03-高三一轮复习函数专题1---函数的基本性质

复习提问：

1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）

3、如何求一个函数的解析式。（常见方法有哪些）

4、如何求函数的值域。（常见题型对应的常见方法）

5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）

6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用

7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题

知识分类

一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=，g（x）=；

（2）f（x）=，g（x）=

（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；

（4）f（x）=，g（x）=；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1.

二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x的范围）

1、求下列函数的定义域：

(1)ｙ＝－＋１(2)ｙ＝(3)  (4)ｙ＝ 

(5)ｙ＝   (6)ｙ＝(7)ｙ＝

(6)  (8)ｙ＝（ａ为常数）

2、（1）已知f(x)的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x-1)的定义域；

  （2）已知f (2x-1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f(x)的定义域；

3、若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域

4、

5、已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围。

三、函数的解析式

求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、

1、换元（或代换）法：

1、已知求.

2、已知ｆ（＋１）＝ｘ＋２，求ｆ(ｘ)的解析式

3、已知ｆ（ｘ＋）＝ｘ３＋，求ｆ(ｘ)的解析式

4、已知函数，求函数，的解析式。

2、待定系数法

1、已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式

2、已知是二次函数，且，求的解析式。

3、解方程法

(1)、已知函数满足，求

（2）、已知函数为偶函数，为奇函数，且+=

求、

3、已知函数满足，则=             。

4、设是R上的奇函数，且当时，，则当时=____    _

在R上的解析式为                        

5、设与的定义域是， 是偶函数，是奇函数，且，求与的解析表

四、函数值域的求法

1、配方法：对于求二次函数或可转化为形如的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解.

例1：求二次函数（）的值域.

例2：求函数的值域. 

例3：求函数的最大值与最小值。

例4：求函数的最大值和最小值。

2、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.

例6：（整体换元）  已知，求函数的值域.

例7：（整体换元）  求函数的值域.

例10：已知函数的值域为，求函数的值域。

3、不等式法：

例11：求函数（）的值域.

例13：求函数的值域. 

例14：求函数的值域. 

4、单调性法：对于形如（、、、为常数，）或者形如而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

例15：求函数的值域.

例16：求函数（）的值域.

例17：求函数的值域。

例18：求函数的值域.

例19：求函数的值域。

例20：求函数的值域。

5、判别式法：一般地，形如、、的函数，我们可以将其转化为（）的形式，再通过求得的范围.但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误.

例21：求函数的值域.

例22：求函数的值域. 

例23：已知函数的定义域为，值域为，求的值.

【例20】设函数的值域为，求a,b .

【例21】已知函数y=f(x)= 的值域为[1,3],求实数b,c的值.

6、方程法：用方程法求解函数值域是指利用方程有解的条件求函数值的取值范围即值域的方法，其理论依据是：定理1：函数（定义域为）的值域是使关于的方程有属于的解的值的集合. 定理2：若为最简有理分式，则函数的值域是使关于的方程有解的值的集合.

例24：求函数的值域。

例25：求函数的值域。

例26：求函数的值域。

例27：求函数的值域。（答案：）

例28：求函数的值域。（答案：）

7、数形结合法：

例29：求函数的值域.

例30：求函数的值域。（答案： 

例32：求函数的值域。

例33：求函数的最大值

题型补充：

1．求下列函数的值域：

； ； ；

； ； 

； ；  ；

； ； ；

；

5、函数的单调性

1．函数单调性的定义：

2.　证明函数单调性的一般方法: 

①定义法：设；作差（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号。

②用导数证明： 若在某个区间A内有导数，则

在A内为增函数； 在A内为减函数。

3.　求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法。

4.复合函数在公共定义域上的单调性：

①若f与g的单调性相同，则为增函数；

②若f与g的单调性相反，则为减函数。

注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。

5．一些有用的结论：

  ①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

  ②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

  ③在公共定义域内：

增函数增函数是增函数；

减函数减函数是减函数；

增函数减函数是增函数；

减函数增函数是减函数。

 　④函数在上单调递增；在上是单调递减。

1、函数在区间为减函数，则实数的取值范围是（  ）

A．       B．       C．      D． 

2、函数与函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数的取值范围是（  ）

A．       B．       C．      D． 

3．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（  ）

A．       B．       C．      D． 

4、若函数在上为增函数,则实数、的范围是          

5、写出函数的单调区间，并指出在相应的区间上函数的单调性；

6、写出函数的单调区间，并指出在相应区间上函数的单调性．

7、

8、函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定函数的解析式；

（2）用定义证明：在上是增函数．

9、

10、已知函数（，）．

（1）求证：在上递增；

（2）若在上的值域是（），求的取值范围，并求相应的、的值

11、已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在0， 上是减函数，在，＋∞上是增函数．

（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；

（2）求函数＝＋(＞0)在区间上的最小值；

（3）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（4）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）．

12、．已知，且。（1）设g（x）=f[f（x）]，求g（x）的解析式；

（2）设，试问是否存在实数λ，使在（-∞，-1）递减，且在（-1，0）上递增？

六、对称性和周期性

函数的对称性

(1).函数关于直线x=a成轴对称的充要条件是： (与函数的周期性区分开). 

(2)..函数关于点(a,b)对称的充要条件是：或

(3)..与函数关于直线对称的函数解析式为：.

(4). 与函数关于点（a,b）对称的函数解析式为：.

函数周期性

1．周期函数的定义:对于函数,若存在一个不为零的常数T,使得的每一个 值都有成立,则称为周期函数,常数T叫做的最小正周期.若所有的周期中存在一个最小的周期,则这个最小的正数称为这个函数的最小正周期.

