电磁场与微波解题集1-4章答案 毕刚

1-1 已知矢量，求。

解：-41。

1-2 已知矢量，求和的大小；和的单位矢量；和之间的夹角；在上的投影。

解：

1-3 证明：若和且，则。

证明：因为，所以。又因，所以，因此。

1-4 证明：如果和在同一平面上，则。

证明：因为，在同平面，所以，因此，故。。

1-5 求点指向的单位矢量和两点间的距离。

解：。

1-7 求标量场在点上的值。理解矢量场和标量场之间的区别。

解： ，矢量场有方向，标量场无方向。

1-8 求函数的值面方程。

1-9 求与矢量都正交的单位矢量。

解：设单位矢量,则由，得。

1-10 将直角坐标系中的矢量场分别用圆柱坐标系和球坐标系表示。

解：。

1-11 将圆柱坐标系中的矢量场,别用直角坐标系和球坐标系表示。

解：。 

1-12 将球坐标系中的矢量场,别用直角坐标系和圆坐标系表示。

解：。

1-13 求标量场的梯度及在点沿方向的方向导数。

解：，，方向导数。

1-14 求的梯度。

解：。

1-15 求的梯度。

解：。

1-16 在球坐标系中，已知，和为常数，求矢量场。

解：。5

1-17 在圆柱坐标系中，矢量场，其中k为常数，证明矢量对任意闭合曲线l的环量积分为0，即。

证明：，由斯托克斯定理，得 。

1-18 计算下面矢量的散度：

直角坐标系，并求其在处的值；

圆柱坐标系；

球坐标系，

解：；

；

。

1-19 在由围成的圆柱形区域中，求矢量的散度，并验证高斯散度定理。

解：

证明：由于，

 ，故，因此高斯散度定理成立。

1-20 已知矢量，求求对中心立方体的积分；求对立方体表面的通量，并验证散度定理。

解：；

    ；

    ，验证 因为，所以高斯散度定理成立。

1-21 求下列函数的：

；

解：

。

1-22 求下列矢量场的旋度：

；

；

。

解：；

；

。

1-23 求矢量场沿圆周的线积分。再求对此圆周所围面积的面积分，并验证斯托克斯定理。

解：，

，

，因此，故斯托克斯定理成立。

1-24 已知矢量场，计算。

解：。

1-25 证明矢量场既是无散场又是无旋场。

证明：，所以既是无散场又是无旋场。

1-26 证明。

证明：因为 右边=，所以。

1-27 已知矢量分别为，求

哪个矢量可以由一个标量的梯度表示；

哪个矢量可以由一个矢量的旋度表示；

    它们的源分布。

解：

可以由一个标量的梯度表示；

可以由一个矢量的旋度表示；

有散场无旋场，无散场由旋场。

第二章

2-1 半径为的无限薄带电圆盘上面电荷密度为，为圆盘上任意点到圆心的距离，求圆盘上的总电量。

解：。

2-2 半径为的球体内有均匀分布的电荷，其总电量为，若该球以角速度绕其自身的任意中轴旋转，求球体内的体电流密度。

解：。

2-3 无限薄的导电面放置于平面内的的区域中，流向方向的电流按正弦规律分布于该面内，在和处线电流密度为，在处线电流密度为最大，求的表达式。

解：。

2-4 三根长度为、电荷均匀分布、线密度分别为，和的线电荷构成的等边三角形，设，计算三角形中心处的电场。

解：，

由电荷密度关系可知：

，

，

。

2-5 两无限长的同轴圆柱壳面，半径为和，内外导体上均匀分布电荷，密度分别为，，求，，时各点的电场及两导体间的电压。

解：当时，；当时，，。

2-6 半径为的球中充满密度为的电荷，已知电场为，球电荷密度。

解：当时，；

当时，。

2-7 半径为和的两个同心导体球面，球面上电荷分布均匀，密度分别、，应用高斯定理求任意点的电场及两导体间的电压。

解：，

；

，

，，

，，

，

。

2-8 一个半径为的球体内充满密度为的电荷。计算球内和球外任一点的电场强度和电位。

解：当时，，；

当时，。

2-9 一个半径为的薄球体壳内表面涂履了一层薄的绝缘膜，球内充满总电量为的电荷，球壳上又冲了电量为的电荷。已知内部的电场为，计算：球内电荷分布；球的外表面电荷分布；球壳的电位；球心的电位。

解：

即，得

；𝜕𝜕

，

；

；

。

2-10 电场中有一个半径为的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位为，求圆柱内外的电场强度；这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷吗？试求之。

