中山第4版概率论习题解答 第二章

2.甲乙两名篮球队员的轮流投篮，直至某人投中篮筐为止。今让甲先投，果甲投中的概率为，乙为。求各队员投篮次数的概率分布。

解：

对甲而言：  

            =1     甲（未中）乙（中）或甲（中）

            ……………….

 =k  意味着

或者

所以

其中、2、3…..

对乙而言：

其中、2、3…..

5.设某个动物生下r个蛋的概率是p()=。若每一个蛋能发育成动物的概率是p,且各个蛋能否发育成小动物是彼此相互的。证明恰有k个后代的概率分布是具有参数为的泊松分布。

证明;

令表示恰有k个后代，k个后代是由于r个蛋孵化出来的，rk.

那么据全概率公式得

        P(=k)= 

=

              =e

                  =e

                  =e

                  =e

                  =e

                  =

      即函数为的泊松分布。

6.设与相互，并具有共同的几何分布

（1）证明：。

（2）求的分布。

（3）求与的联合分布。

（1）证明：

(2)

=

=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ

其中

Ⅱ=Ⅰ

Ⅲ=

∴

=

=

（3）

即

∴

 这不可能∴

故   

8．任意大学生，他的生日在一年中任一天的概率均为1/365,若某一学校有730名大学生，问有4名大学生的生日为元旦的概率是多少？

解：

9．某车间有200台同一型号的车床，由于种种原因，每台车床时常需要停车，假定各台车床的停车或开动相互的，且每台车床有60%的时间开动，开动时需要消耗的电能为E.问至少要供给这个车间多少电能，才能以99.9%的概率保证这个车间不致因为供电不足而影响生产。

解：

12.设每天到达炼油厂的油船数服从＝2的泊松分布.现港口的设备在一天内只能为三艘油船服务.如果在一天内有多于三艘油船到达，超过三艘的油船必须调往其他港口.求：

（1）在一个给定的日子，必须调油船离开的概率.

（2）为90%的日子里能容许安排所有的油船，现在的设备应增至几台？（设一台设备，只能给一艘船服务.）

（3）每天最可能到达的油船数是几艘？并求其概率.

解：

设油厂的油船数为

（1）必须调油船离开的概率

（2）设设备应增至台

则应满足

查表知当＝4时, 

故设备应增至4台

   （3）最可能到达的油船数是2艘；

14. . 密度函数为

（1）系数a

（2）F(x) f(x)图形

（3）求P（） 

解：(1)由规范性：

=2a=1

a=

（2）

F(x)求法如下F：

, 

时， +

               ==sinx+

, F(x)=1

15.问为何值时，是一随机变量的分布函数（设当时， ）?

解：据分布函数的性质

          所以，A=1

17.设具有下述联合分布函数，问与是否相互？

（2）

解：

（2）

两者不

20．设二维随机变量的密度函数为

求：（1）的边沿分布密度函数；

   （2）的条件分布密度函数；

（3）;及.

解：

（1）边沿密度函数

（2）条件密度函数

对于给定X=x，

==

对于，给定Y=y，

（3）==

     =

=

21.设二维随机变量的密度函数是

求，的边沿分布密度函数。

解：题目中密度函数应该指时；否则等于0. 

当时，

当时，   令

= = 

当时，

当

23.（1）设是上的均匀分布，求的分布函数；

（2）设是上的均匀分布，求的分布函数。

解：

设的分布函数为，的分布函数为；

（1）

时，

时，

时，

故

（2）时

时，

时，

故

25 .设随机变量具有严格单调上升连续分布函数.求随机变量的分布函数。

解：设的分布函数为，那么

由于是严格单调连续的函数，所以具有同样单调性的反函数记作。

又由于为分布函数，从而。

当时， 

  当时，

当时，

的分布函数为：

26.设随机变量，其中c为任意常数，而是任意的随机变量。证明：是与相互的。

证明：依题意可知：的分布函数为

设的分布函数为，则的联合分布函数

时，

时，

        任何时刻有

            与相互

27.对事件定义随机变量

试证：事件相互的充要条件是相互。

证明：

若相互，那么对相互；

不妨设为，下证相互；

注意到：，即不发生，，即发生，从而

由的任意性知，任意个事件之间是相互的，即事件之间相互。

相互，那么对任意的，随机事件相互，。

令，表达式中不妨设中个为1，为0，令前个为1，后个为0；则

即相互，由的任意性知，事件之间相互。

28.求证：如果F(x)是分布函数，则对任何h≠0，函数

也是分布函数。

证明：①

         ②

③左连续的证明：因为F(x)左连续，任给>0，存在使得当时，就有 F(x)-F(z)<.于是：

  由 的单调不降性，当时，均有。即左连续。对于完全类似。

29.求证：如果随机变量，同分布：

则

(1) 与相互。

（2）与也是相互的

证明：容易知道的联合密度函数为

(1) 

再考虑的联合分布，为此做变换

于是所以

所以与相互。

（2）由（1）知

考虑的联合密度函数，为此做变换

此时，所以

故

从而即与也是相互的。

证毕。

30.如果与相互，均服从N，则与相互。

证明：   

令  

，

则  

从而可以做变换

于是

所以与的联合分布为

 从而：

所以与相互。

35.设之联合密度为

试求：（1）与的一维密度；

     （2）证明与不相互.

      (3)求与的一维密度;

      (4)证明: 与为相互.

      (5)试求.

解：

（1）

（2）由于当|x|,|y|<1时，

      故与不相.

(3)由于

(4)由于

   故与为相互.

(5)

由于与相互，故与也相互，从而，得到

36.设相互，且具有下述分布，求的分布

（1）()服从正态分布：

=

（2）都服从二项分布：

         =()m()2-m    (m=0,1,2)

         =)n()2-n     (n=0,1,2)

(3) 内服从均匀？分布，分布

=

（4）分别为与内的均匀分布；

（5）服从N，为上的均匀分布；

（6），的密度函数分别为

（7）设随机变量，相互，在上均匀分布，有分布函数（y）。

解：（1）根据卷积公式：

    即服从正态N

这里，需要牢记

（2）

即P=

（3）根据卷积公式

只有当时，。此时或者按照课本的方法讨论两个区间的关系。或者如下图

当时，

当时   

当时   

其他情况下，

=

（4）    

类似与（3）得到：

（5）    

根据卷积公式：

所以

（6）

所以

（7） 此时仅有分布函数，无法使用卷积公式。

在区间上的小区间上：

在区间之外，

从而利用微元法有：

37.设连续型随机变量与相互，分别对下面的情况求及-的分布函数：

（1）分别有密度函数

（2）均匀分布与（-a，a）内;

（3）服从N

解：(1) ,连续型，故均有密度函数。

分别求和-的密度函数。（当然也可以考虑两者的联合密度函数，

再求各自的密度函数）

对于，令   作     

==

 所以有

 ；

对于-，令   作   

所以

或者   

 所以 

综上所述，

或者

（2）、的密度函数

==

           =     

=

           = 

           =         

（3）=

==

           ==

  ==

           ==

即 

39.()正态分布， ，求的分布。

   解：=

             =

        据37题2结论  

                   =

                   =

                   =

                   =

40．变量相互,分别对下面两种情况,求的分布函数；

 (1) 皆服从N(0,1)分布；

 (2) 皆服从(0,a)上的均匀分布。

解： 

(1) 

(2)

当时， =

  当时，

Other，

42.设服从泊松分布，且满足

求与.

解：

由于，则=1.3

故