抛物线，向下；（2）；（3）（1，1）；（4）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．

【分析】

根据已知表格和二次函数的性质依次判断即可；

【详解】

（1）因为是关于的二次函数，∴图像名称是抛物线，

观察x，y的值可知抛物线开口方向向下；

故答案是：抛物线，向下；

（2）由表可知，图象与x轴交于点，，故对称轴；

故答案是；

（3）因为对称轴为，所以顶点坐标为（1，1）；

故答案是（1，1）；

（4）因为对称轴为且开口向下，

所以当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．

故答案是：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．

22．水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．

【分析】

如图：过点作半径于，则，由垂径定理得，在利用勾股定理可求得，水深，即可求解．

【详解】

如图：过点作半径于 

在中，

水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为

【点睛】

本题考查了垂径定理的，解题关键在于作辅助线利用勾股定理计算．

23．（1）12；（2）

【分析】

（1）根据题意找到等量关系列出方程组，转化为一元二次方程求解即可；

（2）根据题意，得mn＝80，结合（1）转化为一元二次方程求解即可．

【详解】

解：（1）设底面长为mcm，宽为ncm，正方形的边长为xcm，根据题意得：

，

由②③得2a＝24，

解得a＝12（cm），

故答案为：12cm；

（2）根据题意，得

mn＝80，

由，得

由①得，n＝12﹣2x，

把a＝12代入②得m＝12﹣x，

再把m和n代入mn＝80中，得

（12﹣x）（12﹣2x）＝80，

解得x＝2或x＝16（舍去）．

答：剪去的小正方形边长为2cm．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，正方形的性质，方程组，一元二次方程的解法，准确理解剪图的意义，把问题转化为方程组和一元二次方程问题求解是解题的关键．

24．（1）平均每次降价的百分率为；（2）方案②更优惠．

【分析】

（1）设平均每次降价的百分率是 ，根据题意列方程得 解方程即可；

（2）方案①的电脑款是：（元，方案②的电脑款是：（元计算结果比较即可．

【详解】

解：（1）设平均每次降价的百分率是 ，

根据题意列方程得 ，

，

，

解得，（不合题意，舍去），

答：平均每次降价的百分率为 ；

（2）方案①的电脑款是：（元，

方案②的电脑款是：（元，

元元，

答：方案②更优惠．

【点睛】

本题考查降价率与方案设计问题应用题，掌握减价率一元二次方程应用题的解法，会根据方案列出数式并计算进行决策．

25．（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）连接 由平分得 ，由圆的半径得 ，利用传递性，利用内错角相等，得 利用平行线性质即可；

（2）在中，可得，可求，，设，则 由勾股定理，即可，求．

【详解】

（1）证明：连接 ，

平分，

 ，

，

 ，

，

 ，

，

直线是的切线；

（2）解：在中，，

 ，

，，

在中，，

，

设，则 ，

，即，

解得,由x>0，

即．

【点睛】

本题考查圆的切线，角平分线，等腰三角形，平行线的判定，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程及其解法，本题难度不大，综合运用知识多，是基础知识复习的好题．

26．（1）点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；（2）y＝x2﹣3x﹣8；（3）最大值为4，此时点P（4，﹣12）

【分析】

（1）根据B点坐标及OA＝OC＝4OB结合图象即可确定A点，C点的坐标；

（2）由（1）可将抛物线的表达式写成交点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；

（3）求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可．

【详解】

解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），

∴OB＝2，

∴OA＝OC＝4OB＝8，

故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；

（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），

把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，

解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；

（3）∵直线CA过点C，

∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，

将点A坐标代入上式并解得：k＝1，

故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，

过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝8，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∵PH∥y轴，

∴∠PHD＝∠OCA＝45°，

设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），

∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝= ，

∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）．

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质结合三角函数是解题的关键．