解：

当，

，

；

圆柱体是由导体材料制成的，表面上又电荷

。

2-11 求一点电荷放在无限大、均匀、线性、各向异性电介质中，介质相对介电常数为。求电介质中的，，。又问，，是否均匀？其极化电荷体密度如何？

解：，

，

，

。

2-12 证明在均匀、线性、各向同性电介质的任何一点上，若自由电荷，则束缚电荷。

证明：。

2-13 半径分别为和的同心导体球壳之分布着密度为的自由电荷，求电场和电位分布。如果外导体球壳接地，问电位电场有无变化？

解：，

，

，

接地前，无穷处电位为零

。

2-14 电场中有一半径为的介质求，已知，，，验证球表面的边界条件，并计算球表面的极化电荷密度。

解：边界条件：，

，

，

。

2-15 设平面是两种介质分界面，在的区域内，而在的区域内，。如果已知，求，和。

解：，

，

，

。

2-16 平行板电容器的长和宽分别为和，板间距离为。电容器的一半厚度用电介质填充。板外加电压，求板上的自由电荷面密度、极化电荷密度和电容器的电容量。

解：，

。

2-17 一点电荷放在成导体角内的点，求出所有镜像电荷的位置和大小；求点的电位。

解：，，

，，，，。

2-18 两靠近地面的带等量异号电荷的导体小球，球心在垂直地面的一直线上，两球心相距，下面球的球心与地面相距，两球半径分别为和，设，比，小得多，即带电小球在产生场时近似看成点电荷，求两小球的电容。

解：。

2-19 接地导体球，半径为，其外点处有一点电荷，点与球心距离为。试求点可见的那部分球面上的感应电荷与剩余部分球面上的感应电荷之比。

解：求导体上任一点的电位中，且

由余弦定理，得

，

，

对球外任一点电位为

，

，

导体球面内的感应电荷面密度

，

感应电荷之比

。

2-20 两个偏心球面，半径分别为和，球心分别为和，其偏心距，两球面之间分布着均匀的体密度为的自由电荷。求小球面内的场分布。若换成非均匀的，问内的场还能借助高斯通量定理求解吗？

解：设大球内的电荷分布为，小球体电荷为，

对于大球，由高斯通量定理，得

。

对于小球，由高斯通量定理，得

。

。

若换成非均匀的，不能借助高斯定理。

2-21 一带电量为，质量为的小带电体，放置在无限大导体平面下，与平面相距为，应用镜像法理论求电荷的值，使带电体上受到的静电力恰好与重力想平衡。设，。

解：，

，

。

2-22 一点电荷放置在一个半径为的导体球附近，与球心相距为，球未接地，原先也未充电。证明球对点电荷的吸引力为。

解：设镜像电荷与球面距离为，则

2-23 两点电荷和位于一个半径为的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心为和。证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，且偶极矩为。

2-24 圆柱形电容器外导体内半径为，当外加电压固定式，求使电容器中的电场强度取最小的内导体半径的值和这时电容器中电场强度的最小值。

解：，，，

当时，，，

要使，则

此时。

2-25 同轴电容器内导体半径为，外导体内半径为，部分填充电容率为的电介质，求单位长度的电容。

解：设内外导体表面上分别带有电量和，在介质内部，作高斯面，由高斯定理可得

非介质内部，作高斯面，由高斯定理得

非介质内部，作高斯面

，

，

。

2-26 平行板电容器板间距离为，面积为，在它的极板间放进一块面积为、厚度为的介质板，求电容量。

解：，

。

2-27 有一半径为、带电量为的导体球，其球心位于两种介质的分解面上，此两种介质常数分别为和，分界面可视为无限大平面。求:球的电容；总静电能。

解：，，，

，

；

。

2-28 证明单位长度同轴线说储存的电场能量有一半是在的介质区域内。其中，分别同轴电缆内外导体的半径。

证明：对于圆柱体有，，

在内

，

。

2-29 半径为和的同心球，内球的电位，外球的电位，两球之间媒质的电导率为，试求这个球形电阻器的电阻。

解：，。

2-30 一个密度为的质子束，通过电压而被加速，试计算：质子束被加速后的电流密度；如果质子束在直径为内是均匀的，在束外为，电流是多少？质子束内部和外部的径向电场强度。

解：，

，；

，

，

，

。

2-31 有一宽度为的电流薄层，其总电流为，位于平面上，方向从原点指向点的方向上。求的表达式。

解：

2-32 在一块厚为的导体板上，由两个半径分别为和的圆弧和两个夹角为沿半径割出的一块扇形，求两圆弧面间的电阻，电导率为。

解：。

2-33 有两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴的圆柱面，内导体半径为，分解面半径为，外导体内半径为。两层介质的电容率为和，电导率为和，当外加电压为时，求介质中的电场和分界面上的自由电荷密度。

