平面向量及其应用练习题(有答案) 百度文库

一、多选题

1．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b

B a

=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

2．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）

A ．()

a c

b

c a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()

()

b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-

D ．(

)()

22

323294a b a b a b +⋅-=-

3．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =

，

30A =︒，则B =（ ）

A ．30

B ．45︒

C ．135︒

D ．150︒

5．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++

D ．AB AC BD CD -+-

6．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）

A ．22

OA OD ⋅=-

B ．2OB OH OE +=-

C ．AH HO BC BO ⋅=⋅

D ．AH 在AB 向量上的投影为2

-

7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）

A ．sin :sin :sin 4:5:6A

B

C = B ．ABC ∆是钝角三角形

C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍

D ．若6c =，则ABC ∆ 8．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同

D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 9．设a 为非零向量，下列有关向量

||

a

a 的描述正确的是（ ） A ．|

|1||

a a =

B ．

//||

a a a

C ．

||

a a a =

D ．

||||

a a a a ⋅=

10．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c

B ．若PA PB PB P

C PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 11．在下列结论中，正确的有（ ）

A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B ．平行向量又称为共线向量

C ．两个相等向量的模相等

D ．两个相反向量的模相等

12．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()

m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-

C ．若ma mb =，则a b =

D ．若()0ma na a =≠，则m n =

13．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >

C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个

D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形 14．下列命题中正确的是( )

A ．单位向量的模都相等

B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量

C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >

D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 15．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同

二、平面向量及其应用选择题

16．已知圆C 的方程为2

2

(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x

上，线段AB 为圆C

的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2

B ．

52

C ．3

D ．

72

17．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪

⎝⎭

且

1

2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形

D ．以上均有可能

18．ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，

，.①若A B

>，则sin sin A B >；②若sin 2sin 2A B =，则ABC 一定为等腰三角形；③若cos cos a B b A c -=，则

ABC 一定为直角三角形；④若3

B π

=

，2a =，且该三角形有两解，则b 的范围是

)

+∞.以上结论中正确的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心

B ．垂心

C ．外心

D ．内心

20．下列说法中说法正确的有（ ）

①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；

③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

B ．①②④

C ．①②⑤

D ．③⑥

21．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且

27

sin 7

BAD ∠=

，则CD 等于（ ）

A ．

23

3

B ．

33

C ．

33

2

D ．

43

3

22．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．钝角三角形

23．已知20a b =≠，且关于x 的方程2

0x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的

取值范围是( ) A ．06

,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

B ．,3ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

C ．2,33ππ⎡⎤⎢

⎥⎣⎦

D ．,6ππ⎡⎤

⎢

⎥⎣⎦

24．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且

3

03

aGA bGB cGC ++

=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°

B ．60°

C ．45°

D ．30°

25．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）

A ．500米

B ．1500米

C ．1200米

D ．1000米26．题目

文件丢失！

27．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为

A ．33)2

B ．3

(

3)2

C

．3(2

D

．3(2

28．

已知向量(2

2cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数

()y f x =的性质的描述正确的是( )

A ．关于直线12

x π

=对称

B ．关于点5,012π⎛⎫

⎪⎝⎭

对称 C ．周期为2π

D ．()y f x =在,03π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

上是增函数 29．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

3

π

B ．

23

π C ．

56

π D ．

6

π 30．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，4

7

AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2

B ．-2

C ．4

D ．-4

31．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）

①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且

()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则

ABC ∆为锐角三角形．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

32．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠=

==，M 为线段EF

的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）

A B C ．2

D 33．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点

C ，

D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）

A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．1,02⎛⎫

-

⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭

34．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO OD =，则OC =（ ） A ．1233

AB AC -

+ B ．

21

33

AB AC -

C ．

1233

AB AC - D ．21

33

AB AC -

+ 35．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=︒==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．12

D ．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．D 【分析】

在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.

故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查 解析：D 【分析】 在ABC 中，根据

cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.

【详解】

在ABC 中，因为

cos cos A b

B a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A B

B A

=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，

解得A B =或2

A B π

+=.

