九年级数学综合练习题.1doc

24. 某商场经营一批进价为元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量件之间有如下关系：

（2）猜测并确定日销售量（件）与日销售单价（元）之间的函数关系式，并求出该函数关系式；

（3）设经营此商品的日销售利润为元，求出与之间的函数关系式，并求出当为多少时，才能获得最大日销售利润。

25.如图11，△ABC是边长为2cm的等边三角形，点P,Q分别从A,C两点同时出发，做匀速直线运动，且它们的速度都为每秒1cm，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动。设PQ与直线AC相交于点D,做PEAC,垂足为E。

（1）当运动多长时间时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等？

（2）当点P在线段AB上运动时，线段DE的长是否改变？若不改变，求出线段DE的长;若改变，请说明理由。

                                                  图11

26．已知：抛物线经过点，顶点，

(1)求抛物线的解析式；

（2）直线与（1）中的抛物线交于点，是抛物线上一点，直线与直线分别交轴于两点，

①当点的横坐标为时，求证：点是线段的中点；

②当点为抛物线上任一点（与不重合）时，①中的结论是否仍成立呢？请说明理由。

24．解：（1）正确描点连线                      ………………1

   （2）∵图象为一条直线，∴是的一次函数………………2

      设，代入

      解得，∴………………4

     验证：代入均符合，∴………………5

（3）∵                        ………………6

                             …………………7

                                ……………………8

∵，∴开口向下

∴有最大值                           ……………………9

当时，最大为元。                ……………………10

答：当销售价为元时，利润最大为元。……………..11

25．（1）做PR∥BC,交BC于R,由题意可知PR=AP=CQ, ∴≌

     ∴。。。。。。。1

     设，则，∵，∴.。。。2

     ∴，.。。。。。3

∵,

 ∴，即，

当时，解得(舍去).。。。。4

当，方程无解。.。。。。。。5

∴当的长为时，的面积与的面积相等。.。。。。。6

   （2）当点运动时，的长不改变。。。。。7

证明如下：

    ∵≌，∴，即.。。。。。8

∵，∴，.。。。。9

 ∵，∴无论点运动到何处，都有

，.。。。。11

 ∴当点运动时，的长等于，即的长不改变。.。。。。。12

26．解：（1）∵顶点为，………………

       ∴代入，∴，∴

        ∴                          ………………

（2）①在中令，∴，

∴                              ………………

     在中令，∴

   求得,   ∴        ………………

同理求得,                            ………………

 ∵∴为中点。             ………………

② 设，设

  ∴，解得  …………………

                                …………………

   同理                         …………………

则到的距离均为，且，…………………

∴不重合，∴为的中点。…………………

二、

24．如图11，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在轴，轴的正半轴上，点从点出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是秒，将线段的中点绕点按顺时针方向旋转得点，点随点的运动而运动，连接。

（1）请用含的代数式表示出点的坐标；

（2）求为何值时，的面积最大，最大为多少？

（3）在点从向运动过程中，能否成为直角三角形？若能，求的值；若不能，请说明理由；

（4）请直接写出随着点的运动，点运动路线的长。

25两地相距360千米，出租车甲和面包车乙分别从两地同时出发，沿同一条高速公路相向而行，其中出租车甲到达B地后立即返回，面包车乙到达A地后不再出发，它们离各自出发地的距离（千米）与行驶时间（小时）的函数图像如图12，图13所示，根据图像解答下列问题。

（1）求线段对应的函数关系式；

（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了小时，求面包车乙的速度；

（3）在（2）的条件下，两车出发后能相遇两次吗？若能，求出相遇时间；若不能，说明理由。

26．如图14，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作如图所示的正方形，顶点在坐标原点的抛物线恰好经过点为抛物线上一动点。

（1）直接写出的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）求点到点的距离与点到轴的距离之差；

（4）当点位于何处时，的周长有最小值，并求出的周长的最小值。

24.解：（1）点P从点O出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，设的中点为将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向秘转得点

