转化”思想在数学课堂中的渗透

                                ---《平面图形的面积》案例分析

摘要：

《国家数学课程标准》将原先的“双基”修改为“四基”，增加了基本思想、基本活动经验，引起了数学教育界的广泛关注。其中数学基本思想在数学教学中涉及广泛，渗透这些数学基本思想有利于发展学生的思维，提高学生的解题能力。“转化”思想在小学阶段的学习中运用很多，除了图形教学，代数及解决问题的策略等领域也多有涉及，掌握“转化”思想有利于学生更好的自主学习。

关键词：转化  凸显   渗透

引言：

《国家数学课程标准》制定组组长、东北师大校长史宁中教授提出了“数学教学的四基”，引起了数学教育界的广泛关注。以前的双基教学重视基础知识、基本技能的传授，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要的教学目标。现在提出的新四基增加了基本思想、基本活动经验。关于基本思想方法，史老师为我们分析了数学思想方法的四大育人功能：一是有利于完善学生的数学认知结构；二是可以提升学生的元认知水平；三是可以发展学生的思维能力；四是有利于培养学生解决问题的能力。目前我们小学阶段涉及到的数学思想方法主要有分类、转化、归纳、数形结合、数学建模、猜想、符号化、方程与函数、极限等，无论哪种数学思想方法的学习，都不能空洞的仅学习方法本身的概念和含义，而是要同具体的知识相结合，在分析问题、解决问题中体验和领悟数学思想。

“转化”思想在小学阶段的学习中运用很多，除了图形教学，代数及解决问题的策略等领域也多有涉及，本案例截取苏教版教材中几段关于平面图形面积教学片段，集中表述“转化”这一数学思想在图形教学中的渗透和作用。

思考一：如何化新为旧，给新知寻找一个生长点？

在学习平面图形面积之前，学生是通过数格子的方法学习了正方形和长方形的面积，之后要学习的图形面积都是以此为基础，三角形的面积又以平行四边形为媒介进行转化，为了让学生体会这一转化过程，有了这样的设计：

案例一：

教学内容：苏教版第九册第15、16页《三角形面积》

1、提出操作和探究要求。

让学生拿出课前准备的三种类型三角形（各两个）小组合作动手拼一拼、摆一摆或剪拼。

屏幕出示讨论提纲：①用两个完全一样的三角形摆拼，能拼出什么图形？

                  ②拼出的图形与原来三角形有什么联系？

2、学生以小组为单位进行操作和讨论。

学生实验，教师参与到小组中进行指导。

3、展示学生的剪拼过程，交流汇报。

（让学生将转化后的图形贴在黑板上，再选择有代表性的情况汇报）

组1：我们用两个直角三角形拼成一个长方形。

组2：我们还用两个完全一样的锐角三角形拼成平行四边。

组3：我们用两个完全一样的等腰直角三角形，拼成了一个正方形。

（分别指名演示拼的过程，并把拼好的图形贴在黑板上）

师：大家来看，你们已经把三角形转化成了平行四边形，长方形，那么，怎么推导出三角形的面积方法呢？下面我们进行第二次小组合作，根据你们本组转化的图形，找到它们之间的联系，推导出三角形面积的计算公式，开始。

（学生实验，教师参与到小组中进行指导。）

师：同学们讨论得非常认真，找到三角形的面积计算方法了吗？

生：找到了。

师：哪个小组说说你们是怎么找到的？

生：我们用两个完全一样的三角形拼成了平行四边形，平行四边形的面积是底乘以高，再除以2就可以求出一个三角形的面积。（板书：底×高÷2）

师：是不是求一个三角形的面积，我们一定要拼成平行四边形以后再算呢？

生：不用，我们发现三角形的底和平行四边形的底相等，三角形的高和平行四边形的高相等，所以三角形的面积是底乘以高再除以2。（板书：三角形的面积=底×高÷2）

……

师：同学们真了不起，用转化的方法推导出了三角形的面积公式。得到了这个公式，我们就可以求出任何三角形的面积。用这个公式计算三角形的面积（指板书），需要知道什么条件？

生：需要知道三角形的底和高

【体会：任何一个新知识，总是原有知识发展和转化的结果。在实际教学中，教师可以把学生感到生疏的问题转化成比较熟悉的问题，并利用已有的知识加以解决，促使其快速高效地学习新知，而已有的知识就是这个新知的生长点。将平行四边形转化为学过的长方形，面积的问题迎刃而解。在此过程中转化的思想也就随之潜入学生的心中。其他图形的教学亦是如此。1、推导梯形面积时，把梯形转化成平行四边形。 2、推导圆的面积公式时，把圆形转化成长方形。3、推导圆柱体积公式时，把圆柱体转化成长方体。4。圆锥的体积公式进，把圆锥转化成圆周柱。】

