2002年全国高中数赛试题及解答

    1．设全集是实数集，若Ａ＝｛ｘ｜≤0｝，Ｂ＝｛ｘ｜＝10ｘ｝，则Ａ∩是（      ）．

    Ａ．｛2｝                         Ｂ．｛－1｝

    Ｃ ．｛ｘ｜ｘ≤2｝               Ｄ．

    2．设ｓｉｎα＞0，ｃｏｓα＜0，且ｓｉｎ＞ｃｏｓ，则的取值范围是（     ）．

    Ａ．（2ｋπ＋π／6，2ｋπ＋π／3），ｋ∈Ｚ 

    Ｂ．（2ｋπ／3＋π／6，2ｋπ／3＋π／3），ｋ∈Ｚ

    Ｃ．（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ

    Ｄ．（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，2ｋπ＋π），ｋ∈Ｚ

    3．已知点A为双曲线ｘ2－ｙ2＝1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ＡＢＣ是等边三角形，则△ＡＢＣ的面积是（     ）．

    Ａ．／3        Ｂ．3／2         Ｃ．3         Ｄ．6

    4．给定正数ｐ，ｑ，ａ，ｂ，ｃ，其中ｐ≠ｑ．若ｐ，ａ，ｑ是等比数列，ｐ，ｂ，ｃ，ｑ是等差数列，则一元二次方程ｂｘ2－2ａｘ＋ｃ＝0（     ）．

    Ａ．无实根

    Ｂ．有两个相等实根

    Ｃ．有两个同号相异实根

    Ｄ．有两个异号实根

    5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线ｙ＝5／3ｘ＋4／5的距离中的最小值是（     ）．

    Ａ．／170         Ｂ．／85         Ｃ．120         Ｄ．130

    6．设ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是（     ）．

    Ａ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2＋ｘ＋1＝0

  Ｂ．ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1＝0

  Ｃ．ｘ4－ｘ3－ｘ2＋ｘ＋1＝0

  Ｄ．ｘ4＋ｘ3＋ｘ2－ｘ－1＝0

    二、填空题〖ＨＴＫ〗（本题满分54分，每小题9分）

    7．ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎ2000°）＝_______．

    8．设ａｎ是（3－）ｎ的展开式中ｘ项的系数（ｎ＝2，3，4，…），则 ＝_______．

    9．等比数列ａ＋ｌｏｇ23，ａ＋ｌｏｇ43，ａ＋ｌｏｇ83的公比是______．

    10．在椭圆ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0）中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B．若该椭圆的离心率是，则∠ＡＢＦ＝______．

    11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为ａ，则这个球的体积是______．

    12．如果：（1）ａ，ｂ，ｃ，ｄ都属于｛1，2，3，4｝；

    （2）ａ≠ｂ，ｂ≠ｃ，ｃ≠ｄ，ｄ≠ａ；

    （3）ａ是ａ，ｂ，ｃ，ｄ中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是______．

    三、解答题〖ＨＴＫ〗（本题满分60分，每小题20分）

    13．设Ｓｎ＝1＋2＋3＋…＋ｎ，ｎ∈Ｎ ，求ｆ（ｎ）＝的最大值．

    14．若函数ｆ（ｘ）＝－1／2ｘ2＋13／2在区间［ａ，ｂ］上的最小值为2ａ，最大值为2ｂ，求［ａ，ｂ］．

    15．已知Ｃ0：ｘ2＋ｙ2＝1和Ｃ1：ｘ2／ａ2＋ｙ2／ｂ2＝1（ａ＞ｂ＞0），那么，当且仅当ａ，ｂ满足什么条件时，对Ｃ1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与Ｃ1内接的平行四边形？并证明你的结论．

    参或提示

    一、1．Ｄ；2．Ｄ；3．Ｃ；4．Ａ；5．Ｂ；6．Ｂ．

    提示：1．易得Ａ＝｛2｝，Ｂ＝｛－1，2｝，

    则Ａ∩＝．

    2．由2ｋπ＋π／2＜α＜2ｋπ＋π，

    得2ｋπ／3＋π/6＜α＜2ｋπ／3＋π／3（ｋ∈Ｚ）．

    又由ｓｉｎ＞ ｃｏｓ，

    得2ｋπ＋π／4＜＜2ｋπ＋5π／4（ｋ∈Ｚ）．

    ∴α∈（2ｋπ＋π／4，2ｋπ＋π／3）∪（2ｋπ＋5π／6，ｋπ＋π）（ｋ∈Ｚ）．

    3．不妨设Ｂ点在ｘ轴上方，则ＡＢ：ｙ＝／3ｘ＋／3，代入ｘ2－ｙ2＝1，得Ｂ（2，）．

    同理可得Ｃ（2，－）．故Ｓ△ＡＢＣ＝3．

    4．由2ｂ＝ｐ＋ｃ，2ｃ＝ｑ＋ｂ，得ｂ＝2ｐ＋ｑ3，ｃ＝ｐ＋2ｐ3．于是

    从而Δ＝4ａ2－4ｂｃ＜0，方程无实根．

    5．整点（ｘ0，ｙ0）到直线5ｘ－3ｙ＋12＝0的距离为ｄ＝｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜／5．因25ｘ0－15ｙ0是5的倍数，所以｜25ｘ0－15ｙ0＋12｜≥2，当ｘ0＝－1、ｙ0＝－1时等号成立．故／85即为所求．