故ABC 是直角三角形或等腰三角形.

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

2．ACD

【分析】

A ，由平面向量数量积的运算律可判断；

B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；

C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；

D ，由平

解析：ACD

【分析】

A ，由平面向量数量积的运算律可判断；

B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；

C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；

D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.

【详解】

选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；

选项B ，

()()()()

()()()()

0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；

选项C ，∵a 与b 不共线，

∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：

由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；

选项D ，()()22

2232329694a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD

本小题主要考查向量运算，属于中档题.

3．ACD

【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；

对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中

解析：ACD

【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝

2sin 2sin 2sin sin R B R C R B C

+=+＝左边，故该选项正确. 【详解】 对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

π，∴a ＝b 或a 2+b 2

＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C R B C B C

++==++＝左边，故该选项正确. 故选：ACD.

【点睛】 本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4．BC

【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.

【详解】

解：根据正弦定理得： ，

由于，所以或.

故选：BC.

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC

【分析】

用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.

【详解】 解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：

1sin 2sin 12

b A B a ===，

由于1b a =

>=，所以45B =或135B =.

故选：BC.

【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题. 5．BD

【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.

【详解】

对于选项：，选项不正确；

对于选项： ，选项正确；

对于选项：，选项不正确；

对于选项：

选项正确.

故选：

解析：BD

【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.

【详解】

对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确；

对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确；

对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；

对于选项D ：()()

0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-

= 选项D 正确.

故选：BD

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题. 6．AB

【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．

【详解】

图2中的正八边形，其中，

对于；故正确．

对于，故正确．

对于，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．

对于

解析：AB

【分析】

直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．

【详解】

图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，

对于3:11cos 4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．

对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos

||42

AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ．

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 7．ACD

【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.

【详解】

因为

所以可设：（其中），解得：

所以，所以A 正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大，

又 ，所以角为

解析：ACD

【分析】

先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.

【详解】

因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=

所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩

（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===

所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；

由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458

a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；

由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654

c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18

A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,

2C π⎛

⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =

，又sin C ==

所以2R =

，解得：R =D 正确. 故选:ACD.

【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

8．C

【分析】

对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；

对B ，两边平方化简；

对C ，根据向量相等的定义判断；

对D ，根据向量共线的定义判断.

【详解】

A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A

解析：C

【分析】

对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；

对B ，两边平方化简a b a b +=+；

对C ，根据向量相等的定义判断；

对D ，根据向量共线的定义判断.

【详解】

A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；

B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，

则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b 方向不一定相同，B 错误；

C 中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C 正确；

D 中，由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上，D 错误.

故选：C

【点睛】 本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.

9．ABD 【分析】

首先理解表示与向量同方向的单位向量，然后分别判断选项.

【详解】 表示与向量同方向的单位向量，所以正确，正确，所以AB 正确，当不是单位向量时，不正确，

，所以D 正确.

故选：ABD

解析：ABD

【分析】 首先理解a a 表示与向量a 同方向的单位向量，然后分别判断选项. 【详解】

a a 表示与向量a 同方向的单位向量，所以1a a

=正确，//a a a 正确，所以AB 正确，当a 不是单位向量时，a a a =不正确， cos 0a a a a a a a a a a

⋅==⨯=，所以D 正确. 故选：ABD

【点睛】

本题重点考查向量a a 的理解，和简单计算，应用，属于基础题型，本题的关键是理解a a

表示与向量a 同方向的单位向量.

【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可.

【详解】

对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；

对于选项B ，由，得，所以，

同理，故是三角形的垂心，所以B 正确；

对于选项C ，两个非零向量

解析：AD

【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可.

【详解】

对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；

对于选项B ，由PA PB PB PC ⋅=⋅，得0PB CA ⋅=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥， 同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；

对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD

【点睛】

本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

11．BCD

【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD

【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C. 相等向量方向相同，模相等，正确；

D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；

故选：BCD

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

12．ABD

【分析】

根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.

