2019-2020学年四川省成都七中高二(下)期中数学试卷(理科)(含答案解析)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知复数，则

A.  B.  C.  D. 

2.在空间直角坐标系中，点关于yOz平面对称的点的坐标是

A. 1， B.  C. 1， D. 

3.在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是

A.  B.  C.  D. 

4.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是

A. 在区间内是增函数 B. 在内是减函数

C. 在内是增函数 D. 在时取到极小值

5.函数在上取得最大值时，x的值为

A. 0 B.  C.  D. 

6.已知实数x、y、z满足，则的最小值是

A.  B. 3 C.  D. 6

7.成都七中某社团小组需要自制实验器材，要把一段长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是

A.  B.  C.  D. 

8.若在上存在单调递增区间，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D. 

9.我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”既代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定出来，类似的不难得到   

A.  B.  C.  D. 

10.二面角为，A，B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面、内，，，且，，则CD的长为

A. 2a B.  C. a D. 

11.已知函数的导数满足对恒成立，且实数x，y满足，则下列关系式恒成立的是

A.  B. 

C.  D. 

12.设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是        

A.  B. 

C.  D. 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.定积分______．

14.不等式的解集是______．

15.已知函数若方程恰有两个实根，则实数m的取值范围是______．

16.已知函数，若对任意的，都存在，使得，则a的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知函数．