思考二：如何化繁为简，优化解题策略？

不规则图形的面积在所有平面图形面积学完后经常会出现，进行割补的方法一般都是多样的，无论哪种方法，最终都是将复杂的不规则图形转化为几个学过的图形，优化学生的解题策略。

案例二：

教学内容：苏教版第九册第26－27页《校园的绿化面积》

活动一：想想算算

1、出示下图：华风小学校园里有一块草坪，你能算出它的面积有多大吗？

（图1）

师：我们已经会计算长方形、三角形、平行四边形、梯形等一些基本平面图形的面积，而这个图形不是这些基本图形，你会计算它的面积吗？

你准备怎样算？请你先在小组里交流，再算出结果。

2、小组交流，教师巡视。

3、 分类汇报，集中整理。

教师在黑板上贴出几张同样的画有草坪平面图的纸片，让学生把方法表示出来。

生A：可以看成由一个长方形和一个梯形合成的。（图2）

生B： 可以看成由一个长方形和一个三角形合成的。（图3）

生C：可以看成从一个梯形和一个三角形合成的。（图4）

生D：可以看成从一个长方形里去掉一个梯形。（图5）

生E：可以看成从一个梯形里去掉一个三角形。（图6）

师：你还有什么方法？

（如果有学生说出把图形分成三部分来算，也同步图片出示）

4、  找出数据，计算面积

集中练习：以图2 的方法为例。先让学生说说长方形的长宽、梯形的上底下底和高。

学生口述，教师列式。

方法一：长方形面积：12×4＝48（㎡）

梯形面积：（12＋15）×6÷3＝81（㎡）

草坪的面积：48＋81＝129（㎡）

自由练习，找出有关的数据。并计算出面积。

……

师：请大家再想一想，这些方法又有什么共同的特点呢？

生：都是把我们没学过的图形变成我们学过的图形再计算。

师：你真是一个善于观察的孩子，但是这里我们一般不用“变成”，这样的变化方法我们数学上称为“转化”。

小结：方法一、二、三都是把图形分割成两个基本图形，方法四五是先补它补上一部分变成基本图形（教师板书“割” 和“补”）。然后把画有方法的纸片分类排放。说明割补是为了把组合图形转化成简单的基本图形，充分利用已经掌握的数学知识解题。

【体会：在处理和解决数学问题时，除了这样外观复杂的图形，常常还会遇到一些运算或数量关系非常复杂的问题，这时教师不妨转化一下解题策略，化繁为简。反而会收到事半功倍的效果。学生在转化思想的影响下，茅塞顿开，将一道生活中的数学问题既形象又有创意地解决了。从这里可以看出：学生掌握了转化的数学思想方法，就犹如有了一位“”的教师，从根本上说就是获得了自己解决数学问题的能力。】

思考三：如何化曲为直，突破空间障碍？

直线可量可测，曲线的测量难度显而易见，圆面积的教学以及以后的圆柱、圆锥教学，正是运用转化的思想方法帮助学生突破了这样的空间障碍，让曲面图形的学习也得心应手起来。

案例三：

教学内容：苏教版第十册第103—105页《圆的面积》

1、引发探究兴趣。

谈话：通过例7的学习，我们知道了圆的面积等于半径乘半径的3倍多一些，这里的3倍多一些是近似数，现在又有同学猜想这个倍数可能就是π。那么，需要思考其他计算圆面积的方法。

2、回顾。 

黑板上出示平行四边形和三角形。

师：请同学们回忆一下平行四边形和三角形面积的推导过程

总结：平行四边形面积的推理方法是“剪”，三角形面积的推理是“拼”。 

3、尝试。 

师：大家觉得用两个圆能拼出那种我们可以进行计算的图形？

生：不能。

师：那我们就先剪一剪试试，可以随意剪吗？

生：不可以，要平均分。

师：是的，让我们先从简单的开始研究，边剪边拼边研究才是研究数学的正确方法。

先平均分成两份——拼不成已经学过的图形；

再平均分成4份，再拼形成共识——像平行四边形；

最后平均分成8份，演示拼成图形，学生已经清楚地感受到——更像平行四边形了。 

师：想一想，如果我们分的份数是16、32……拼出的图形会怎样？

生：越来越接行四边形。

4、媒体演示。 

媒体第一次演示：平均分成4份，拼成的图形有点像平行四边形；平均分成8份，拼成的图形像平行四边形；平均分成16份，拼成的图形更像平行四边形；平均分成32份，拼成的图形是平行四边形，并且接近长方形了。 

媒体第二次演示：重点观察长方形的长和宽与圆的联系。 

5、推导公式。 

生：长方形的长就是圆周长的一半。

师：怎么表示？

生1：c÷2。

师：还可以怎么表示？

生2：πd÷2。

生3：2πr÷2。

生4：2πr÷2＝πr。 

比较选择：s＝c÷2×r;  s=πd÷2×r;  s=πr×r.   

