函数定义域与值域(学生版)

一：教学目标

（1）会求具体、抽象函数的定义域；

（2）会求函数的值域。

二：教学重难点

重点：求解函数的定义域、值域；

难点：函数值域的求解。

三：新课引入

复习引入：什么事函数三要素？什么是定义域？什么是值域？

四：新知呈现

知识点1：定义域

在实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的，要符合实际情形。

备注：只写出函数表达式，略去函数定义域，那么这个函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围。

常见求解定义域的方法：

①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；

②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④0次幂的底数不等于0。（）

⑤若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.

知识点2：复合函数

复合函数：如果y是u的函数，记为y=f（u），u又是x的函数，记为u=g（x），且g（x）值域与f（u）的定义域的交集非空，则通过u确定了y是x的函数y=f[g(x)]，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，y= f（u）叫做外层函数，u= g（x）叫做内层函数。

注意：（我们要能够把一个复合函数分解）

设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1（或g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11）为复合函数。

知识点3：函数值域常见求法

（1）：直接观察法

（2）：换元法

（3）：配方法

（4）：离析常数法

（5）：一 一映射法

（6）：判别式法

（7）：数型结合法

五：典型例题

考点1：常见函数求解定义域

例1：求下列函数的定义域

（1）         （2）

例2：求函数y＝＋的定义域

练习

考点2：抽象函数求解定义域

类型1：已知的定义域，求的定义域

例3：已知函数的定义域为，求的定义域．

练习:2：已知f(x)的定义域为[-1，1]，求f(2x-1)的定义域。

类型2：已知的定义域，求的定义域

例4:已知函数的定义域为，求函数的定义域．

练习3：已知f(2x-1)的定义域为（-1，5］，求函数f(x)的定义域。

类型3：运算型的抽象函数

例5:若的定义域为，求的定义域．

练习4：已知f(2x-5)的定义域为（-1，5］，求函数f(2-5x)的定义域。

考点3：定义域中含参问题

例6:已知函数的定义域为求实数的取值范围。

例7:已知函数的定义域是，求实数的取值范围。

考点4：函数值域

类型1：:直接观察法（对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。）

例8：求函数的值域。

练习5： 求函 数的 值域。

类型2：配方法（配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。）

例9：求函数的值域。

练习6：求函数的值域。

类型3： 换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。）

例10. 求函数的值域。

练习7：求函数y=2x-3+的值域。

类型4：分离变量法（对于形如y=的函数求值域，常采用离析常数，使分子不含x，从而求出函数的值域.）

例11：y=

例12：求函数的值域。

类型5：一一映射法（原理：因为 在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。）

  例13：求函数的值域。

类型6：根判别式法（对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:

例14： 求函数的值域。

例:15：求函数的值域。

类型7： 数 形 结 合 法（其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。）

 例16. 求函数的值域。

  例17. 求函数的值域。

练习7：求函数的值域。

六：课后习题

1.                  

③ 

2：已知f（x+1）的定义域为[1,3], 求f（x）与f（2-3x）的定义域

3. 若函数的定义域是R，求实数a 的取值范围

4.求函数 y=的值域。

5.