【详解】

根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，但与不一定相等， 解析：ABD

【分析】

根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性.

【详解】

根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确.

故选：ABD

【点睛】

本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.

13．BD

【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．

【详解】

在中，

对于A ，若，则或，

当A ＝

解析：BD

【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可．

【详解】

在ABC ∆中，

对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=，

当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2A B π

+=时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，

对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得

sin sin a b A B

=，即sin sin A B >成立．故B 正确；

对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，∴222

cos 02a b c C ab

+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确； 综上，正确的判断为选项B 和D ．

故选：BD ．

【点睛】

本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

14．AD

【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确；

向量共线包括同向和反向，故B 不正确；

向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；

根据

解析：AD

【分析】

利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】

单位向量的模均为1，故A 正确；

向量共线包括同向和反向，故B 不正确；

向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；

根据相等向量的概念知，D 正确.

故选：AD

【点睛】

本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题．

15．ABD

【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.

【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.

当同向时

解析：ABD

【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.

【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.

当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.

当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.

二、平面向量及其应用选择题

16．B

【分析】

将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.

【详解】

()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2

222||||||222PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】

本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

17．C

【分析】

AB AB 和AC AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由

12

AB AC AB AC ⋅=可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】 由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭

，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又

12AB AC AB AC ⋅=，∴1cos 2A =，∴3A π=，故ABC 为等边三角形. 故选：C

【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

18．B

【分析】

由大边对大角可判断①的正误，用三角函数的知识将式子进行化简变形可判断②③的正误，用正弦定理结合三角形有两解可判断④的正误.

【详解】

①由正弦定理及大边对大角可知①正确；

②可得A B =或2A B π

+=，ABC 是等腰三角形或直角三角形，所以②错误；

③由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，

结合()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+

可知cos sin 0=

A B ，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，

因为0A π<<，所以2A π=

，因此③正确； ④由正弦定理sin sin a b A B =

得sin sin a B b A ==，

因为三角形有两解，所以

2,332A B A πππ>>=≠ 所以sin A ⎫∈⎪⎪⎝⎭

，即)

b ∈

，故④错误. 故选：B

【点睛】

本题考查的是正余弦定理的简单应用，要求我们要熟悉三角函数的和差公式及常见的变形技巧,属于中档题.

19．B

【分析】

先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.

【详解】

由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，

则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=

即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，

即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，

则点P 为三角形ABC 的垂心.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．A

【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果.

【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；

对于③：()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，a 与c 不共线，故③错误； 对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；

对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.

综上：①④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

21．A

【分析】

首先根据余弦定理求AB ，再判断ABC 的内角，并在ABD △和ADC 中，分别用正弦定理表示AD ，建立方程求DC 的值.

【详解】

AB=

3 ==，

222

cos

2

AB BC AC

B

AB BC

+-

∴===

⋅

又因为角B是三角形的内角，所以

6

B

π

=，

90

BAC

∴∠=，

sin BAD

∠=

，cos BAD

∴∠==，

sin cos

7

DAC BAD

∴∠=∠=，

在ABD

△中，由正弦定理可得

sin

sin

BD B

AD

BAD

⋅

=

∠

，

在ADC中，由正弦定理可得

sin

sin

DC C

AD

DAC

⋅

=

∠

，

(

)1

77

DC DC

⨯⨯

=

，解得：

3

DC=.

故选：A

【点睛】

本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.

22．D

【分析】

由数量积的定义判断B角的大小，得三角形形状．

【详解】

由题意cos()0

a b a b B

π

⋅=->，∴cos()0

B

π->，cos0

B

->，cos0

B<，又B

是三角形内角，∴

2

B

π

π

<<．

∴ABC是钝角三角形．

故选：D．

【点睛】

本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念．23．B

【分析】

根据方程有实根得到2

4cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2

θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】

关于x 的方程2

0x a x a b ++⋅=有实根 2

40a a b ∴∆=-⋅≥

设a 与b 的夹角为θ，则2

4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2

θ∴≤

又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 24．D 【分析】

由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入

303aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ⎛⎫-+

-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得0

0b a a -=⎧-=,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】

因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,

代入303aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=

⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以0

0b a a -=⎧-=⎩,

即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==

,故30BAC ︒∠=, 故选:D 【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角

25．D 【分析】

作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ． 【详解】

解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，

30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，

依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒， 在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒， 在Rt BSD ∆中，

sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米，

1000BC BD CD ∴=+=米，

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．

26．无

27．A 【分析】

先化简已知()()(23a b c a c b ac +++-=+得6

B π

=

，再化简

cos sin A C +3sin()3

A π

+，利用三角函数的图像和性质求其范围.

