高二数学(必修5不等式)专题练习

编写:邓军民

一,复习

1.不等关系:参考教材73页的8个性质;

2. 一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：

判别式

（）恒成立．

（）恒成立．

4. 一般地，直线把平面分成两个区域（如图）：

表示直线上方的平面区域；表示直线下方的平面区域．

说明：（1）表示直线及直线上方的平面区域；

表示直线及直线下方的平面区域．

     （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

5.基本不等式： 

(1).如果，那么．

(2). ．

（当且仅当时取“”）

二.例题与练习

例1．解下列不等式：

(1)；       (2)；　

(3)；　      (4)．

解：(1)方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．

(2)不等式两边同乘以，原不等式可化为．

方程的解为．

根据的图象，可得原不等式的解集是．

(3)方程有两个相同的解．

根据的图象，可得原不等式的解集为．

(4)因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为．

练习1. （1）解不等式；（若改为呢？）

（2）解不等式；

解:(1)原不等式

 (该题后的答案:).

(2)即.

例2.已知关于的不等式的解集是，求实数之值．

解：不等式的解集是

是的两个实数根，

由韦达定理知： ．

练习2．已知不等式的解集为求不等式的解集．

解：由题意，  即．

代入不等式得：．

即，所求不等式的解集为．

例3．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．

解：由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，

作一组平行于的直线：，，

可知：当在的右上方时，直线上的点

满足，即，

而且，直线往右平移时，随之增大．

由图象可知，

当直线经过点时，对应的最大，

当直线经过点时，对应的最小，

所以，，．

练习3．设，式中满足条件，求的最大值和最小值．

解：当与所在直线重合时最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当经过点时，对应最小，

∴，．

例4．已知为两两不相等的实数，求证： 

证明：∵为两两不相等的实数，∴，，，以上三式相加： 

所以，．

练习4．若，求的最小值。

解：∵，∴ 

当且仅当，即时取等号，

∴当时，取最小值.

三.课堂小结

1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；

2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;

3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;

4.掌握好基本不等式及其应用条件；

四.课后作业

1.如果，那么，下列不等式中正确的是（ A ）

（A）       （B）        （C）        （D）

2.不等式的解集是（ D  ）

A．         B．     C．        D． 

3. 若，则下列不等式成立的是(  C  )                 

   （A）.       （B）.      （C）.（D）.

4. 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( D )

（A）-1        (B) +1         (C) 2+2           (D) 2-2

5. 不等式的解集是_________ .(KEY:)

6.已知实数满足，则的最大值是_________.(KEY:0)

7.设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N；（2）集合，．

解：（Ⅰ） 

（Ⅱ）      .

8. 若，则为何值时有最小值，最小值为多少？

解：∵， ∴， ∴，∴ =

，当且仅当即时.

高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(学生版)

一,复习

1.不等关系:参考教材73页的8个性质;

2. 一元二次不等式与相应的函数、相应的方程之间的关系：

判别式

（）恒成立．

（）恒成立．

4. 一般地，直线把平面分成两个区域（如图）：

表示直线上方的平面区域；表示直线下方的平面区域．

说明：（1）表示直线及直线上方的平面区域；

表示直线及直线下方的平面区域．

     （2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

5.基本不等式： 

(1).如果，那么．

(2). ．

（当且仅当时取“”）

二.例题与练习

例2．解下列不等式：

(1)；       (2)；　

(3)；　      (4)．

练习1. （1）解不等式；（若改为呢？）

（2）解不等式；

例2.已知关于的不等式的解集是，求实数之值．

练习2．已知不等式的解集为求不等式的解集．

例3．设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值．

练习3．设，式中满足条件，求的最大值和最小值．

例4．已知为两两不相等的实数，求证： 

练习4．若,且，求的最小值。

三.课堂小结

1.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；

2.掌握号一元二次不等式恒成立的问题基本原理;

3.学会用平面区域表示二元一次不等式组；掌握好简单的二元线性规划问题的解法; 解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出约束条件；③建立目标函数；④求最优解;

4.掌握好基本不等式及其应用条件；

四.课后作业

1.如果，那么，下列不等式中正确的是（   ）

（A）       （B）        （C）        （D）

2.不等式的解集是（  ）

A．         B．     C．        D． 

3. 若，则下列不等式成立的是(    )                 

   （A）.       （B）.      （C）.（D）.

4. 若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为(   )

（A）-1        (B) +1         (C) 2+2           (D) 2-2

5. 不等式的解集是_________ .

6.已知实数满足，则的最大值是_________.

7.设函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N；（2）集合，．

8. 若，则为何值时有最小值，最小值为多少？

高一数学必修5不等式与不等关系专题练习

一、选择题

1.已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是

A、         B、

C、          D、

2.设a，b∈R，且a≠b，a+b=2，则下列不等式成立的是                  （    ）

A、                B、

C、                D、

3．二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是(    )

A．  B．   C．    D． 

4．下列各函数中，最小值为的是                                     (    )

A．       B．， 

C．    D． 

5．已知函数的图象经过点和两点,若,则的取值范围是(    )

A．    B．     C．    D．      

6．不等式组的区域面积是                              (     )

A．     B．    C．     D． 

7、已知正数x、y满足，则的最小值是（    ）

    Ａ．18　  　Ｂ．16　　  　C．8　   　D．10

8．已知不等式的解集为,则不等式的解集为      

 A、                B、     

C、                 D、(     )

二、填空题

9．不等式的解集是          

10．已知x＞2，则y＝的最小值是              ．

11．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数k的取值范围是            

12、设满足且则的最大值是               。

三、解答题

13．解不等式

14、正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。

15．已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最大值与最小值。

16. 已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）.

   （1）若方程有两个相等的根，求的解析式；

   （2）若的最大值为正数，求a的取值范围.

高一数学必修5不等式与不等关系专题练习KEY

一、选择题

B,B,C,D,B,B,A,B

二、填空题

9．   10.4,11.,12.2, 

三、解答题

13.解:因为

 所以有

14.证明：∵ a+b+c=1∴ 1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b

∵ a>0，b>0，c>0∴ b+c≥2>0,   a+c≥2>0,   a+b≥2>0

将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)≥8abc,

即 (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.

15.(过程略) 

16.解：（Ⅰ） 

①

由方程    ②

因为方程②有两个相等的根，所以，

即  

由于代入①得的解析式

   （Ⅱ）由

及

由解得

故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是