初中数学竞赛辅导资料(52)换元法

换元法

甲内容提要

1.　换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.

2.　换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.

例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.

3.　换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.

4.　解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.

5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.

例如：一元四次的倒数方程ax4+bx3+cx2+bx+a=0.

两边都除以x2,得a(x2+)+b(x+)+c=0.

设x+=y,  那么x2+= y2－2,   

原方程可化为ay2+by+c－2=0.

对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0， 必有一个根是－1.

原方程可化为　　(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.

ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ，这是四次倒数方程.

形如　ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是： 

与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.

两边都除以x2, 可化为a(x2+)－b(x－)+c=0.

设x－=y, 则x2+=y2+2,  　

原方程可化为 ay2－by+c+2=0.

乙例题

例1.　解方程=x.

解：设=y,  那么y2=2x+2.

原方程化为：　y－y2=0 .

解得  y=0；或y=2.

当y=0时，　 =0 (无解) 

当y=2时，　 =2， 

解得，x=.　　检验（略）.

  例2.　解方程：x4+(x－4)4=626.

解：（用平均值　代换，可化为双二次方程.）

设 y= x－2 ，则x=y+2.　　　　

原方程化为　　(y+2)4+(y－2)4=626.  

［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0

整理，得　　y4+24y2－297=0. 　　(这是关于y的双二次方程).

(y2+33)(y2－9)=0.  　 

当y2+33=0时，　无实根 ； 　　

当y2－9=0时，　y=±3.

即x－2=±3，   　　

∴x=5；或x=－1.

例3.　解方程：2x4+3x3－16x2+3x+2=0 .    

解：∵这是个倒数方程，且知x≠0，

两边除以x2,并整理　得2(x2+)+3(x+)－16=0.  

　　　　　　　　设x+=y,　则x2+=y2－2.

原方程化为　2y2+3y－20=0.   

解得　y=－4；或y=.

由y=－4得　x=－2+；或x=－2－.

由y=2.5得　　x=2；或x=.

例4　解方程组

解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）

 设x+y=u, 　xy=v.  原方程组化为：

.  解得；　　或.

即　；　　或  .

解得：；或；或；或.

丙练习52    

解下列方程和方程组：（1到15题）：

1. 35－2x.

2.　(16x2－9)2+(16x2－9)(9x2－16)+(9x2－16)2=(25x2－25)2.

3.　(2x+7)4+(2x+3)4=32 .　　　　　　　　　4.　(2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.

5.　(2)4+(2)4=16.

6.　 =.  　　　　　7.　2x4－3x3－x2－3x+2=0.

8.　 　　　　　 　　9.　.

10.　.

11.　(6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.

12.　.   　　　　　　　13.　.

14..　　　　　　 15　.

16. 分解因式：　①(x+y－2xy)(x+y－2)+(1－xy)2；　        ②a4+b4+(a+b)4 . 

17. 已知：a+2=b－2=c×2=d÷2,  且a+b+c+d=19.　　　

则a=___,b= ____,c=_____,d=____　　　　　　(19年泉州市初二数学双基赛题)

18. ［a］表示不大于a的最大整数，如［］=1，［－］=－2，

那么 方程 ［3x+1］=2x－的所有根的和是_____.(1987年全国初中数赛题)

参

练习52

1.　　 2. ±±   　　　3. －　　　 4. 2,－,　 5. 

6. 1  　　　 7.,2  　　　　 8. 

9.　　    

10.  7,－1  　　 11.－,－  　　　12. 　　　 13. 

14.　 　　　15. x=

16.①设x+y=a,xy=b  ②设a2+b2=x,ab=y

17.设原式=k,  k=442 　　　　 18. –2可设2x－=t, x=t+代入[3x+1]