湖南沙郡中学2016届高考模拟卷(一)数学(理)试题 Word版含答案...

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（    ）

A．-4    B．-1    C．1    D．4

2.以下四个命题，正确的是（    ）

①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；

③在回归直线方程中，当变量每增加一个单位时，变量一定增加0.2单位；

④对于两分类变量与，求出其统计量，越小，我们认为“与有关系”的把握程度越小.

A．①④     B．②③    C．①③     D．②④

3.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的实数的取值范围是（     ）

A．   B．   C．   D． 

4.某几何体的正（主）视图和侧（左）视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形如图（2），其中，则该几何体的侧面积为（     ）

A．   B．80    C．96    D．128

5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，则（    ）

A．   B．   C．   D． 

6.长郡中学早上8点开始上课，若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早5分钟到校的概率为（     ）

A．    B．   C．   D． 

7.已知函数，函数，若存在实数使得关于的方程有且只有6个实数根，则这6个根的和为（    ）

A．   B．6    C．12    D． 

8.在菱形中，，，将折起到的位置，若三棱锥的外接球的体积为，则二面角的正弦值为（    ）

A．   B．   C．   D． 

9.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点，且，则双曲线的离心率为（     ）

A．   B．   C．    D． 

10.已知点，平面区域由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为8，则的最小值为（   ）

A．   B．2    C．4    D．8

11.已知数列满足，是其前项和，若，且，则的最小值为（    ）

A．   B．3    C．    D． 

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知集合，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为            .

14.在等差数列中，为数列的前项和，为数列的公差，若对任意，都有，且，则的取值范围为            .

15.设椭圆与函数的图象相交于两点，若点在椭圆上，且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是            .

16.已知（，且）可以得到几种重要的变式，如：，将赋给，就得到，…，进一步能得到：

.

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：

            .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17. （本小题满分12分）

已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）在中，内角的对边为，已知，，求的面积.

18. （本小题满分12分）

《环境空气质量指标（）技术规定（试行）》如表1：

表1：空气质量指标分组表

表2是长沙市某气象观测点在某连续4天里的记录，指数与当天的空气水平可见度的情况.

表2：

表3是某气象观测点记录的长沙市2016年1月1日至1月30日指数频数统计表.

表3：

（1）设，根据表2的数据，求出关于的回归方程；

（2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：指数不高于200时，洗车店平均每天亏损约200元；指数在200至400时，洗车店平均每天收入约400元；指数大于400时，洗车店平均每天收入约700元.

（ⅰ）计算小李的洗车店在当年1月份每天收入的数学期望.

（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率.

（用最小二乘法求线性回归方程系数公式，.）

19. （本小题满分12分）

如图所示，异面直线互相垂直，，，，，，截面分别与相交于点，且平面，平面.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且.

（1）求抛物线和圆的方程；

（2）过点作倾斜角为的直线，且直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值.

21. （本小题满分12分）

已知函数，，当时，

（1）求证：；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，弦交于，，，.

（1）求圆的半径；

（2）求线段的长.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（是参数）.

（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

关于的不等式.

（1）当时，解此不等式；

（2）设函数，当为何值时，恒成立？

参

一、选择题

DDACD   ACCCC  DB

可求，，即，

代入双曲线可求，则.

法二：由定义，，在中，，

化简求得，则.

法三：由双曲线定义得，，设切点为，在中，，过作垂直直线于点，则，，

∴，

∴，

即，则.

10．【解析】由，知，

设与的夹角为，

则，所以，

又由题意平面区域的面积，

解得，

∴，∴. 选C.

11．【解析】由已知：，

则：，，，，…，

，，

则：，

则：，

∴，选D.

12．【解析】因为是方程的根，且是重根，则，

即得，由，则，

又由，则，，

则，

令，

则，当时，

，所以在上是减函数，

而，当时，，

所以在上是减函数，选择B.

二、填空题

13.    14.    15.    16. 

【解析】由，得，，

所以

.

三、解答题

17. 

令，

所以的单调递增区间为.

（2）由，，又，，

因此，解得：.

由正弦定理：，得，

又由，可得，

故.

18．【解析】：（1），，

，，

所以，，

所以关于的回归方程是.

（2）由表3知不高于200的频率为0.1，指数在200至400的频率为0.2，指数大于400的频率为0.7.

设“洗车店每天亏损约200元”为事件A，“洗车店每天收入约400元”为事件B，“洗车店每天收入约700元”为事件C，

则，，，

（ⅰ）设洗车店每天收入为元，则的分布列为

则的数学期望为（元）.

（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200元包含五种情况”，

则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率：

.

19．【解析】（1）∵平面，

又∵平面，平面平面，

∴，

同理，

∵，

∴，

∴，

同理，

∴，

同理，

又∵是平面内的两相交直线，

∴平面.

（2）由（1）及异面直线互相垂直知，直线两两垂直，

作，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，

∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，

∵，∴，得：，即，

又∵轴平面，∴平面的一个法向量可设为，

∴，得，即，

设二面角的大小为，那么，

∴，∴二面角的正弦值为.

20．【解析】（1）因为抛物线的焦点为，

所以，解得，所以抛物线的方程为.

由抛物线和圆的对称性，可设圆，

∵，∴是等腰直角三角形，则，

∴，代入抛物线方程有.

由题可知在处圆和抛物线相切，对抛物线求导得，

所以抛物线在点处切线的斜率为.

由，知，所以，代入，解得.

所以圆的方程为.

（2）设直线的方程为，且，

圆心到直线的距离为，

∴，

由，得，设，

则，由抛物线定义知，，

所以，

设，因为，所以，

所以，

所以当时，即时，有最小值.

21.要证时，，只需证明.

记，则，

当时，，因此在上是增函数，故，

所以.

要证时，，只需证明，

记，则，

当时，，因此在上是增函数，故，

所以，.

综上，，.

（2）（解法一）

.

设，则，

记，则，

当时，，于是在上是减函数，

从而当时，，故在上是减函数，于是，

从而，

所以，当时，在上恒成立.

下面证明，当时，在上不恒成立，

.

记，则，

当时，，故在上是减函数.

于是在上的值域为.

因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.

综上，实数的取值范围是.

（解法二）

先证当时，.

记，则，

记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此.

所以当时，.

同理可证，当时，.

综上，当时，.

因为当时，

，

所以当时，在上恒成立.

下面证明，当时，在上不恒成立，因为

.

所以存在（例如取和中的较小值）满足.

即在上不恒成立.

综上，实数的取值范围是.

22．【解析】（1）由相交弦定理知，

∴.

（2）设，连，则为直角三角形，且知.

在中，，

在中，，

由，

得，即.

∴.

23．【解析】（1）由，得.

（2）将代入圆的方程得，

化简得.

设两点对应的参数分别为，则，

∴，

∴，，或.

24．【解析】（1）当时，原不等式可变为，

可得其解集为.

（2）设，

则由对数定义及绝对值的几何意义知，

因在上为增函数，

则，当，时，，

故只需即可，

即时，恒成立.