一元二次方程根与系数的关系优质课教学设计

【教学目标】

一、知识与技能

掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和以及两根之积，并会解一些简单的问题。

二、过程与方法

经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。

三、情感态度

通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。

【教学重难点】

1．重点：根与系数关系及运用。

2．难点：定理的发现及运用。

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0的根的值是由a、b、c来决定的。除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？

教学说明：由问题引入新课，提高学生学习兴趣。

二、思考探究，获取新知

（一）探究规律

先填空，再找规律：

（二）若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，你能猜想x1+x2=______，x1·x2=______

（三）你能证明你的猜想吗？

当Δ≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根，分别为：

，

归纳结论：当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。即：

这种关系称为韦达定理。

三、运用新知，深化理解

（一）教材相关的例1、例2。

（二）利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根。

分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求。

（三）已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。

分析：根据一元二次方程的两根与系数之间的关系可求。

解：设方程的另一个根是x1，那么2x1=-6/5

∴x1=-3/5

又x1+2=-k/5

∴k=-7

（四）已知一元二次方程x2-6x-5=0的两根为a、b，则1/a+1/b的值是多少？

解：∵a，b是一元二次方程的两根

∴a+b=6，ab=-5，

（五）已知方程x2-4x-1=0有两个实数根x1，x2，要求不解方程，求值：

1．(x1+1)(x2+1)

2．x2x1+x1x2

解：x1+x2=-b/a=4；x1x2=c/a=-1，

（1）(x1+1)(x2+1)

=x1x2+x1+x2+1，

=-1+4+1

=4

（六）已知x，y均为实数，且满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0，求x/y+y/x的值。

解：当x≠y时，

∵x、y满足关系式x2-2x-6=0，y2-2y-6=0

∴x、y是z2-2z-6=0的两根

∴x+y=2，xy=-6

当x，y的值相等时，原式=2

故答案：-8/3或2

四、师生互动、课堂小结

小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。

【作业布置】

教材“习题2.4”中第1、2、3题。

【教学反思】

此节课在研究方程的根与系数关系时，先从具体例子观察、归纳其规律，并且先从二次项系数是1的方程入手，然后提出二次项系数不是1的，由此，猜想一般的一元二次方程的根与系数关系，最后对此猜想的正确性做出证明。这个全过程对培养学生正确的思考方法很有价值。