2019年中考数学试题汇编：相似形填空题部分(解析版)

【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．

【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），

∴A′（4，4），C′（12，2），

∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．

故答案为：18．

【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．

2.（2019年内蒙古呼和浩特市）已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为　　．

【分析】根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG∽△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．

【解答】解：如图：延长AD、BG相交于点H，

∵正方形ABCD的面积是2，

∴AB＝BC＝CDA＝，

又∵CE＝，△EFC∽△EAB，

∴，

即：F是CD的中点，

∵AH∥BE，

∴∠H＝∠FBC，

∠BCF＝∠HDF＝90°

∴△BCF≌△HDF （AAS），

∴DH＝BC＝，

∵AH∥BE，

∴∠H＝∠FBC，∠HDG＝∠BEG

∴△HDG∽△BEG，

∴，

在Rt△ABH中，BH＝，

∴BG＝，

故答案为：

【点评】考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，转化思想方法的应用和画出相应的图形则显得尤为重要．

3.（2019年湖北省襄阳市）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，

∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝　　．

【分析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE＝60°，推出∠DAE＝90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．

【解答】解：如图，过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，

∵BD＝1，AD＝5，

∴AB＝BD+AD＝6，

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，

∴BC＝AB＝3，AC＝BC＝3，

在Rt△BCA与Rt△DCE中，

∵BAC＝∠DEC＝30°，

∴tan∠BAC＝tan∠DEC，

∴，

∵BCA＝∠DCE＝90°，

∴∵BCA﹣∠DCA＝∠DCE﹣∠DCA，

∴∠BCD＝∠ACE，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CAE＝∠B＝60°，∴，

∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，，

∴AE＝，

在Rt△ADE中，

DE＝＝＝2，

在Rt△DCE中，∠DEC＝30°，

∴∠EDC＝60°，DC＝DE＝，

在Rt△DCM中，

MC＝DC＝，

在Rt△AEN中，

NE＝AE＝，

∵∠MFC＝∠NFE，∠FMC＝∠FNE＝90，

∴△MFC∽△NFE，

∴＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．

4.（2019年辽宁省本溪市）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（4，2），B（5，0），以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为　（2，1）或（﹣2，﹣1）　．

【分析】根据位似变换的性质计算即可．

【解答】解：以点O为位似中心，相们比为，把△ABO缩小，点A的坐标是A（4，2），

则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），

故答案为：（2，1）或（﹣2，﹣1）．

【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

5.（2019年内蒙古通辽市）已知三个边长分别为2cm，3cm，5cm的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为　3.75cm2　．

【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．

【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，

根据相似的性质可知＝，

解得x＝2.5，

即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5（cm）．

再根据相似的性质可知＝，

解得：y＝1，

所以梯形的下底就是3﹣1＝2（cm），

所以阴影梯形的面积是（2+0.5）×3÷2＝3.75（cm2）．

故答案为：3.75cm2．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例．

6.（2019年四川省泸州市）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为　　．

【分析】过D作DH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质得到AC＝BC＝15，∠CAD＝45°，求得AH＝DH，得到CH＝15﹣DH，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：过D作DH⊥AC于H，

∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，

∴AC＝BC＝15，

∴∠CAD＝45°，

∴AH＝DH，

∴CH＝15﹣DH，

∵CF⊥AE，

∴∠DHA＝∠DFA＝90°，

∴∠HAF＝∠HDF，

∴△ACE∽△DHC，

∴＝，

∵CE＝2EB，

∴CE＝10，

∴＝，

∴DH＝9，

∴AD＝9，

故答案为：9．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

7.（2019年山东省烟台市）如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为　（﹣5，﹣1）　．

【分析】分别延长B1B、O1O、A1A，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．

【解答】解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．

故答案为（﹣5，﹣1）．

【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形的性质有 两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．

8.（2019年河南省）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝α．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为　或　．

【分析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．

【解答】解：分两种情况：

①当点B′落在AD边上时，如图1．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝90°，

∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，

∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，

∴AB＝BE，

∴a＝1，

∴a＝；

②当点B′落在CD边上时，如图2．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．

∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，

∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，

∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝．

在△ADB′与△B′CE中，

，

∴△ADB′∽△B′CE，

∴＝，即＝，

解得a1＝，a2＝0（舍去）．

综上，所求a的值为或．

故答案为或．

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．

9.（2019年吉林省）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时同地测得一栋楼的影长为90m，则这栋楼的高度为　54　m．

