2013年湖南省高考文科数学试卷含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数   学（文史类）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于

A.第一象限     B.第二象限    C.第三象限    D.第四象限

2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件 

C.充分必要条件      D.既不充分也不必要条件

3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=

A.9    B.10     C.12    D.13

4.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于

A.4    B.3    C.2    D.1

5.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b. 若2sinB=b，则角A等于

A.      B.      C.      D. 

6.函数f（x）=㏑x的图像与函数g（x）=x2-4x+4的图像的交点个数为

A.0    B.1    C.2     D.3

7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于

A．           B.1           C.             D. 

8.已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为

A.          B.         C.            D. 

9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=

A.              B.            C.               D. 

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知集合,则

11.在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为________

12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为______

13.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为________

14.设F1，F2是双曲线C， (a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使

PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为________________.

15.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={a1，a2,…,an},定义X的“特征数列”

为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的

“特征数列”为0，1，0，0，…,0 

(1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于________________;

(2)若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100 满足P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;

E 的子集Q的“特征数列” q1，q2，q100 满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，

1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为___________.

三、解答题；本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

    已知函数f(x)=

（1）求的值；

（2）求使成立的x的取值集合

17.(本小题满分12分)

    如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动。

（I）证明：AD⊥C1E；

（II）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，

求三菱子C1-A2B1E的体积

18.（本小题满分12分）

某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.

19.（本小题满分13分）

设为数列{}的前项和，已知，2， N

（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；

(Ⅱ)求数列｛｝的前项和。

20.（本小题满分13分）

已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。

（Ⅰ）求圆的方程；

(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。

21.（本小题满分13分）

已知函数f（x）=.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.

答案：

1.B 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.D 8.C 9.D

10.{6,8}   11.4    12.9    13.6

14.    15.(1)2    (2)17

16.

17. 

18. 

19. 

20. 

21.