1.4空间向量的应用-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义

1、如图，直线，取直线的方向向量，则称向量为平面为平面的法向量给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合

2、求直线与平面所成的角

（1）设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝.

（2）线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|

3、求二面角的大小    

（1）如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉.

（2）如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).

（3）二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补.

4、设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理，得

5、点P到平面的距离是在直线上的投影向量的长度：

题型一　法向量

例 1　已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（    ）

A． ． ． ．

【答案】D

【分析】

两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.

【详解】

平面α的一个法向量是，，

设平面的法向量为，

则，

对比四个选项可知，只有D符合要求，

故选：D.

1、如图，在正方体ABCD­中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(    )

A．(1，－2，4) ．(－4,1，－2)

C．(2，－2，1) ．(1，2，－2)

【答案】B

【分析】

由A、E、F的坐标算出=（0，2，1），=（﹣1，0，2）．设=（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x、y、z的方程组，再取y=1即可得到向量的坐标，从而可得答案．

【详解】

设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），

∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）

设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量

则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2

∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量

因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量

故选B．

2、在空间直角坐标系中，已知三点，，，若向量与平面垂直，且，则的坐标为________．

【答案】或

【分析】

先求得，设，利用列方程组，解方程组求得的坐标.

【详解】

由A，，，可得，

设，根据题意可得，可得，

解得或.

所以或.

故答案为：或.

题型二　线面角

例 2　在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（    ）

A． ． ． ．

【答案】B

【分析】

通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.

【详解】

建立如图所示的空间直角坐标系，

则

，，

设平面的法向量为

则令可得，所以

设直线与平面所成角为，

故选：B

1、如图，在直三棱柱中，，，､分别为棱､的中点，是棱上的点，满足.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由已知证得，，由线面垂直的判定定理可得证；

（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，根据线面角的向量求解方法可得答案.

【详解】

（1）三棱柱是直三棱柱，所以平面 ，又平面，所以，

又，， ､分别为棱､的中点，所以 ，所以，

又，平面，平面，

所以平面；

（2）以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，

由（1）得，又，所以，

所以，所以，

设面的法向量为，则，所以，令，得，所以，

设直线与平面所成角为，则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

题型三　点到面的距离

例 3　如图，棱长为1的正方体，是底面的中心，则到平面的距离是（    ）

A． ． ． ．

【答案】B

【分析】

如图建立空间直角坐标系，可证明平面，故平面的一个法向量为：，利用点到平面距离的向量公式即得解.

【详解】

如图建立空间直角坐标系，则：

由于平面平面

，又，

平面

故平面的一个法向量为：

到平面的距离为：

故选：B

1、已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（    ）

A． ．1 ．  ． 

【答案】A

【分析】

利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.

【详解】

∵A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），

＝（1，0，0），＝（﹣1，2，﹣2），

∴点A到直线BC的距离为：

d＝

＝1×＝．

故选：A

题型四　二面角

例 4　如图，在三棱柱中，，，是棱的中点，侧棱底面．

求平面与平面所成二面角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【分析】

(Ⅰ)以C为坐标原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标，然后计算即可

(Ⅱ)先求出平面的法向量，是平面的法向量，然后计算出平面与平面所成二面角的正弦值即可

【详解】

（Ⅱ）∵是棱的中点，∴． 

由（Ⅰ），知，，．

∴，，．

∵侧棱底面，∴是平面的法向量． 

设平面的法向量为，则

即解之，得 故可取．

∴．

∴．

故平面与平面所成二面角的正弦值为．

1、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF中，AB＝，CE＝1，CE⊥平面ABCD．

（1）求异面直线DF与BE所成角的余弦值； 

（2）求二面角A－DF－B的大小．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线DF与BE所成角的余弦值.(2)利用向量法求二面角A－DF－B的大小.

详解：⑴以{ }为正交基底，建立如图空间直角坐标系C－xyz，

则D(，0，0)，F(，，1)，E(0，0，1)，B(0，，0)，C(0，0，0)，

所以＝(0，，1)，＝(0，–，1)，

从而cos<， >＝． 

所以直线DF与BE所成角的余弦值为．

(2)平面ADF的法向量为＝ (，0，0). 

设面BDF的法向量为 = (x，y，z)．又＝(，0，1)．

由＝0，＝0，

得y＋z＝0， x＋z＝0

取x＝1，则y＝1，z＝–，所以= (1，1，－)，

所以cos<>＝．

又因为<>∈[0，π]，所以<>＝．

所以二面角A – DF – B的大小为． 

题型五　动点问题

例 5 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．

（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由

（2）当二面角D-FC-B的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角

1、如图，在四棱锥中，平面底面，侧面为等腰直角三角形，，底面为直角梯形，=2，EA⊥EB

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，说明理由.

【答案】（1）（2）点满足时，有平面．

1、如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为

A． ． ． ．

【答案】A

取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，

可得，，故，而

，设平面的法向量为，根据

，解得，

.

故与平面所成角的大小为，故选A．

2、两平行平面 ， 分别经过坐标原点  和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是  （ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【解析】

两平行平面 ， 分别经过坐标原点  和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.

3、长方体中，，．

（1）求异面直线与所成角的余弦值

（2）求点到平面的距离

（3）求二面角的余弦值

【答案】（1）（2）；（3）

解：以为原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则,,

（1）设异面直线与所成角为，

因为，

所以，

（2）设平面的法向量为，，，

则，即，令，则，所以，

因为，

所以点到平面的距离，

（3）设平面的法向量为，，

则，即，令，则，

所以，

设二面角的大小为，则

，

4、在直三棱柱中，，，，点是的中点．

（1）求异面直线，所成角的余弦值；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）求异面直线与的距离．

【答案】（1）．（2）．（3）

【详解】

解：以，，为，，轴建立按直角坐标系，

则各点的坐标为，，，．如图：

（1）所以，，

所以．

故异面直线和所成角的余弦值为．

（2），，设平面的法向量为．

则即，取，得．

设直线与平面所成角为，则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

（3）连接交于点，连接，易得，

所以平面，故点到平面的距离即为所求异面直线距离．

记点到平面的距离为，则．

所以异面直线与的距离为．