高三数学第二轮复习高考数学培优压轴题汇编【8】——复数和向量

一、第一轮复习知识回顾（1）向量

1.向量的概念：

①向量的定义；②向量的表示；③向量的模；④相等向量与零向量：⑤平行向量：⑥单位向量：

2.向量的加法与减法：

①向量加法的平行四边形法则与三角形法则；②向量加法的运算律；③向量减法的作图方法；④向量加减法性质；3.实数与向量的积：

①实数与向量乘积的定义；②向量平行的充要条件；③实数与向量乘积的运算律；4.平面向量分解定理：

设12,e e 是平面内两个不平行的向量，向量a

是该平面内的任意一个非零向量，

也就是说，平面内任意一非零向量a

都可以表示为这两个不平行的向量12,e e 的线性组合1122a e e λλ=+ 。

平面向量分解定理：

如果12,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，那么对于这一平面内的任意向量a

，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+

。

不平行的向量12,e e

叫做这一平面内所有向量的一组基向量（简称基）。

5.向量的坐标表示及运算：

①基本单位向量；②位置向量；③向量的正交分解；④平面向量的坐标表示；⑤向量坐标表示的运算；⑥向量的模；⑦向量坐标与点的坐标的关系；6.向量平行与定比分点：

①两非零向量平行的坐标关系；②定比分点坐标公式；7.向量的数量积：

①两向量夹角的定义；②向量数量积的定义；③向量投影的定义；④向量数量积的几何意义；⑤向量数量积的运算性质；⑥两向量夹角公式；8.向量数量积的坐标表示：

①向量数量积的坐标表示；②两向量数量积坐标表示的常用结论；（2）复数

1.复数的概念：

①i ——虚数单位；②复数的定义；③复数的分类；④复数的相等；⑤两个复数不全为实数时，不能比较大小；2.复数的坐标表示：

①复平面的概念；②实轴、虚轴；③复数的模；

3.复数的加法与减法：

①复数加法与减法的运算法则；②复数的加法满足交换律与结合律；③复数加法与复数减法的几何意义；④复平面上两点间的距离公式；⑤共轭复数的概念；

4.复数的乘法与除法：

①复数乘法的运算法则；②复数乘法的运算律；③复数的乘方；④复数的除法法则；5.共轭复数与模的性质：

①两个互为共轭复数的乘积2

2

z z z z ⋅==；

②z z z R =⇔∈，z z =-且0z ≠z ⇔是纯虚数；

③复数的共轭运算性质；④复数模的运算性质；

6.复数的平方根与立方根：

①i 幂运算的周期性；②复数的平方根；③1的立方根、ω运算的周期性；7.实系数一元二次方程：

①方程2

0(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠是实系数一元二次方程，其中2

4b ac -是根的判

别式。

②实系数一元二次方程的解；

③实系数一元二次方程若有一对共轭虚根，韦达定理仍成立。二、本章知识梳理

（1）向量中一些常用的结论：

1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

2.a b a b a b →

→

→

→

→

→

-≤±≤+，特别地，

①当 a b 、同向或有0

⇔a b a b a b a b →→→→→→→→+=+≥-=-；②当 a b 、反向或有0 ⇔a b a b a b a b →→→→→→→→-=+≥-=+；③当 a b 、不共线⇔a b a b a b →→→→→→-<±<+(这些和实数比较类似).

3.向量与四心——在ABC ∆中：

①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫

⎝⎭

.②()

13PG PA PB PC G =++⇔

为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P →

++=⇔ 为ABC ∆的重心；

③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔

为ABC ∆的垂心；

④向量()0AB AC AB AC λλ⎛⎫ ⎪

+≠ ⎪⎝⎭

所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直

线)；

⑤OA OB OC O ==⇔

是ABC ∆的外心；

4.向量PA PB PC

、

、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+ 且1αβ+=.

其它共线：AC AB λ=，则A B C 、、三点共线；（2）向量语言的转化：

1.给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=

；

2.给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;

3.给出0

=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;

4.给出()

BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;

5.给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=

使；③若存在实数

,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+

且使,等于已知C B A ,,三点共线.

6.给出λ

λ++=

1OB

OA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB

AP λ=7.给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等

于已知AMB ∠

是钝角,给出0

>=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角,

8.给出MP MB MA =⎪

⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/

9.在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;

10.在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-

，等于已知ABCD 是矩形;

11.在ABC ∆中，给出()

12

AD AB AC =+

,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线;（3）复数重要知识：

1、注意复数与向量的区别：

(

)

2

2

2

a

z z =→≠；z z z z ≥→=2121；

2、常用性质用记脑海：

①222

121z z z z z z ⋅=

；②2121z z z z =；③1212z z z z ±=±；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤1122

z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑥2

2

z z z z ⋅==，n

n

z z =；

⑦2

(1)2i i ±=±，

11i i i ±=± ；⑧13

i 22

ω=-±，⑨2

ωω=，2

ωω=；ωωωωω3

2

2

110==++=，；

31ω=，2ωω=，210ωω++=；n n

33ωω

=，021=++++n n n ωωω.