（2）

当时，S最大=2

（3）能够成为直角三角形

当时， 

即

解得：或

当时，此时点D在AB上， 

综上所述，当时，为直角三角形

（4）根据点D的运动路线与平行且相等

点运动路线的长为4

25.解：（1）设过点（3.360）（7.0）

——1分  解得——2分  ——3分

（2）设乙的速度为

——4分

当——6分

乙的速度为60km/h

（3）不能——7分

第一次相遇，甲从A到B，乙从B到A

（小时）

当甲到达B地时，所用时间为3小时——8分

此时，乙行驶3×60=180（km）——9分

甲返回的速度为90km/h——10分

（小时）——11分

而此时，乙早已到达A——12分

不能相遇两次

26.解：（1）——2分

（2）抛物线的顶点为坐标原点

设代入

——3分  ——4分——5分

（3）设

——6分

——7分

到轴的距离为

——8分

点P到点A的距离与点P到轴的距离之差为1

（4）过点B作轴的垂线，垂足为E，BE交扫物线于点F当P与点F重合时，此时的周长最小——9分

轴

——10分

——11分

的周长最小值为——12分

三、

24．一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图12中的折线表示从两车出发到快车到达乙地过程中，与之间的函数关系式。

（1）根据图中信息，求线段所在直线的函数解析式和甲乙两地之间距离；

（2）已知两车相遇时，快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到乙地所需时间为小时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若快车到达乙地后立即按原速返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请在图中画出快车从乙地返回甲地过程中，关于的函数大致图像。

25．如图13,14，是等腰直角三角形的斜边，是上不与重合的一个动点，是线段上的一个点，过且，分别与相交于点，

（1）观察与填空：

如图14，当运动到的中点位置时，与的大小关系式：                ；与的位置关系是                  ；与的位置关系是                     ；

与的大小关系是：              ，于是当时的中点时，成立。

（2）探索与证明：

如图13，当不是的中点时，是否任然成立？请加以证明。

26．已知，如图15，在中，，点，点分别位于的两条边上，

（1）当直线平分的周长时，设直线与的边围成的三角形面积为，求的最大值。

（2）是否存在同时平分的周长和面积的直线？说明理由。

24．解：（1）线段AB所在直线的函数解析式为：y＝kx＋b，

将（1.5，70）、（2，0）代入得：，解得：，----------3

所以线段AB所在直线的函数解析式为：y＝－140x＋280，-------------4

当x＝0时，

y＝280，所以甲乙两地之间的距离280千米．--------------5

（2）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，由题意得：

，解得：，------------8所以快车的速度为80千米/时，

所以．----------9

（3）如图所示．---------11

25．解：(1), ,  ,  --------------4

(2)当不是中点时，仍然成立，

  如图13，作, ,分别为垂足，

   ∵,    ∴

    ∵  ∴

  由已知及作法，四边形是矩形，所以-----------5

  在和中，

 ∵,   

  ∴---------6

   ∵-----7

 ∴

 ∴-----------8

  在和中，

  ∵

  ∴

   又

    ∴-------------9

  又

  ∴-------------10

  ∴--------------11

 即

∴--------------------12

26．（1）∵,   ∴

     ∴的周长为12，----------------1

     当如图1时，设，则

∴,     ∴--------------2

∴

 当时，最大，此时，与重合，∴舍去。---------------5

当如图2时，设，则

∴,     ∴

∴

 当时，最大为----------------7

当如图3时，设设，则

∴

     ∵，∴不存在。--------------9

综上，当,时，最大为。

（2）如图1时，令

            ， 

       当时，同时平分面积和周长。------------10

如图2中最大为，不能平分面积；------------11

如图3， 

       不符，舍去。----------------------12

四、

24.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A、B两点，AC是⊙M的直径，

过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为（0，），直线CD的函数解析式为y=－x＋5．

1求点D的坐标和BC的长；

2求点C的坐标和⊙M的半径；

⑶求证：CD是⊙M的切线．

25.某文具零售店准备从批发市场选购A、B两种文具，批发价A种为12元/件，B种为8元/件。若该店零售A、B两种文具的日销售量y（件）与零售价x（元/件）均成一次函数关系。（如图）

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该店计划这次选购A、B两种文具的数量共100件，所花资金不超过1000元，并希望全部售完获利不低于296元，若按A种文具日销售量4件和B种文具每件可获利2元计算，则该店这

次有哪几种进货方案？

（3）若A种文具的零售价比B种文具的零售价高2元/件，求两种文具每天的销售利润W（元）与A种文具零售价x（元/件）之间的函数关系式，并说明A、B两种文具零售价分别为多少时，每天销售的利润最大？

26.将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.

（1）请直接写出抛物线c2的表达式.

（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E.