【详解】

由()()(23)a b c a c b ac +++-=+可得22()(23)a c b ac +-=+，即

2

2

2

3a c b ac +-=，所以2223

cos 2a c b B ac +-=

=，所以6B π=，56C A π=-，所以5cos sin cos sin(

)6

A C A A π

+=+-5533cos sin cos cos sin cos 3sin()6623

A A A A A A πππ

=+-=+=+，又

02

A π

<<

，506A π<

-2π<，所以32A ππ<<，所以25336

A πππ

<+<，所以

3

)262

A π<+<，故cos sin A C +的取值范围为3()22．故选A ．

【点睛】

(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围

3

2

A π

π

<<

，不是

02

A π

<<

.

28．D

【详解】

()

22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12

x π

=

时,sin(2)sin

163x π

π

+

=≠±,∴f (x )不关于直线12

x π

=

对称；

当512x π=时,2sin(2)116x π

++= ,∴f (x )关于点5(

,1)12

π对称； f (x )得周期22

T π

π==， 当(,0)3

x π

∈-

时,2(,)6

26x π

ππ

+

∈-

,∴f (x )在(,0)3

π

-上是增函数． 本题选择D 选项. 29．D 【分析】

根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可． 【详解】

∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得2

2

a b

a b +=-，即2222

||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，

则0a b ⋅=，由2a b b +=，

平方得2

2

2

||24||a b a b b ++⋅=，得2

2

3a b =，即3a b =则2a b b +=，

22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），

则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3

223a b a b cos a b a b b

θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6

π

θπθ≤≤∴=

， ，

故选D. 【点睛】

本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 30．D 【分析】

将已知向量关系变为：12333m OA OB OC +

=，可得到3

m

OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D

CD

∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】

由2OA OB mOC +=得：12333

m

OA OB OC += 设

3m OC OD =，则12

33OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：

OC 与OD 反向共线 3

OD m

m CD

∴

=

- 7

34AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系. 31．B 【解析】 【分析】

利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】

逐一考查所给的命题：

①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；

③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=； 又因为AB AC CB -=， 所以()()0AB AC AB AC -⋅+=， 即||||AB AC =，

所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；

④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 32．C 【分析】 化简得到2

2

AM AB AC λ

μ

=+

，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大

值. 【详解】

()

1222

AM AE AF AB AC λμ

=

+=+， 故2

2

22224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭

故()()()22

2

2

2

3134

λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-

+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立. 故选：C . 【点睛】

本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力. 33．D 【分析】

设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据

3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x

的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，

则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，

又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

. 故选：D 【点睛】 本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.

34．A

【分析】

作出图形，利用AB 、AC 表示AO ，然后利用平面向量减法的三角形法则可得出OC AC AO =-可得出结果.

【详解】

如下图所示：

D 为BC 的中点，则

()

1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+， 2AO OD =，211333

AO AD AB AC ∴==+， 11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭

， 故选：A.

【点睛】

本题考查利用基底表示向量，考查了平面向量减法和加法三角形法则的应用，考查计算能力，属于中等题.

35．A

【分析】

由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值

【详解】

由题意，可得如下示意图

令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33

b CM CB == ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠

2221216()332333

a a

b ab ab ab b =+-⨯≥-=，当且仅当3a b =时等号成立 ∴有48ab ≤ ∴113sin 48123222ABC S ab C ∆=

≤⨯⨯=故选：A

【点睛】

本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值