3、复数的三角形式（了解）：

①(cos sin )(0)z r i r θθ=+≥称之为复数的三角形式，r 为模，θ为辐角。若[0,2)θπ∈，则称为辐角主值。

②若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=⋅21z z ()()()

212121sin cos θθθθ+++i r r ③若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则

=21z z ()()()21212

1

sin cos θθθθ-+-i r r ④棣莫弗定理

若()θθsin cos i r z +=，则=n

z ()θθn i n r n

sin cos +(

)

*

N n ∈（4）理解复数的几何意义：

①复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.②线段的中垂线：12z z z z -=-；

③圆的方程：z p r -=（以点p 为圆心，r 为半径）；④圆的内部：z p r -<（以点p 为圆心，r 为半径）；⑤闭圆环：12r z p r -≤≤（以点p 为圆心，12r r ，为半径）；⑥椭圆：122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z >-）；线段:

122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z =-）

；无轨迹:122z z z z a -+-=（2a 为正常数，122a z z <-）；⑦双曲线：122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z <-）；

射线:122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z =-）；

无轨迹:

122z z z z a ---=（2a 为正常数，122a z z >-）.

三、经典例题讲解

例1：如图，在△ABC 中，120,2,1,BAC AB AC D ∠===

是边BC 上的一点，且2DC BD =，

求AD BC ⋅ 。

解：13AD AB BD AB BC

=+=+ 112()333AB AC AB AC AB =+-=+ ，BC AC AB =- ，

又1||||cos12021()12

AB AC AB AC ⋅==⨯⨯-=-

，224,1AB AC == ，

22121218()()333333

AD BC AC AB AC AB AC AB AB ⋅=+⋅-=-+⋅=- 。

说明：在此△ABC 中，以,AB AC 为基底表示AD 与BC

。例

2：已知13

1),(,)22a b =-= ，且存在实数k 与t 使得：2

(3),x a t b y ka tb =+-=-+ ，若x y ⊥ ，求：2k t t

+的取值范围。解：由题得：||2,||1a b == ，33

022a b ⋅=-= ，又x y ⊥ ，所以0x y ⋅= ，即222(3)0ka t t b -+-= ，22

(3)4(3)04t t k t t k --+-=⇒=，所以2217(2)44k t t t +=+-，所以2

k t t

+的取值范围是7[,)4-+∞。

例3：已知0k >,若(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==

，且|||ka b a kb +=-

。（1）用k 表示a b ⋅

；

（2）求a b ⋅ 的最小值，并求出此时a 与b

的夹角θ的值。

解：（1）由(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== ，则||||1a b == ，所以22

1a b ==

，又|||,ka b a kb +=-

则22|||ka b a kb +=-

，即22

())ka b a kb +=- ，展开得：2222

2

223(2)k a ka b b a ka b k b +⋅+=-⋅+ 中，即2

221363k ka b ka b k +⋅+=-⋅+ 。所

A

B C

D

以214k a b k

+⋅= 。

（2）由211111

()4442k a b k k k +⋅==+≥⨯ ，当且仅当

1k =时等号成立。所以a b ⋅ 的最小值为12，此时1cos 2||||a b a b θ⋅==

，则3π

θ=。

例4：,a b 为非零向量，||,()m a tb t R =+∈

。

（1）求m 的最小值以及此时t 的值；

（2）求证：当m 取最小值时，b 与a tb +

垂直。解：（1）因为222

222

||()2()m a tb a tb a a b t b t

=+=+=+⋅+ ＝222

||2()||

b t a b t a +⋅+ ＝2

222

22()||()||||||

a b a b b t a b b ⋅⋅++- 。

因为2||0b > ，所以当2||a b t b ⋅=- 时，2m 的最小值为2

2

2()||||a b a b ⋅- ，

所以m （2）因为2||a b t b ⋅=- 时，m 最小，此时2||a b a tb a b b ⋅+=-

，

222()()||0||||a b a b b a tb b a b b a b b a a b b b ⋅⋅⋅-=⋅-=⋅-=⋅-⋅=

，

所以b 与a tb +

垂直。

例5：在ABC ∆中,设向量,CA a CB b ==

，则ABC ∆的面积ABC S ∆=,

ABC ∆的周长ABC C ∆=

.

答案：a b a b →→→→

++-；例6：在复数集内解方程：2

5||60x x -+=。

解：方法一：设(,)x a bi a b R =+∈

，则22260a b abi -+-+=

，得：226020

a b ab ⎧⎪--+=⎨=⎪⎩。若0,a =则25||60b b --+=，即2

5||60||1b b b +-=⇒=或||6b =-（舍），所以1b =±，此时x i =±；

若0b =，则2

5||60||2a a a -+=⇒=或||3a =，所以2a =±或3a =±，此时方程的解为2x =±、3x =±。综上知方程的解有6个：2,3,x x x i =±=±=±。

方法二：由25||60x x -+=，则2

5||6x x R =-∈，所以x 必是实数或是纯虚数。若x R ∈，则由25||60x x -+=得2

||5||60||2x x x -+=⇒=或||3x =，所以2x =±或3x =±；

若x 为纯虚数，设(,0)x bi b R b =∈≠，则22,||||x b x b =-=，方程为2

5||60b b --+=。即2||5||60||1b b b +-=⇒=或||6b =-（舍），得1b =±，则x i =±。综上知方程的解有6个：2,3,x x x i =±=±=±。

例7

：求函数y =(0)a >的最值.

