排列组合综合 教案-2022届高三上学期数学一轮复习

【教学目标】

1.分类计数—加法原理：

完成一件事，可以有类办法，在第一类办法中有种方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种方法．那么，完成这件事共有种方法．(也称加法原理)

2.分步计数—乘法原理：

完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第一步有种方法，做第二步有种方法，……，做第步有种方法．那么，完成这件事共有种方法．(也称乘法原理)

3.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.

如果完成一件事有类办法，且这类办法是相互的，无论哪一类办法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法原理.

分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法. 前者保证不遗漏，后者保证不重复.

如果完成一件事，需要分个步骤，各步骤相互又不可或缺，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法原理.

【例题讲解】

★☆☆例1： 例1．从甲地到乙地一天有汽车班，火车班，轮船班，某人从甲地到乙地，他共有____________种不同的走法.

★☆☆练1. 一个三层书架，分别放置语文书本，数学书本，英语书本，从中取出一本，则不同的取法有__________种.

★★☆练2： 某日，从甲城市到乙城市的火车共有个车次，飞机共有个航班，长途汽车共有个班次,若该日小张只选择这种交通工具中的一种，则他从甲城市到乙城市共有

A．种选法    B．种选法    C．种选法    D．种选法

★★☆例2：某座四层大楼共有三个大门，楼内有两个楼梯，那么由楼外到这座大楼的第四层共有（　　）种走法.

A.               B.               C.               D.

 ★☆☆练1：集合有个元素，则集合的子集的个数为__________

★☆☆练2：某体育馆有个门供球迷出入，某球迷从其中一任意一门进入，另外一门走出，则不同的进出方法有

A.种          B.种           C.种          D.种

★★☆例3：名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每入限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是_____________.

★☆☆练1：只猫把只老鼠捉光，不同的捉法有__________种.

★★☆例4：如图，用种不同颜色给图中的A，B，C，D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有      种．

★★☆练1：如图，花坛内有个花池，有种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为

A.            B.             C.            D.

【题型知识点总结】

1. 分类相加和分步相乘的本质区别：能否“一步到位”，一次解决，即为分类相加；几步完成，分步相乘

2. 在涂色模型中，分析清楚题目条件，颜色是都用完还是不用全部用上

二、排列数与组合数的运算

1. 排列与组合的概念

排列定义: 从个不同元素中取出个元素, 按照一定顺序成一列.

组合定义: 从个不同元素中取出个元素, 合成一组.

2. 排列数与组合数

（1）排列数的定义：从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．

（2）组合数的定义：从个不同元素中取出个元素合成一组，叫作从个不同元素中取出个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的组合数，用表示．

3．排列数、组合数的公式及性质

排列数:  

规定:        

组合数: =

规定：

   性质：    

【例题讲解】

★★☆例1： 例1. 解方程

★★☆练1．解方程 

★★☆例2．解不等式

★★☆练2．解不等式

★☆☆例3．解方程：

★☆☆练3．解方程：

【题型知识点总结】

1. 注意： 的计算，若  通常把转化为进行计算更为简便

2. 易错点：排列组合数的上下标的范围

3. 计算简便：上标是字母，用阶乘形式表示和化简会更简便上标是一个不大的数字，那么两种表示方法都可以

三、排列组合综合题型

【例题讲解】

（1）排列组合基础问题

★☆☆例1： 一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法为

A．种        B．种        C．种        D．种

★☆☆练1：现有人站成前后两排照相，要求前排人，后排人，那么不同的排法共有

A．种           B．种          C．种           D．种

★☆☆例2：三年一班有位学生，毕业时要求每两人均要合一张影（每两人只拍一张），则一班一共会拍__________张双人合影.（答案用数字表示）

★☆☆练1：从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A. 种          B. 种          C. 种          D. 种 

（2）特殊元素/位置优先考虑

★☆☆例1：个人排成一排，甲不在排头或排尾，共有多少种排法？

★☆☆练1：六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（   ）种

A.             B.         C.             D. 

★☆☆练2：用数字组成没有重复数字的四位偶数有___________个（用数字作答）

★★☆练3：由数字组成的没有重复数字的位数，其中个位数字小于十位数字的数共有（  ）个

A.        B.        C.        D.

（3）相邻捆绑问题

★☆☆例1：现有甲、乙等五个人站在一排，若甲、乙两人相邻，则有________种不同的排法.

★☆☆练1：现有人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

★☆☆练2：在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施六个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有

A．种      B．种      C．种      D．种

（4）不相邻插空问题

★☆☆例1：现在有甲、乙等五人站成一排，若甲、乙两人不相邻，则有_______种不同排法.

★☆☆练1： 的节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

★☆☆练2：马路上亮着一排编号为的盏路灯，为节约用电，现要求把其中三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为__________.

★☆☆练3：现有位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端， 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是______________.

（5）定序问题

★★☆例1：现在有甲、乙等五人站成一排，若甲必须站在乙的左边，有_______种不同站法.

★★☆练1：名老师，名男生，名女生站成一排照相留念,若名女生身高都不等，从左到右女生必须由高到矮的顺序站，共有___________种站法．（最终结果用数字表示）

★★☆练2某工程队有项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这项工程的不同排法种数是           .

（6）相同元素排列问题

★★☆例1：有张卡片，分别写着数字“”，“”，“”，“”，“”，则这张卡片能组成__________个不同的位数.（用数字作答）

★★☆练1：现有个红球、个黄球、个白球，同色球不加以区分，将这个球排成一列有________________种不同的方法.（用数字作答）

★★☆例2：瓶啤酒从箱子里全部取出，一次只能拿瓶或者瓶，取出啤酒的方式有____种.