解：，，。

2-34 球形电容器内半径，外半径，其中的非理想介质的电导率，若两极之间电压，求：球间各点的，和；漏电导。

解：S，

，

，

，

。

2-35 球形电容器内、外导体球面之间充有两种损耗介质，其参数分别为电容率和，电导率为和。设内外导体球面半径为别为，，介质分界面亦为同心球面，半径为。若给内外球面外加电压，求介质中的场分布、介质面上的自由面电荷密度和介质中的损耗功率。

解：，，

，，

当时，

，

当时，

，

，

2-36 同轴电缆内、外导体的内外半径分别为，。其中填充两层电导率不同的绝缘介质，其介质分界面是半径为的同轴圆柱面。若把内外层绝缘介质互换，同时重新选择一合适非分界面半径，使得在同一电压下其电缆的漏电阻相等，此分界面半径为多少？再求第一、第二种情况下分界面上的自由电荷密度比例。

解：，。

2-37 一个半径为的导体球当作接地电极深埋在地下，设土壤的电导率为，略去地面的影响，求电极与地之间电阻。

解：。

2-38 为了得到良好的接地，一半径为的半球形导体埋在地中，其底面与地面相合，设地的电阻率为，求接地电阻。

解：。

2-39 半球形电极位置靠近一直深的徒壁，如题图所示。若，，土壤的电导率，求接地电阻。

解：。

2-40 求半径为和的两个同心球面之间的电阻，假设它们之间的空间填充电导率为的材料。

解：。

2-41 在电导率为的均匀漏电介质里有两个导体小球，半径为和，两小球间距离，求两小球间的电阻。

先求两个孤立导体球的电流分别为

解：。

第三章

3-1 分别求题3-1图示各种形状的线电流在真空中点产生的磁感应强度。

解：；

；

。

3-2 如题3-2图所示，真空中，位于平面上，通有面电流的恒定电流，求下列两种回线的磁感应强度的闭合路径积分？

积分回路为平面上半径为a且圆心在原点的一个圆；

积分回路中的圆平面绕x轴逆时针旋转的圆，即面元方向与z轴夹角为。

解：；

;

。

3-3 下面的矢量函数中，哪些是磁场的矢量？如果是磁场矢量，求相应的电流密度。(K为常数)

(1)

解：；

；

。

3-4 已知某电流在空间产生的矢量磁位是，求磁感应强度。

解：。

3-5 现有媒质与空气的分界面，导磁媒质的磁化率为，靠空气一则的磁感应强度为，与导磁媒质表面的法向方向夹角为。求导磁媒质一侧的和。

解：，

，

 ，

，

。

3-6 现有两种媒质构成的分界面，其磁化率分别为和，已知一媒质中的磁感应强度为，与法向夹角为，求分界面另一侧的磁感应强度大小，磁感应强度与法向方向的夹角。

解：，

，

；

。

3-7 无限长铜直导线，界面半径为，载有电流。现在铜导线外面再套上一个磁性材料的圆筒，并与之同轴，圆筒的内外半径分别为和，材料相对磁导率。求：穿过圆筒每米长的总磁通；圆筒内的磁化强度；束缚电流的大小。

解：；

    ，

，

。

，

。

3-8 有一个圆柱形导体，半径为，其内部磁场为，求导体中的总电路。

解：由安培环路定理，得

。

3-9 计算电流为,半径为的小圆环在远离圆环处任一点的磁感应强度。

解：

3-10 某一各向同性媒质的磁化率，磁感应强度，求该媒质的相对磁导率、磁导率、束缚体电流密度、磁化强度以及磁场强度。

解：

，

。

3-11 如题3-11 图所示，无限长直圆柱导体由电导率不相同的两层导体构成，内导体半径，电导率；外导体半径，电导率。导体圆柱中沿轴线方向流过的电流，求导体圆柱内、外的磁感应强度。