①当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

24．解：（1）-------------2分

  (2)∵    ∴令

   ∴--------------3分

    ∴----------------------4分

  在

   ∴-----------------5分

    ∴半径为-----------------------------6分

（3）在    ----------7分

∴

∴----------------8分

∴--------------------------------9分

  ∴

 ∵--------------------------------10分

∴-------------------11分

25.解：（1）由图象知：当x=10时，y=10；当x=15时，y=5．

设y=kx+b，根据题意得： ，--------------1分

解得 ， k=-1，b=20 -------------------2分

∴y=-x+20．------------------------3分（2）当y=4时，得x=16，即A零售价为16元．--------------4分

设这次批发A种文具a件，则B文具是（100-a）件，由题意，得 ，

解得48≤a≤50，-------------------------------------5分

∵文具的数量为整数，

∴有三种进货方案，分别是①进A种48件，B种52件；②进A种49件，B种51件；③进A种50件，B种50件．---------------------------------7分

（3）w=（x-12）（-x+20）+（x-10）（-x+22），----------------8分

整理， ----------------------------10分

当x=16，w有最大值，即每天销售的利润最大．--------------------11分

26.解：（1）.     -------2分

（2）①令，得：，--------------3分

     则抛物线c1与轴的两个交点坐标为（-1,0），（1,0）.

∴A（-1-m，0），B（1-m，0）.

同理可得：D（-1+m，0），E（1+m，0）.----------------4分

当时，如图①，

，

∴.   -----------  6分

当时，如图②，，

 ∴.  -----------   8分

∴当或2时，B，D是线段AE的三等分点.  -----------------------9分

②存在.                

理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：.

即M，N关于原点O对称，  ∴. ------------10分

∵， ∴A，E关于原点O对称，   ∴，

∴四边形ANEM为平行四边形.    -------------------11分

要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足,

即，       ∴.----------------12分

∴当时，以点A，N，E，M

五、

24. 如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．

   （1）填空：PD的长为   ▲   用含t的代数式表示）；

   （2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；

   （3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；

   （4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为   ▲   .

25（1）.如图10在等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D为BC边上任意一点，分别以BD、CD为斜边向下做等腰直角△BDF、等腰直角△DCE，连接EF。探究AD、EF的关系，并证明。

图10

（2）如图11，当点D为AC边上任意一点时，其他条件不变，探究D、EF的关系，并证明。

        图11

26．如图①，抛物线经过点A（12，0）、B（－4，0）、C（0，－12）。顶点为M，过点A的直线y＝kx－4交y轴于点N。

（1）求该抛物线的函数关系式和对称轴；

（2）试判断△AMN的形状，并说明理由；

（3）将AN所在的直线l向上平移。平移后的直线l与x轴和y轴分别交于点D、E（如图②）。当直线l平移时（包括l与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

24.

（1）-------2分

（2）过C作CE⊥OA于E，可得△PCE∽△BPD-------4分

     求得CE=-------5分， PE=，OE=，

     因此C（，）-----6分

（3）当∠PCA=90°时，t=2-------8分

 当∠PAC=90°时，t=-------10分

（4）-------11分

25.（1）相等且垂直

  证明：延长ED交AB于G,证明三角形ADG全等于三角形EFD。

（1）相等且垂直

   证明：过点D做DH平行于BC,交AB于H .证明三角形BDH相似于三角形DFE.

26.解：（1）设抛物线的函数关系式为y＝ax2＋bx＋c.

∵抛物线过点C（0，－12），∴c＝－12. 

又∵它过点A（12，0）和点B（－4，0），

∴   解得

∴抛物线的函数关系式为y＝x2－2x－12. 

抛物线的对称轴为x＝4. 

（2）解法一：

∵在y＝kx－4中，当x＝0时，y＝－4.

∴y＝kx－4与y轴的交点N（0，－4）.

∵y＝x2－2x－12＝（x－4）2－16，

∴顶点M（4，－16）.  

∵AM2＝（12－4）2＋162＝320，

AN2＝122＋42＝160.

MN2＝42＋（16－4）2＝160.

∴AN2＋MN2＝160＋160＝320＝AM2.

AN＝MN.  

∴△AMN是等腰直角三角形.    

解法二：

过点M作MF⊥y轴于点F，则有

MF＝4，NF＝16－4＝12，OA＝12，ON＝4.

∴MF＝ON，NF＝OA. 

又∵∠AON＝∠MFN＝90°，

∴△AON≌△NFM.

∴∠MNF＝∠NAO，AN＝MN.

∵∠NAO＋∠ANO＝90°，

∴∠MNA＝90.

∴△AMN是等腰直角三角形.

（3）存在.点P的坐标分别为

（4，－16），（4，－8），（4，－3），（4，6）

（3）参考解答如下：

∵y＝kx－4过点A（12，0）.

∴k＝

直线l与y＝x－4平行，设直线l的解析式为y＝x＋b.

则它与x轴的交点D（－3b，0），与y轴交点E（0，b）.