★★☆练1：从一楼上到二楼需要上级台阶，他每次只能上级或级，则小明从一楼上到二楼有_______种不同的方法.

（7）平均分组问题

★★☆例1：本不同的书平均分成组，有________种分组方案

★★☆练1：数学活动小组由名同学组成，现将名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为_________________.（用数字作答）

★★☆例2：将名司机和名售票员分配到辆不同的公交车上，每辆车上分别有名司机和名售票员，可能的分配方案种数是_________.（用数字作答）

★★☆练1：将位志愿者分成组，其中两个组各人，另两个组各人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 _______种(用数字作答).

（8）不同元素分配问题

★★☆例1：某校安排个班到个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方式有_____________种.（用数字作答）

★★☆练1：有名工人，分别要在明天、后天、大后天三天中选择一天休息，且每天至少有一人休息，则不同的安排方式有______________种.（用数字作答）

★★☆例2：名大学生到三家单位应聘，每名大学生至多被一家单位录用，则每家单位至少录用一名大学生的情况有

A.种          B.种          C.种          D.种

★★☆练1：将五种不同植物全部种到如图的六块试验田中，要求相邻（有公共边）的试验田不能种同一种植物，共有______________种种法.

（9）相同元素分配问题（挡板法）

★★☆例1：将个学生干部的培训指标分配给个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种.

★★☆练1：方程，则（1）这个方程的正整数解的组数为___________;（2）这个方程的自然数解的组数为_____________.

★★☆练2：现有个完全相同的球，要放入号、号、号三个盒子中，要求每个盒中的球数不小于盒号数，则有_____________种不同的放法.

（9）逆向思维的方法

★★☆例1：用这十个数字可以组成___________个没有重复数字的三位数.

★★☆练1：有个座位连成一排，现有人就坐，则恰有个空位相邻的不同坐法是__________．

【题型知识点总结】

1. 要读懂题意，明确解题的突破口，选择合理简洁的标准处理事件；在用计数原理解题时，如果遇到既有分类又有分步的问题，仅用一种原理不能解决，分析时一定要分清主次，选择其一作为主线.

2. 解题时要注意题目中条件的限定，比如范围、先后顺序等，再去确定所用的方法 

【课后练习】

【巩固练习】

★☆☆1：设东、西、南、北四面通往山顶的路各有、、、条路，只从一面上山，而从任意一面下山，走法最多时是

A．从东边上山    B．从西边上山    C．从南边上山    D．从北边上山

★☆☆2：某校教学大楼共有层，每层均有个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有

A．种    B．种    C．种    D．种

★★☆3：用红.黄.蓝三种颜色去涂图中标号为的个小正方形，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法有       种．

★★☆4： 古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序，用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成____________组.

★★☆5： 商店失窃，审讯名犯罪嫌疑人，他们当然不会承认是自己偷的,都说是其余人中的某一个人偷的，他们的供述结果互不相同,共有____________种不同的供述结果.

★★☆6：已知，求

★★☆7：若，则__________．

★★☆8：已知，那么__________．

★★☆9：下列等式中，错误的是

A．        B．        C．        D．

★★☆10：若，则

A．          B．          C．          D．

★★☆11：个男生与个女生站成一排照相，则男生和女生互相间隔排列的方法有

A．种        B．种        C．种        D．种

★★☆12：山城农业科学研究所将种不同型号的种子分别试种在块并成一排的试验田里，其中A,B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为

A．        B．        C．        D．

★★☆13：名学生和位老师站成一排合影，位老师不相邻的排法种数为

A．    B．    C．    D．

★★☆14：三名老师与四名学生排成一排照相，如果老师不相邻，则不同的排法有（   ）种

A．        B．        C．        D．

★★☆15：把盆不同的兰花和盆不同的玫瑰花摆放在右图图案中的所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为

A.种        B.种          C.种          D.种

★★☆16：个人站成一排，其中甲一定站在最左边，乙和丙必须相邻，一共有______种不同排法

★★☆17：从种不同的蔬菜品种中选出种，分别种植在不同土质的块土地上进行试验，则不同的种植方法的种数是_________. 

★★☆18：将甲、乙等位同学分别保送到A,B,C三所大学就读，则每所大学至少有位同学的不同保送方法有

A. 种          B.种          C.种          D.种

【拔高练习】

★★☆1： 所有的正约数有_______个

★★★2： 四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有

A. 种      B.种     C. 种     D.种

★★☆3： 某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通，现在回路不通，焊点脱落情况可能有

A.种        B.种       C.种       D.种

★★☆4将A,B,C,D,E五种不同的文件放入一排编号依次为的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件.若文件A,B必须放入相邻的抽屉内，文件C,D也必须放入相邻的抽屉内，则不同的放置方法有________________种.

★★★5有位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”“立定跳远”“肺活量”“握力”“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午个测试一个项目，且不重复.若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_______种.

★★☆5： 某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班天，若位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有_______

 ★★★6： 北京期间，有甲、乙、丙、丁、戊位国家部委领导人要去个分会场发言（每个分会场至少人），其中甲和乙要求不在同一分会场，甲和丙必须在同一分会场，则不同的安排方案共有______________种.（用数字作答）

★★★7：将1，2，3，4，5，这五个数字放在构成“”型线段的5个端点位置，要求下面的两个数字分别比和它相邻的上面两个数字大，这样的安排方法种数为　　．

★★★8：有5个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4个匣子，那么钥匙的放法有　　种．

★★★9：如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有　　种．

★★★10：四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是　　．（用数字表示）

★★★11：从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中，任取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：

（1）能组成多少个四位数？

（2）两个偶数字相邻的四位数有几个？

（3）两个偶数字不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）