用向量法证明空间中的平行垂直关系-讲义

新知新讲

点、直线和平面位置的向量表示

用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”

(1)建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；

(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

金题精讲

题一：设，分别是直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断直线l1，l2的位置关系：

(1) =(2，-1，-2)， =(6，-3，-6)

(2) =(1，2，-2)， =(-2，3，2)

题二：设，分别是平面α，β的法向量，根据下列条件判断平面α，β的位置关系：

(1) =(-2，2，5)， =(6，-4，4)

(2) =(1，2，-2)， =(-2，-4，4)

题三：如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.

(1)求证：BC1⊥AB1；

(2)求证：BC1∥平面CA1D.

用向量法证明空间中的平行垂直关系

讲义参

题一：(1)平行 (2)垂直  题二：(1)垂直 (2)平行 

题三：以C1为原点，以，，为x轴、y轴、z轴建系如图

设AC=BC=BB1=1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)， B1(0，1，0)，C1(0，0，0)

(1)∵= (0，-1，-1)， = (-1，1，-1)

∴·=0-1+1=0

∴⊥

∴BC1⊥AB1

(2)C(0，0，1)，A1(1，0，0)，D(，，1)

设平面CA1D的法向量为= (x，y，z)

， 

取，则

∴

又BC1∥平面CA1D

∴BC1∥平面CA1D