Ⅰ求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

Ⅱ求过点作曲线的切线方程．

18.如图，五面体中，底面ABC是正三角形，四边形是矩形，二面角为直二面角．

Ⅰ在AC上运动，当D在何处时，有平面，并且说明理由；

Ⅱ当平面时，求二面角余弦值．

19.已知直线l的参数方程为为参数，，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

求圆C的直角坐标方程；

若直线l与圆C相交于A、B两点，且，求的值．

20.已知函数，，，其中是的导函数．若，，．

Ⅰ求的表达式；

Ⅱ求证：，其中．

21.已知函数．

讨论函数的单调性；

若恒成立，求时，实数b的最大值．

22.已知函数．

Ⅰ时，求函数的极值；

Ⅱ若，求的最小值的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：B

解析：解：复数，

则．

故选：B．

利用复数的共轭复数的定义即可得出．

本题考查了复数的共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.答案：B

解析：解：在空间直角坐标系中，

点关于yOz平面对称的点的坐标是．

故选：B．

在空间直角坐标系中，点b，关于yOz平面对称的点的坐标是b，．

本题考查点关于yOz平面对称的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3.答案：D

解析：解：点在直角坐标系下的坐标为，即

过点且与x轴平行的直线方程为．

即为．

故选：D．

可将极坐标系下的坐标转化成直角坐标处理，再将结果转化成极坐标方程．

极坐标是高中选修的内容，站在高考的角度，对于这方面知识的考查并不难，大多比较基础，学生只要掌握课本中基本的转换，方程，习题等就可以解决绝不多数问题．

4.答案：C

解析：【分析】

根据函数单调性，极值和导数之间的关系进行判断．

本题主要考查函数单调性极值和导数的关系，根据图象确定函数的单调性是解决本题的关键．

【解答】

解：由图象知当或时，，函数为增函数，

当或时，，函数为减函数，

则当或函数取得极小值，在时函数取得极大值，

故A，B，D错误，正确的是C，

故选C．

5.答案：B

解析：解： 

解得：

当时，，函数在上单调递增

当时，，函数在上单调递减，

函数在上取得最大值时

故选B．

先求导函数，令导数等于0求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值．

本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．

6.答案：C

解析：解：由柯西不等式有，，则，

当且仅当“”时取等号．

故的最小值是．

故选：C．

直接利用柯西不等式求解即可．

本题主要考查利用柯西不等式求最值，考查运算求解能力，属于基础题．

7.答案：D

解析：解：设一段长x，则另一段为，

所以两个正三角形面积之和，

则时，函数取得最小值，

故选：D．

设出两段铁丝的长度，由三角形面积公式建立函数关系，结合二次函数性质易求最小值

本题考查二次函数应用题，属于基础题．

8.答案：D

解析：解：若在上存在单调递增区间，

只需在上有解即可．

由已知得，该函数开口向下，对称轴为，

故在上递减，所以，解得．

故选：D．

在上存在单调递增区间，即在上有解，因为的对称轴为，所以在上递减，所以只需即可，由此求出a的范围．

已知函数在某区间上存在单调增区间或减区间时，一般转化为导函数在该区间上大于零或小于零有解的问题．属于中档题．

9.答案：C

解析：解：可以令，由解的其值为，

故选：C．

由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解舍去负根，可得要求的式子

本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题

10.答案：A

解析：【分析】

本题主要考查了空间向量，以及空间几何体的概念、空间想象力，属于基础题．

先画出图形，再利用空间向量进行计算，欲求CD的长，即求向量的模，也就是求向量的模，利用向量的数量积运算即可求得．

【解答】

解：如图所示：

，，

，，且，，

，

．

答案：A

11.答案：D

解析：解：原问题可转化为：已知函数的导数满足对恒成立，且实数x，y满足，则下列关系式恒成立的是

令，则对恒成立，

在时单调递增．又由实数x，y满足，即，

，

取，，则有成立，故A选项错误；

又当，时，有，故B选项错误；

令，则，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，当时，有成立，即有成立，故C选项错误；

令，则，此时单调递增，又，，

，即，故D选项正确．

故选：D．

先把要处理的问题转化为：已知函数的导数满足对恒成立，且实数x，y满足，则下列关系式恒成立的是，再构造函数，对其求导，利用题设条件判断其单调性，得出再逐个选项进行研究，选出正确答案即可．

本题主要考查导数在抽象函数单调性中的应用，属于基础题．

12.答案：C

解析：【分析】

本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．

由题意可得，，且，，再由题意可得，由此求得m的取值范围．

【解答】

解：由题意可得，，即，，即

再由，即，

，，则最小为，

，．

得，或，

故选C．

13.答案：50

解析：解：．

故答案为：50．

先找到被积函数的原函数，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．

本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于积分中的基础题．

14.答案：

解析：解：时，原不等式可化为：，恒成立，

时，原不等式可化为：，解得：，

时，原不等式可化为：，无解，

综上：原不等式的解集是．

通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的解集，从而求出不等式的解集．

本题考查了绝对值不等式的解法，考查分类讨论，是一道基础题．

15.答案：

解析：解：时，，易知，而，

所以在上递减，故，故在上递增，

且，当时，．

时，，令，得；得；

故在上递增，在递减，

故时，；时，；时，．

由题意，若方程恰有两个实根，只需与恰有两个交点，同一坐标系画出它们的图象如下：

如图所示，当直线在图示，位置时，与有两个交点，所以m的范围是：．

故答案为：．

研究与时，的单调性、极值情况，画出图象，然后研究与恰有两个交点时a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值等性质，进而结合图象研究函数的零点问题．属于中档题．

16.答案：

解析：解：因为，

令得，

：当，即时，，，此时在递减，

，，

若对任意的，都存在，使得，

故的值域为，的值域为，

由得：．

显然，当时，负数，故要满足结论，首先需满足：

，解得．

同时须有，即．

所以．

当，即时，在上递减，故此时，

在递增，在递减，故．

此时只需即可，解得．

当，即时，，的最大值都是，所以能取到所有正实数，

而，故此时不满足题意．

综上，a的取值范围是

只需要，时函数值倒数的取值范围，是，时值域的子区间即可．研究函数在，的单调性，求值域即可解决问题．

本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，同时考查了学生利用分类讨论、函数思想以及转化思想的应用，属于中档题．

17.答案：解：Ⅰ函数的导数为，曲线在点处的切线的斜率为，

则切线的方程为，即为，令，可得；，可得．

则切线与坐标轴围成的三角形的面积为；

Ⅱ由和，可得，即A不在的图象上，

可设切点为，则切线的斜率为，

切线的方程为，

则，解得或，

故切线的方程为或．

解析：Ⅰ求得的导数，可得曲线在处切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，分别令，，求得切线与坐标轴的交点，再由三角形的面积公式，计算可得所求值；