解：令122,z z x ai a x ai =+=-+

，则12123y z z z z a ai =+≥+=+=

；例8：已知复数z 满足123z i +-=，复数41z i ω=-+，求复数ω对应点的轨迹.解：由123z i +-=，41z i ω=-+可知14

i z ω-+=，3712i ω∴+-=.复数ω对应点的轨迹是以()3,7-为圆心、以12为半径的圆.

例9：设C z z ∈21,，21z z ≠，1221z z z z A +=，2211z z z z B +=，问A 、B 能否比较大小，请说明理由.解：计算2121212()()||0B A z z z z z z -=--=-≥，又,B R B A ∈∴≥；

例10

：已知z =z 的最大值.

解：12z z z ==，则θ

θθθ22222121cos 3sin cos sin 3++===z z z z z ，再利用三角函数求最值即可得：3max =z ；

例11：若复数z 1、z 2、z 3的模均为r ，求123123

111z z z z z z ++++的值.解：1212112211z r z r z z r z =⇒

=⇒=，同理：2

222222221z r z r z z r z =⇒=⇒=，3232332231z r z r z z r z =⇒=⇒=；所以：123123123222123123123111111z z z z z z z z z z z z r z z z r z z z r

++++++===++++++；例12：已知函数(31)

13

1()log 2x f x abx +=+为偶函数，()22x x a b g x +=+为奇函数，其中,a b 为常数，则2233100100()()()()a b a b a b a

b ++++++⋅⋅⋅++=.解析：依题意得：i a 2321+-

=，i b 2321--=，可知：a 和b 都是ω，所以它们符合ω的性质：021=++++n n n a a a ，根据周期等于3，则答案为b a +的值：1-；

例13：（2011年春季高考14）为求解方程510x -=的虚根，可以把原方程变形为

()()432110x x x x x -++++=，再变形为()()()221110x x ax x bx -++++=，由此可得原方程的一个虚根为

.

；例14：若复数1z 和2z 满足：)0(12>=a i az z ，且2482112+=-++z z z z 。1z 和2z 在复平面中对应的点为1Z 和2Z ，坐标原点为O ，且21OZ OZ ⊥，求21Z OZ ∆面积的最大值，并指出此时a 的值。

答案：最大值为8，此时1=a ；

解析：由条件得

()82212)248(1112)248(112248221,11248222

2222212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++==⋅=++++=a a a a a

a a z a z z S a a z a 四、典型题练习1：已知关于t 的方程)(022R a a t t ∈=+-有两个根21t t 、，且满足3221=-t t 。

（1）求方程的两个根以及实数a 的值；

（2）当0>a 时，若对于任意R x ∈，不等式()k mk k a x a 22log 2

2-+-≥+对于任意的⎦⎤⎢⎣

⎡-∈21,2k 恒成立，求实数m 的取值范围。答案：（1）4；（2）⎦

⎤ ⎝⎛

∞-49,；2：已知方程02

=++p x x 有两个根1x 和2x ，R p ∈。

（1）若321=-x x ，求实数p ；

（2）若321=+x x ，求实数p ；答案：（1）225-==

p p 或；（2）①当410≤≤p 时，方程无解；②当0

p 时，4

9=p ；3：直角三角形ABC 中，A ∠是直角，A 为EF 中点，且EF 与BC 夹角为60︒，4,2BC EF ==，则BE CF ⋅= 。答案：1；4：向量OA 与OB 已知夹角，2,1,,(1)OA OB OP tOA OQ t OB ====- ，PQ 在0t 时取得最小值。问当0105t <<

时，夹角的取值范围。答案：2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

。

5：若1a 、2a 、3a 均为单位向量，则136,33a ⎛= ⎝⎭

是123a a a ++= 的（）A 、充分不必要条件

B 、必要不充分条件．

C 、充分必要条件

D 、既不充分又不必要条件．

答案：B ；6：已知1z =，k 是实数，z 是复数，求21z kz ++的最大值。答案：k +2；

7：设复数12,z z

满足：11212,(1)z z z z z a =+=+，其中i 是虚数单位，a 是负实数，求21

z z 。答案：21132

z z =-。8：已知1212||2,||3,||4z z z z ==+=，则

12z z =。

答案：1216

z z ±=。9：已知 A B 、

为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅ ，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）

（A ）圆

（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线:

答案：C ；10：设00(0)Z Z ≠为复平面上一定点，1Z 为复平面上的动点，其轨迹方程为101||||Z Z Z -=，

Z 为复平面上另一个动点满足11Z Z =-，则Z 在复平面上的轨迹形状是（）A 、一条直线B 、以0

1Z -为圆心，01Z 为半径的圆C 、焦距为012

Z 的双曲线D 、以上均不对答案：B ；