注:1).其定义域一定为无限集,可以有间断点.

   2)周期不止一个,若果T为周期，则kT也是周期，最小正周期不一定有。

   3)周期函数的图像特征是：整个函数的图像是其中任意一个周期内的图像不断向左，右         两边平移拓展的结果。

2．根据函数的对称性判断函数的周期

  1）.若函数关于直线x=a,x=b都对称，则称是周期函数，T=2b-2a.

  2).若函数关于点（a,c）,(b,c)都对称，则函数为周期函数，T=2b-2a.

  3).若函数的图像关于直线x=a和点（b,c）都对称，则函数是周期函数，T=4b-4a.

3.若，则函数是周期函数，b-a是它的一个周期。

4．若，则函数是周期函数，2a是它的一个周期。

5．若，,则函数是周期函数，2a是它的一个周期。

6．若则是周期函数，2a是它的一个周期。

7．若，则函数是周期函数，4a是它的一个周期。

一、对称性练习

1．　已知是奇函数，当时，,求的解析式.

2．　已知是偶函数，当时，,求的解析式.

3．　已知函数的图象与函数的图象关于原点成中心对称, 求的解析式。

4．　设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当x＜1时，y=x2＋1，求当x>1时, ,f(x)的解析式. 

5．　设 , 求 关于直线对称的曲线的解析式. 

6．　已知函数是偶函数，且x∈(0,+∞)时有f(x)=, 求当x∈(－∞,－2)时, 求 的解析式. 

7．　已知函数是偶函数，当时，又的图象关于直线对称，求在的解析式. 定义在上的偶函数满足且当时,.（1）求的单调区间;（2）求的值.

二、周期性练习

1、已知函数对任意实数,都有,则是以     为周期的函数；

2、已知函数对任意实数,都有=,则是以        为周期的函数；

3、已知函数对任意实数,都有=-,则是以       为周期的函数.

4、已知函数对任意实数,都有，则是以    为周期的函数

5、已知函数对任意实数,都有f(x＋m)＝f(x－m),则         是的一个周期.

6、已知函数对任意实数,都有f(x＋m)＝,则       是f(x)的一个周期.

7、设f(x)是定义在区间(－∞,＋∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用表示区间(2k－1,2k+1],已知x∈I0时,, 求f(x)在Ik上的解析式.

8．设是定义在（-∞,+∞）上的函数，对一切∈R均有，当＜1时，求当时，函数的解析式。

三、真题模拟

1、设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是

    A．    B．    C．    D． 

2、设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则 

3、设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则          

4、已知是以2为周期的偶函数，当时，且在内，关于的方程（，）有四个根，求的取值范围．

七、函数零点

１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（　　　）

A.            B. 

C.            D. 

２．若方程在(0,1)内恰有一个实根，则的取值范围是（　　　）

A.         B.        C.        D. 

３．函数，若，则在上零点的个数为

（　    ）

A.至多有一个    　B.有一个或两个        C.有且只有一个        D.一个也没有

4．函数零点所在大致区间是（　　　）

A.(0,1)        B.(1,2)        C.(2,3)        D.(3,4)

5．已知函数是Ｒ上的奇函数，其零点，……，则＝    。

6．一次函数在［０，１］无零点，则取值范围为        

7．函数有两个零点，且都大于２，求的取值范围。

8．判断x3＋3x－1＝0在（0，1）内是否有解。

9．函数仅有一个零点，求实数的取值范围。

10.关于的二次方程，若方程式有两根，其中一根在区间内，另一根在(1,2)内，求的范围。6.解

八、函数的图像

1．作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。 

2．三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

3．识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．

4．平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；

（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到．

① y=f(x) y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(xh);

③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)h.

5．对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；

（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；

（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到．

①y=f(x) y= f(x);       ②y=f(x) y=f(x);

③y=f(x) y=f(2ax);   ④y=f(x) y=f1(x); 

⑤y=f(x) y= f(x).

6．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．

7．伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；

（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到．

①y=f(x) y=f();② y=f(x) y=ωf(x).

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．

1、说明由函数的图像经过怎样的图像变换得到函数的图像．

2．设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x1)与y= f(1x)的图象关于（    ）对称

A.直线x=0    B.直线x=1    C.点(0,0)     D.点(1,0)

3．在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确的是（ ）

A．y=|log2x|     B.y=2|x|     C.y=log0.5x2        D.y=|x1/3|

4．已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1x)的图象是 （ ）

5．画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|;  (2) 

6、.说出作出函数y=log2(1x) 的图象的过程。

7．方程|x2+2x3|=a(x2)有四个实数根，求实数a的取值范围。

8．讨论方程=kx的实数根的个数。

9、分别画出下列函数的图像：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．

10、若函数的图像关于直线对称，求常数的值．

11、已知是以2为周期的偶函数，当时，且在内，关于的方程（，）有四个根，求的取值范围．

12、是定义在上的函数．

（1）若是偶函数且周期为2．当时，求在上的解析式；

（2）若是奇函数，．当时，求在上的解析式．

拓展练习：

1．设、，定义在区间上的函数的值域是，若关于的方程（）有实数解，则的取值范围是___________．

2．设函数是定义在上以为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为……………………（    ）

A．        B．        C．        D． 

3、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为

4、已知则下列函数的图像错误的是……………………（   ）

(A)的图像  (B)的图像  (C)的图像  (D)的图像

5、已知函数。 

（1）求函数的定义域和值域；

（2）设（为实数），求在时的最大值；

（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围。