数学中考专题锐角三角函数

A组　基础题组

一、选择题

1.(2018云南中考)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为(　　)

A.3    B.    C.    D. 

2.(2017唐山玉田模拟)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图所示,则下列关系或说法正确的是(　　)

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan 10°

C.AC=1.2tan 10°米

D.AB=米

3.(2017邯郸模拟)计算tan 60°+|-3sin 30°|-cos245°的结果等于(　　)

A.1    B.2    C.3    D.4

4.(2018张家口一模)如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°,堤高BC=5 m,则坡面AB的长度是(　　)

A.10 m    B.10 m    C.15 m    D.5 m

5.(2018唐山模拟)如图,某人从O点沿北偏东30°的方向走了20米到达A点,B在O点的正东方,且在A的正南方,则此时AB间的距离是(　　)

A.10米    B.10米    C.10米    D.米

6.(2017聊城中考)在Rt△ABC中,cos A=,那么sin A的值是(　　)

A.    B.    C.    D.

二、填空题

7.(2018河北模拟)已知锐角α满足sin(α+20°)=1,则锐角α的度数为　　　　. 

8.(2017邯郸模拟)如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cos A=　　　　. 

9.(2018邯郸模拟)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则sin B的值是　　　　. 

10.(2017张家口一模)如图,在建筑平台CD的顶部C处,测得大树AB的顶部A的仰角为45°,测得大树AB的底部B的俯角为30°,已知平台CD的高度为5 m,则大树的高度为　　　　m(结果保留根号). 

三、解答题

11.(2017石家庄一模)如图,某中学数学课外学习小组想测量教学楼DC的高度,组员小方在A处仰望教学楼顶端D处,测得∠DAC=α,小方接着向教学楼方向前进到B处,测得∠DBC=2α,已知∠DCA=90°,AC=24 m,tan α=.

(1)求教学楼CD的高度;

(2)求cos∠DBC的值.

12.(2018沧州模拟)如图,ABCD为正方形,E为BC上一点,将正方形折叠,使A点与E点重合,折痕为MN,若tan∠AEN=,CD+CE=10.

(1)求△ANE的面积;

(2)求sin∠ENB的值.

B组　提升题组

一、选择题

1.(2016唐山路北模拟)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,则tan∠ABC的值为(　　)

A.1    B.

C.    D.

2.(2018衡水模拟)如图所示的是一垂钓示意图,其中钓鱼竿AC长6 m,露在水面上的鱼线BC长3 m,垂钓者想看鱼上钓的情况,把鱼竿AC转动到AC'的位置,此时露在水面上的鱼线B'C'为3 cm,鱼竿转过的角度是(　　)

A.60°    B.45°    C.15°    D.90°

3.在△ABC中,AB=12,AC=13,cos B=,则BC边的长为(　　)

A.7         B.8

C.8或17    D.7或17

二、填空题

4.(2017唐山玉田一模)如图,长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能,准备重新建造楼梯,使其倾斜角∠ACD为45°,则调整后的楼梯AC的长为　　　　. 

5.(2018廊坊广阳二模)某节目组预设计一个新游戏:如图所示,奔跑路线A、B、C、D四地,如图A、B、C三地在同一直线上,D在A的北偏东30°方向,在C的北偏西45°方向,C在A北偏东75°方向,且BD=BC=40 m,从A地到D地的距离是　　　　m. 

三、解答题

6.如图,平行四边形ABCD在平面直角坐标系中,AD=6.若OA,OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,且OA>OB.

(1)求sin∠ABC的值;

(2)若E为x轴上的点,且S△AOE=,求出点E的坐标,并判断△AOE与△DAO是否相似.请说明理由.

答案精解精析

A组　基础题组

一、选择题

1.A　

2.B　根据坡度的定义知,∠A的正切即为斜坡AB的坡度,即斜坡AB的坡度是tan 10°=,故B正确.

3.D　tan 60°+|-3sin 30°|-cos245°=×+3×-=3+-=4.

4.A　5.B　

6.B　∵Rt△ABC中,cos A=,∴AC=AB,则BC==AB,∴sin A==.

二、填空题

7.25°　8.　9.

10.答案　5+5

解析　作CE⊥AB于点E,在Rt△BCE中,BE=CD=5 m,CE==5 m,在Rt△ACE中,AE=CE·tan 45°=5 m,∴AB=BE+AE=(5+5)m.

三、解答题

11.解析　(1)∵∠DCA=90°,AC=24 m,tan α=,

∴在Rt△ACD中,tan α=,即=,

∴CD=12 m,

答:教学楼CD的高度为12 m.

(2)∵∠DAC=α,∠DBC=2α,∴∠ADB=∠DAB=α,

∴AB=BD.

设BC=x m,则BD=AB=(24-x)m,

在Rt△BCD中,根据勾股定理,得BC2+CD2=BD2,即x2+122=(24-x)2,

解得x=9.∴BC=9 m,

∴BD=24-9=15(m),

∴cos∠DBC===.

12.解析　(1)由折叠可知:MN为AE的垂直平分线,∴AN=EN,AG=EG.

∴∠EAN=∠AEN(等边对等角),

∴tan∠AEN=tan∠EAN=.

∴设BE=a,AB=3a,则CE=2a,

∵CD+CE=10,∴3a+2a=10,解得a=2.

∴BE=2,AB=6,CE=4.

根据勾股定理,得AE===2.

∴AG=EG=AE=×2=.

又∵=,∴NG=.

∴AN=

==.

∴AN=NE=.

∴S△ANE=××2=.

(2)sin ∠ENB===.

B组　提升题组

一、选择题

1.D　作AD⊥BC,垂足为D,则BD=4,AD=3,

∴在Rt△ABD中,tan∠ABC==.

2.C　在Rt△ABC中,sin∠CAB===,解得∠CAB=45°.

在Rt△AB'C'中,sin∠C'AB'===,解得∠C'AB'=60°.

∴∠C'AC=∠C'AB'-∠CAB =60°-45°=15°,即鱼竿转过的角度是15°.故选C.

3.D　∵cos B=,∴∠B=45°,过A作AD⊥BC交BC或其延长线于点D.当△ABC为钝角三角形时,如图1,∵AB=12,∠B=45°,∴AD=BD=AB=12,∵AC=13,∴由勾股定理得CD=5,∴BC=BD-CD=12-5=7;当△ABC为锐角三角形时,如图2,同理得CD=5,BC=BD+CD=12+5=17.故选D.

二、填空题

4.答案　2 m

解析　∵在Rt△ABD中,∠D=90°,∠ABD=60°,AB=4 m,∴BD=2 m,AD=2 m.在Rt△ACD中,∠D=90°,∠C=45°,∴sin C=,∴AC==2 m.

5.答案　20

解析　过点D作DE⊥BC于E,如图所示,则∠DAC=75°-30°=45°,∠BCD=180°-75°-45°=60°.

∴△BCD为等边三角形,∵BC=BD=40 m,∴DE=BD=20 m.

在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=45°,∴∠ADE=45°,∴AE=DE=20 m,AD==20 m.故答案为20.

三、解答题

6.解析　(1)解方程:x2-7x+12=0,

解得x1=3,x2=4.

∵OA>OB,

∴OA=4,OB=3.

根据勾股定理,得AB===5.

∴在Rt△OAB中,sin∠ABC==.

(2)∵S△AOE=,∴OA·OE=.

解得OE=.

∴点E或.

△AOE与△DAO相似.理由如下:

∵=,=.

∴=.

∵∠AOE=∠DAO=90°,

∴△AOE∽△DAO.