师：你觉得那种表示方法最合适？说说理由。

生：s=πr×r，因为π和r都可以直接告诉我们，不需要计算。

师板书：S=πr²。 

小结：像这样把圆通过“剪”和“拼”变成以前学过的长方形再进行计算的方法，我们数学上称为“转化”。

【说明：

建构主义理论告诉我们：知识并不能简单地由教师或他人传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。

维果茨基的“最近发展区”理论认为，在教学中应启发学生从原有认知结构中找准新知的生长点，不仅要考虑学生学习新知识所需要的基础，而且充分考虑学生对将要学习的新知识已了解多少，从而确定新知学习的起点。

 “化曲为直”的转化思想是小学数学曲面图形面积学习的主要思想方法。在日后的立体图形中还讲继续运用，它可以把学生的思维空间引向更宽更广的层次，突破空间上的障碍，形成一个开放的思维空间，为学生今后的发展打下坚实的基础。】

感悟：

一、在新知教学中渗透转化思想

作为一种学习策略，转化思想方法的掌握与获取数学知识、技能一样，都有一个感知、领悟、掌握，应用的过程，这个过程是潜移默化的，长期的、逐步积累的。因为转化思想是未知领域向已知领域转化，因此渗透时必须要求学生具有一定的基础知识和解决相似问题的经验。一般来说，基础知识越多，经验越丰富，越容易沟通新旧知识的转化。在学习新知时可以巧妙地创设问题情境，让学生自主产生转化的需要，例如案例一中的三角形面积是一个全新的知识点，但在课的伊始，先让学生动手用两个完全一样的三角形拼平行四边形，通过动手操作和对过程的观察，再加上之前学习平行四边形面积时积累的一点经验，不需要老师的强调，大部分学生自然而然的就想到把三角形的面积转化为平行四边形面积。我想，只有在授课时让学生自主产生转化的需求，并能积极主动的将新知转化的旧知，转化的思想才是真正潜入了学生的心中。

二、在知识回顾中凸显转化思想

数学思想的领会和掌握只能遵循从个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级的认识规律。因此，每一种数学思想之后，教师要提醒学生“思想的名称和含义”，让学生有个清楚的认识，并且让学生回顾使用的过程，在过程回顾中加深体会、促进领悟。对同一种数学思想，应该注意其在不同知识阶段的重现，在不同问题和不同阶段的教学中屡次出现，每次都有不同的形式，也有层次上的深浅，以加强学生对数学思想的认识。在上述的三个案例中，都注意在每一次活动结束后引导学生总结“这是转化的数学思想”，目的就是让学生在经历不同层次的活动后都能将活动过程提升为数学思想，让数学思想潜移默化的渗透在学生的学习中。

三、在实践运用中发展转化思想

数学思想比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。学生在学习数学知识的过程中，根据自己的体验、用自己的思维方式构建出数学思想的含义。同时，作为深层次的数学知识，作为潜隐层次的能力，思想只有在实践运用中才能真正掌握和提高。与其告诉学生一百遍名字，不如让学生在实际练习中体会一次。特别是在解题中，要让学生多分析、多思考，在运用数学思想中发展数学的思维能力，进而发展灵活运用数学知识解决问题的一般能力。转化思想亦是如此，除了图形的转化，解决问题和计算中也存在很多转化的现象，在平时的练习中，可以提醒学生注意选用转化的思想方法，培养学生逐步掌握这一基本的数学思想。

知识传承的教育以知多知少为成效，技能训练的教育以反应快慢为目标，智慧的教育呢？它应当让学生学会思考，帮助学生编织结构良好的思维框架，铺设思维高效通达的智力达到。 “双基”变“四基”，为数学教师提出了更高的要求，要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供了最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学得到不同的发展。“双基”变“四基”，任重而道远。

参考文献

[1].王光明  范文贵《新版数学课程标准解析与教学指导（小学数学）》 北京：北京师范大学出版社，2012

[2].郑毓信等.《数学思维与数学方》.成都：四川教育出版社，2001

[3].周春荔.《数学思维概论》.北京：北京师范大学出版社，2012

[4].张奠宙等.《小学数学研究》.北京：高等教育出版社，2011