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．

【解答】解：设这栋楼的高度为hm，

∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，

∴＝，解得h＝54（m）．

故答案为：54．

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．

10.（2019年江苏省常州市）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝　6　．

【分析】作PF⊥MN于F，则∠PFM＝∠PFN＝90°，由矩形的性质得出AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，得出AB＝CD＝，BD＝＝10，证明△PDF∽△BDA，得出＝，求出PF＝，证出CE＝2CD，由等腰三角形的性质得出MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出＝＝2，求出NF＝2PF＝3，即可得出答案．

【解答】解：作PF⊥MN于F，如图所示：

则∠PFM＝∠PFN＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，

∴AB＝CD＝，BD＝＝10，

∵点P是AD的中点，

∴PD＝AD＝，

∵∠PDF＝∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

∴＝，即＝，

解得：PF＝，

∵CE＝2BE，

∴BC＝AD＝3BE，

∴BE＝CD，

∴CE＝2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，

∵∠PFN＝∠C＝90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴＝＝2，

∴NF＝2PF＝3，

∴MN＝2NF＝6；

故答案为：6．

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

11.（2019年江苏省淮安市）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，DE＝2，BC＝6，则EF＝　4　．

【分析】根据l1∥l2∥l3，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．

【解答】解：∵l1∥l2∥l3，

∴＝，

又AB＝3，DE＝2，BC＝6，

∴EF＝4，

故答案为：4．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．

12.（2019年广西河池市）如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则＝　　．

【分析】直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．

【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，

∴＝＝＝．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应边的比值是解题关键．

13.（2019•娄底）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为 9    m．

考点：相似三角形的应用．

分析：根据△OCD 和△OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 

解答：解：由题意得，CD∥AB，

∴△OCD∽△OAB，

∴=，

即=， 解 得 AB=9． 故答案为：9．

点评：本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键．

14.（2019年江苏省无锡市）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为　8　．

【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．

【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．

∵AB＝AC＝5，BC＝4，

∴BM＝CM＝2，

易证△AMB∽△CGB，

∴，

即

∴GB＝8，

设BD＝x，则DG＝8﹣x，

易证△EDH≌△DCG（AAS），

∴EH＝DG＝8﹣x，

∴S△BDE＝＝＝，

当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．

故答案为8．

【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．

15.（2019年浙江省杭州市）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　2（5+3）　．

【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABC是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，

由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，

∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，

∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，

∵△A′EP∽△D′PH，

∴＝，

∴＝，

∴x2＝4a2，

∴x＝2a或﹣2a（舍弃），

∴PA′＝PD′＝2a，

∵•a•2a＝1，

∴a＝1，

∴x＝2，

∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，

∴AD＝4+2++1＝5+3，

∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．

故答案为2（5+3）

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

16.（2019年浙江省衢州市）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形

（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为　　．

（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第n个“7”字图形得顶点Fn﹣1，…，则顶点F2019的坐标为　（）　．

【分析】（1）先证明△AOB∽△BCD，所以＝，因为DC＝1，BC＝2，所有＝；

（2）利用三角形相似与三角形全等依次求出F1，F2，F3，F4的坐标，观察求出F2019的坐标．

【解答】解：（1）∵∠ABO+∠DBC＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°，

∴∠DBC＝∠OAB，

∵∠AOB＝∠BCD＝90°，

∴△AOB∽△BCD，

∴＝，

∵DC＝1，BC＝2，

∴＝，

故答案为；

（2解：过C作CM⊥y轴于M，过M1作M1N⊥x轴，过F作FN1⊥x轴．

根据勾股定理易证得BD＝＝，CM＝OA＝，DM＝OB＝AN＝，

∴C（，），

∵AF＝3，M1F＝BC＝2，

∴AM1＝AF﹣M1F＝3﹣2＝1，

∴△BOA≌ANM1（AAS），

∴NM1＝OA＝，

∵NM1∥FN1，

∴，

，

∴FN1＝，

∴AN1＝，

∴ON1＝OA+AN1＝+＝

∴F（，），

同理，

F1（，），即（）

F2（，），即（，）

F3（，），即（，）

F4（，），即（，）

…

F2019（，），即（，405），

故答案为即（，405）．

【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

17.（2019年江苏省南京市）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　　．

【分析】作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出＝＝，NE＝x，BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．