∴OD＝3OE.

设对称轴与x轴的交点为K

（Ⅰ）以点E为直角顶点如图－1.

①根据题意，点M（4，－16）符合要求；

②过P作PQ⊥y轴.

当△PDE为等腰直角三角形时，

有Rt△ODE≌Rt△QEP.

∴OE＝PQ＝4，QE＝OD. 

∵在Rt△ODE中，OD＝3OE，

∴OD＝12，QE＝12.

∴OQ＝8.

∴点P的坐标为（4，－8）

（Ⅱ）以点D为直角顶点.

同理在图－2中得到P（4，6）.

在图－3中可得P（4，－3）.

综上所得：满足条件的P的坐标为

（4，－16），（4，－8），（4，－3），（4，6）.

六、

24.阅读下列材料，然后回答问题。　

在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如，，样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

＝（一）

＝（二）　

＝＝　（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化。

还可以用以下方法化简：

　＝（四）　　

（1)请用不同的方法化简。

　参照（三）式得＝______________________________________________；

　参照（四）式得＝_________________________________________。

　（2）化简：。

25.如图，AO=OB=50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A以2cm/s速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与O点组成的三角形面积为450cm2？

26.如图直线l的解析式为y＝－x+4,　它与x轴、y轴分相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0（1）求A、B两点的坐标；

（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

（3）以MN为对角线作矩形OMPN,记　△MPN和△OAB重合部分的面积为S2　；

　  当2　　在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2 为△OAB的面积的？　　　　　 　　　　　　　　

24．（1），    2

 ；    4

（2）原式=

    7分

=    9分

=．    -----------------------11

25.解：图2成立；图3不成立．    2分

        证明图2：

        过点作

        则

    再证

    有---------4

    ----------6

    由信息可知

        8

    图3不成立，的关系是：

        11

26.（1）当时，；当时，．；    2分

（2），；    4分

（3）①当时，易知点在的外面，则点的坐标为,

点的坐标满足即，

同理，则，    6分

所以

；    8分

②当时，，

解得两个都不合题意，舍去；    10分

当时，，解得，

综上得，当或时，为的面积的．    12分

七、

24.如图甲，Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动(如图乙)，直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为ycm2．求y与x之间的函数关系式．

25.在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.

（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形

  旋转的度数；

（3）设的周长为，在旋转正方形

的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.

26.已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.

(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； 

(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

五．24. 解：在Rt△PMN中，∵PM＝PN，∠P＝90°，

∴∠PMN＝∠PNM＝45°．延长AD分别交PM、PN于点G、H，过G作GF⊥MN于F，过H作HT⊥MN于T．

∵DC＝2cm，∴MF＝GF＝2cm，TN＝HT＝2cm．

∵MN＝8cm，

∴MT＝6cm，因此，矩形ABCD以每秒1cm的速度由开始向右移动到停止，和

Rt△PMN重叠部分的形状，可分为下列三种情况：

(1)当C点由M点运动到F点的过程中(0≤x≤2)，如图①所示，设CD与PM交于点E，则重叠部分图形是Rt△MCE，且MC＝EC＝x，

，即

图①

(2)当C点由F点运动到T点的过程中(2＜x≤6)，如图②所示，重叠部分图形是直角梯形MCDG．

图②

∵MC＝x，MF＝2，

∴FC＝DG＝x－2，且DC＝2，

(3)当C点由T点运动到N点的过程中(6＜x≤8)，如图③所示，设CD与PN交于点Q，则重叠部分图形是五边形MCQHG．

图③

∵MC＝x，∴CN＝CQ＝8－x，且DC＝2，

25. （1）解：∵点第一次落在直线上时停止旋转，

∴旋转了.

∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分

（2）解：∵∥，

∴,.

∴.∴.

又∵，∴.

又∵, ,∴.

∴.∴.

∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为

.……………………………………………8分

（3）答：值无变化.

           证明：延长交轴于点，则，

，

∴.

又∵，.

∴.

∴. 

又∵, ,

             ∴.∴.

∴，

∴.

∴在旋转正方形的过程中，值无变化. ……………12分

26. （1）.……………4分

（2）由题意得点与点′关于轴对称， ，

将′的坐标代入得，

（不合题意，舍去），.……………2分

，点到轴的距离为3.

， ，直线的解析式为，

它与轴的交点为点到轴的距离为.

.……………2分

（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，

把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，

得： 

（不舍题意，舍去），，

.……………2分

当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，

．

    与关于原点对称，，

将点坐标代入抛物线解析式得：，

（不合题意，舍去），，．……………2分

存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．