    6．由ω＝ｃｏｓ＋ｉｓｉｎ知，ω，ω2，ω3，…，ω10（＝1）是1的10个十次方根，则

    （ｘ－ω）（ｘ－ω2）（ｘ－ω3）…（ｘ－ω10）＝ｘ10－1．             ①

    又ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个五次方根，则

    （ｘ－ω2）（ｘ－ω4）（ｘ－ω6）（ｘ－ω8）（ｘ－ω10）＝ｘ5－1．   ②

    ①÷②后，再两边同除以ｘ－ω5（＝ｘ＋1），得（ｘ－ω）（ｘ－ω3）（ｘ－ω7）（ｘ－ω9）＝ｘ4－ｘ3＋ｘ2－ｘ＋1．

    二、7．－π／9；8．18；9．1／3；10．90°；11．ａ3；12．28．

    提示：7．原式＝ａｒｃｓｉｎ［ｓｉｎ（－π／9）］＝－π／9．

    8．∵ａｎ＝Ｃｎ2·3ｎ－2，

    ∴3ｎ／ａｎ＝…＝18（）．

    ∴原式＝18＝…＝18．

    9．公比，由等比定理，得

    10．由ｃ／ａ＝，得ｃ2＋ａｃ－ａ2＝0．

    又｜ＡＢ｜2＝ａ2＋ｂ2，｜ＢＦ｜2＝ａ2，

    故｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2＝…＝3ａ2－ｃ2．

    而｜ＡＦ｜2＝（ａ＋ｃ）2＝…＝3ａ2－ｃ2＝｜ＡＢ｜2＋｜ＢＦ｜2，故∠ＡＢＦ＝90°．

    11．易知球心O为正四面体的中心，O点与棱的中点连线成为球的半径ｒ，则ｒ＝，故球的体积为Ｖ＝…＝．

    12．按中所含不同数字的个数分三类：（1）恰有2个不同的数字时，组成＝6个数；（2）恰有3个不同数字时，组成＝16个数；（3）恰有4个不同数字时，组成

＝6个数．故符合要求的四位数共有6＋16＋6＝24（个）．

    三、13．

        ，

当且仅当ｎ＝／ｎ，即ｎ＝8时，上式等号成立，故ｆ（ｎ）ｍａｘ＝1／50．

    14．分三种情况讨论：（1）当0≤ａ＜ｂ时，ｆ（ａ）＝2ｂ，ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［1，3］．

    （2）当ａ＜0＜ｂ时，ｆ（0）＝2ｂ，ｆ（ａ）＝2ａ或ｆ（ｂ）＝2ａ．解得［ａ，ｂ］＝［－2－，13／4］．

    （3）当ａ＜ｂ≤0时，ｆ（ａ）＝2ａ，ｆ（ｂ）＝2ｂ．无解．

    综上，［ａ，ｂ］＝［1，3］或［－2－，13／4］．

    15．所求条件为1／ａ2＋1／ｂ2＝1．证明如下：

    必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．

    假设结论成立，则对点（ａ，0），有（ａ，0）为顶点的棱形与Ｃ1内接，与Ｃ0外切．（ａ，0）的相对顶点为（－ａ，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在ｙ轴上，为（0，ｂ）和（0，－ｂ）．菱形一条边的方程为ｘ／ａ＋ｙ／ｂ＝1，即ｂｘ＋ａｙ＝ａｂ．由于菱形与Ｃ0外切，故必有，整理得1／ａ2＋1／ｂ2＝1．必要性得证．

    充分性：设1／ａ2＋1／ｂ2＝1，P是Ｃ1上任意一点，过P、O作C1的弦PＲ，再过O作与ＰＲ垂直的弦ＱＳ，则PQRS为与Ｃ1内接的菱形．设｜ＯＰ｜＝ｒ1，｜ＯＱ｜＝ｒ2，则点P的坐标为（ｒ1ｃｏｓθ，ｒ1ｓｉｎθ），点Ｑ的坐标为（ｒ2ｃｏｓ（θ＋），ｒ2ｓｉｎ（θ＋）），代入椭圆方程，得

    同理，点Ｏ到ＱＲ，ＲＳ，ＳＰ的距离也为1，故菱形PQRS与Ｃ0外切．充分性得证．

    说明：今年高中数赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老师提供，第6题和第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供．