Ⅱ判断A不在曲线上，设切点为，由切点既在曲线上，又在切线上，结合两点的斜率公式，可得m，n的方程组，解方程可得m，n的值，进而得到所求切线方程．

本题考查导数的运用：求切线的方程，注意区分在某点处的切线和过某点的切线，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．

18.答案：解：Ⅰ当D为AC中点时，有平面，

证明：连接交于O，连接四边形是矩形

为中点又D为AC中点，从而，

平面，平面平面 

Ⅱ建立空间直角坐标系如图所示，则0，，1，，2，，，2，，

所以，2， 

设y，为平面的法向量，则有，即 

令，可得平面的一个法向量为，

而平面的一个法向量为0，，

所以，，故二面角的余弦值为．

解析：由题意连接交于O，连接DO由于四边形是矩形且O为中点又D为AC中点，从而，在由线线平行，利用线面平行的判定定理即可；

由题意建立空间直角坐标系，先求出点B，A，C，D及点的坐标，利用先求平面的法向量，在由法向量的夹角与平面的夹角的关系求出二面角的余弦值的大小．

此问重点考查了线面平行的判定定理，还考查了中位线的平行的性质定理，及学生的空间想象能力

此问重点考查了利用空间向量的知识，及平面的法向量的夹角与二面角的大小联系；此外还考查了学生的计算能力．

19.答案：解：圆C的极坐标方程为．

圆C的直角坐标方程为．

将直线l的参数方程为为参数，

代入到圆C的直角坐标方程中，

得到：，

直线l与圆C相交于A、B两点，且，

，解得或．

解析：由圆C的极坐标方程能求出圆C的直角坐标方程．

将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程，得到：，由此利用直线l与圆C相交于A、B两点，且，能求出的值．

本题考查圆的直角坐标方程、角的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

20.答案：解：Ⅰ由题意可知，，

由已知

，，

猜想，下面用数学归纳法证明：

当时，，结论成立：

假设时结论成立，即，

那么，当时，

，即结论成立．

由可知，结论对成立．

Ⅱ，

，

，

．

解析：Ⅰ根据条件猜想，然后利用数学归纳法证明猜想成立；

Ⅱ由题意可得，然后由，利用放缩法得到．

本题考查了数学归纳法，放缩法在数列中的应用和利用裂项相消法求数列的前n项和，考查了转化思想和推理能力，属难题．

21.答案：解：，定义域为分，

，分

令，则，

当时，令，则；

令，则，或，

在，单调递减；单调递增；    分

当时，，且仅在时，，

在单调递减；        分

当时，令，则；

令，则   ，或，

在1 ，单调递减；单调递增．分

综上所述，

当时，在，单调递减；单调递增；

当时，在单调递减；

当时，在，单调递减；单调递增．分

若恒成立，

恒成立  分

令，，

即分，

，，

 在单调递减， 单调递增；

分

，，

令

，单调递增，

，

即b的最大值为分

解析：求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；

问题转化为恒成立，令，，即，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出b的最大值即可．

本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．

22.答案：解：Ⅰ当时，，则，

令，当时，，

在上，，即，

令，则，经检验，在上，，单调递减，在上，，单调递增，

当时，函数取得极小值，无极大值；

Ⅱ，令，则，

由Ⅰ知，当时，，，

在上恒成立，

在定义域上单调递增，

，

，

方程在上有唯一解，

设方程的解为，则在上，在上，且，

的最小值为，

由得，代入得，，

令，则，

，

，

在上为减函数，

，

．

解析：Ⅰ将代入，求导，可知在上，，单调递减，在上，，单调递增，由此得出极值；

Ⅱ利用导数可知的最小值为，而，代入得，，构造函数，利用导数求其取值范围即可．

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查转化思想，消元思想，考查运算求解能力，属于较难题目．