武汉市部分重点中学2014-2015学年度上学期期末联考高一数学试卷及答案...

高一数学试卷

命题学校：武汉六中    命题教师：袁泉润        审题教师：张霞

考试时间：2015年1月28日下午3：50—5：50                   试卷满分：150分

1、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.等于（   ）

A．　　　     Ｂ． 　　　   　Ｃ．　　　    Ｄ．

2.已知是边长为2的正三角形，则的值为（   ）

A.2　　　     Ｂ． -2　　　   　Ｃ．　　　    Ｄ．

3.已知，则零点所在的区间是（  ）

A.　　     Ｂ．　　   　Ｃ．　　　    Ｄ．

4.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（  ）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）

Ｂ．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）

Ｃ．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向左平移个单位长度　　　    

Ｄ．各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，再把所得图象向左平移个单位长度　　　 

5．非零向量和满足，，则与的夹角为（  ）

A.　　　     Ｂ． 　　   　Ｃ．　　　    Ｄ．

6．已知，且为第三象限角，则的值为（  ）

A.　　　     Ｂ．　   　Ｃ．　　　    Ｄ．

7.x

函数的部分图象如图所示，图象与x轴交点A及图象最高点B的坐标分别是A，B，则的值为（  ）

A.　　　       Ｂ． 　　   

Ｃ．　　　       Ｄ．

8.函数在上单调递增，那么的取值范围是（  ）

A.　　　     Ｂ． 　　   　Ｃ．　　    Ｄ．

9.已知，则的大小关系正确的是（  ）

A.　　　     =Ｂ．　　　   　Ｃ．　　　            Ｄ．

10.四边形ABCD是单位圆O的内接正方形，它可以绕原点O转动，已知点P的坐标是，M、N分别是边AB、BC的中点，则的最大值为（  ）

A.5　　                Ｂ． 　　　   　

Ｃ．　　          Ｄ．

2、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.已知，，则在方向上的投影等于_________.

12.函数的零点个数是_________.

13.已知中，，，O为的外心，则=_________.

14.如图摩天轮半径10米，最低点A离地面0.5米，已知摩天轮按逆时针方向每3分钟转一圈（速率均匀），人从最低点A上去且开始计时，则t分分钟后离地面_________米.

15.函数在区间上的零点分别是_________.

3、解答题

16.（本小题满分12分）已知

（1）在直角坐标系中用“五点画图法”画出一个周期的图象（要求列表、描点）

（2）直接写出函数的单调递增区间以及取最大值时的所有x值的集合。

17.（本小题满分12分）已知点的坐标分别是，其中，且三点共线

求的值。

18.（本小题满分12分）在中，，若=2：

（1）求的值；

（2）若，，，求的值。

19.（本小题满分12分）已知函数在上单调递增，在上单调递减，

（1）求的值；

（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

20.（本小题满分13分）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表：

（1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深y与时间t的函数关系；

（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米。

   Ⅰ)如果该船是旅游船，1：00进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？

   Ⅱ）如果该船是货船，在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于台风等天气原因该船必须在10：00之前离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？

21.（本小题满分14分）已知连续不断函数，，，

（1）证明：函数在区间上有且只有一个零点；

（2）现已知函数在上单调递增，且都只有一个零点（不必证明），记三个函数的零点分别为。

求证：Ⅰ)；

      Ⅱ）判断与的大小，并证明你的结论。

 武汉市部分重点中学2014——2015学年度上学期期末联考

               参及评分标准：

1、选择题：1.C  2.B  3.C  4.B  5. D  6.C  7.B  8.B  9.D  10.C

2、填空题： 11、2     12、3    13、0  

 14、（或）  15、

3、解答题：

16（1）列表：

     描点、画图：                                    ................... 3分

                                                     ................... 8分

  （2） 的单调增区间是：（可写开区间）

   取得最大值时的所有值的集合为：.........12分                                                  

17、，因为共线，有

    ，即          .....................4分                   

上式两边平方，得，，

因为，所以这样，      ....7 分                                       

又，       .................10 分

所以 .                .................12分

18、（1）因为，所以，又已知，所以  .                   ..................5分

    （2）因为，所以

，由于，于是，由（1）的结论得=2

又，所以为正三角形. （或从向量的几何意义得出,照样给分）                                                   ....................8 分                                        

   所以，因为N为AB的中点，，从而，=                   .....................12分  （或，，

=               .....................12 分）

19、（1）由已知条件知，时取得最大值1，从而有，即           .....................3分   

   又由题意可得该函数的最小正周期T满足：于是有，，满足的正整数的值为0，于是   ............... 6

（2）令因为，由得，即的值域为，由于时，不等式

恒成立，故有解得，即m的取值范围是 .......12分

20、（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图。如图。

根据图象，可考虑用函数

刻画水深与时

间之间的对应关系。从数据和图象

可以得出   由得，所以，这个港口水深与时间的关系可用近似描述。            .................4分

   （2）Ⅰ）由题意，就可以进出港，令，

 得，如图，

在区间内，函数

与直线

有两个交点，由，

得，由周期性得，

    由于该船从1：00进港，可以17：00离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是16小时。                              .................8分

Ⅱ）设在时刻货船航行的安全水深为y，那么。在同一坐标系下画出这两个函数的图象。

设，

     由

且知，

为了安全，货船最好在整点时刻6点之前停止卸货。        .................13分

21、（1）先证明在区间上有零点：由于，由零点存在性定理知在区间上有零点               ................2分

      再证明在上是单调递减函数：设

由于在上递减，所以又

从而，即在上是单调递减函数。

  故函数在有且只有一个零点。                   ................5分

 （2）Ⅰ）因为是的零点，所以有，将其变形为

   ，即，从而有=0 ，  又因为，且由（1)的结论在上有唯一零点，从而有，                                     ................9分                            

       Ⅱ）判断，证明如下：

由于，由零点存在性定理和已知得，                                 ................11分

从而有      ，

所以有，又由已知在上单调递增，所以。

                                                        ................14分