【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示：

∵CD平分∠ACB，

∴＝＝，

设AC＝2x，则BC＝3x，

∵MN是BC的垂直平分线，

∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，

∴MN∥AE，

∴＝＝，

∴NE＝x，

∴BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，

由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，

即52﹣（x）2＝（2x）2﹣（x）2，

解得：x＝，

∴AC＝2x＝；

故答案为：．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

18.（2019年山东省泰安市）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是　2　．

【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．

【解答】解：如图，连接EC，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，

∵E为AD中点，

∴AE＝DE＝AD＝6

由翻折知，△AEF≌△GEF，

∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，

∴GE＝DE，

∴EC平分∠DCG，

∴∠DCE＝∠GCE，

∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，

∴∠GEC＝∠DEC，

∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，

∴∠FEC＝∠D＝90°，

又∵∠DCE＝∠GCE，

∴△FEC∽△EDC，

∴，

∵EC＝＝＝3，

∴，

∴FE＝2，

故答案为：2．

【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．

19.（2019年四川省凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为　4　．

【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．

【解答】解：∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，

∴∠BEP＝∠CPQ．

又∠B＝∠C＝90°，

∴△BPE∽△CQP．

∴．

设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．

∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），

整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，

所以当x＝6时，y有最大值为4．

故答案为4．

【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想．

20.（2019年四川省凉山州）在▱ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF：S△CBF是　4：25或9：25　．

【分析】分AE：ED＝2：3、AE：ED＝3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．

【解答】解：①当AE：ED＝2：3时，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AE：BC＝2：5，

∴△AEF∽△CBF，

∴S△AEF：S△CBF＝（）2＝4：25；

②当AE：ED＝3：2时，

同理可得，S△AEF：S△CBF＝（）2＝9：25，

故答案为：4：25或9：25．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

21.（2019年四川省自贡市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　　．

【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，

∴AC＝8，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CDE，

∵CD∥AB，

∴∠D＝∠ABE，

∴∠D＝∠CBE，

∴CD＝BC＝6，

∴△AEB∽△CED，

∴，

∴CE＝AC＝×8＝3，

BE＝，

DE＝BE＝×＝，

故答案为．

【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．

22.（2019年山东省滨州市）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有　①③④　（填写所有正确结论的序号）

【分析】①正确．只要证明EC＝EA＝BC，推出∠ACB＝90°，再利用三角形中位线定理即可判断．

②错误．想办法证明BF＝2OF，推出S△BOC＝3S△OCF即可判断．

③正确．设BC＝BE＝EC＝a，求出AC，BD即可判断．

④正确．求出BF，OF，DF（用a表示），通过计算证明即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，OD＝OB，OA＝OC，

∴∠DCB+∠ABC＝180°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠DCB＝120°，

∵EC平分∠DCB，

∴∠ECB＝∠DCB＝60°，

∴∠EBC＝∠BCE＝∠CEB＝60°，

∴△ECB是等边三角形，

∴EB＝BC，

∵AB＝2BC，

∴EA＝EB＝EC，

∴∠ACB＝90°，

∵OA＝OC，EA＝EB，

∴OE∥BC，

∴∠AOE＝∠ACB＝90°，

∴EO⊥AC，故①正确，

∵OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF，

∴＝＝，

∴OF＝OB，

∴S△AOD＝S△BOC＝3S△OCF，故②错误，

设BC＝BE＝EC＝a，则AB＝2a，AC＝a，OD＝OB＝＝a，

∴BD＝a，

∴AC：BD＝a：a＝：7，故③正确，

∵OF＝OB＝a，

∴BF＝a，

∴BF2＝a2，OF•DF＝a•（a+a）＝a2，

∴BF2＝OF•DF，故④正确，

故答案为①③④．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于填空题中的压轴题．

23.（2019年山东省滨州市）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是　（﹣1，2）或（1，﹣2）　．

【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．

【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），

∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），

故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．

【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．