解：设内、外导体的体电流密度大小分别为、,则

，

解这个方程组，得

，

因此，得

，

当，

；

当时，

同理，得

；

当时，

同理，得

。

3-12 有一条长的同轴电缆，内导体半径为, 沿过电流80A，外导体非常薄，其半径为。试求两导体间所包含的总磁通。

解：，

。

3-13 设x=0平面是两种媒质的分界面。，，分解面上有面电流，且，试求和的分布。

解：，

，

，

，

。

3-14 如题3-14图所示，现有一细长直导线，导线外放置一个矩形线圈，两者不在一个平面上，求导线与线圈之间的互感。

解：，

，

。

3-15 如题3-15图所示，求无限长直导线和直角三角形导线回路间的互感。

解：

。

第四章

4-1 相距为的金属导轨处在的匀强磁场中，方向如题4-1图所示，金属棒分别以和的速度沿导轨滑动，求回路中的感应电动势。

解：。

4-2 一个电荷以恒定速度沿半径为的圆形平面的轴线向此平面移动，当两者相距为时，求通过的位移电流。 

解：由电场高斯定理，得

,

。

4-3 假设电场强度按变化，计算当时，下列各种媒质中的传导电流密度和位移电流密度幅值之比。铜：蒸馏水：；聚苯乙烯：。

解:，

，

；

同理，得

；

同理，得

。

4-4 设自由空间无源区的电场强度为，，为常数，利用麦克斯韦方程组中的两个旋度方程，求出式中的表达式。

解：

。

。

4-5 已知空气媒质的无源区中，电场强度，，，其中为常数，求相应的位移电流密度和磁场强度表达式。

解：

。

4-6 证明麦克斯韦方程组包含了电荷守恒定律。

解：由麦克斯韦方程，得

，

对上式两边求散度

，

因为，

所以。

又因为，

所以，

即电荷守恒定律成立。

4-7 长度，内径，外径的同轴电容器中有的电介质，外加电压为，确定位移电流，并与传导电流相比较(忽略边缘效应)。

解： ，

，

，

。

4-8 已知天线所发射的球面电磁波的电场及磁场分别为，，求天线的发射功率。

解：，

。

4-9 在自由空间中，已知电场强度的表达式为，试求玻印廷矢量、平均功率流密度矢量、单位体积内的瞬时电磁能量以及其一个周期内的平均值。

解：

，

，

，

，

4-10 已知在空气中的电场强度为，试求相应的磁场强度和常数。

解：

，

，

，

，

。

4-11 如题图所示，已知为区域，，；为区域，。假设分界面上下不存在面电流，求区域的磁场强度。

解：，

，

。

4-12 将下列矢量的瞬时值形式表示成复数形式，复数形式表示成瞬时值形式：

；

；

；

。

解：；

；

；

。

4-13 已知自由空间中的电磁波的电场强度为，

该电磁波是否属于均匀平面波，传播方向如何；

求波的频率、波长、相称速度、相速度；

求磁场强度矢量的瞬时值表达式。

解：；

；

，

。

4-14 已知理想介质中平面电磁波的电场表达式为，

设，求；

磁感应强度的瞬时值表达式。

解：，

，

4-15 假设真空中有一均匀平面电磁波的电场强度瞬时值表达式为，其中，，，求对应的磁场强度矢量和功率流密度矢量的时间平均值。

解：。

，

。

4-16 在自由空间中，已知均匀平面电磁波强度为，求此波的频率、波长、波速和相位移常数；电场的分量和分量的初相位。

解：。

，

。

4-17 理想介质中有一均匀平面电磁波沿方向传播，其频率，当时，在处电场强度振幅。求当时，在处的电场强度矢量、磁场强度矢量和坡印廷矢量。

解：，

，

当时，在处

，，。

4-18 在自由空间中电磁波电场强度为，则该电磁波通过半径为的圆平面的总平均功率为多少？

解：，

，

，

，

。

4-19 在真空中，均匀平面电磁波的磁场强度矢量为，求：波的传播方向、波长和频率；常数A；电场强度矢量；坡印廷矢量的时间平均值。

解：,

，

；

由，得

；

，

。

4-20 已知铝的，，求当频率，铝的穿透深度，并求出传播常数和波速。

解：，

，

=，

。

4-21 通常认为电磁波经过个趋肤深度后，已衰减为零，若要用厚度为5个趋肤深度的铜皮去包裹放有电子设备的仪器室，才能达到屏蔽要求，问当要求屏蔽的频率是时，铜皮的厚度至少是多少？

解：，。

4-22 设某一导电媒质，求当频率为的广播信号通过这一导电媒质时的衰减常数和相称常数。

解：。

4-23 判断下列各平面电磁波的极化方式，并指出其旋向：

；

；

；

；

。

解：，，，传播方向为，四象限直线极化；

，，传播方向为，左旋圆极化；

，传播方向为，左旋椭圆极化；

，

，

，传播方向为，左旋椭圆极化；

，四象限直线极化。

4-24 求证：椭圆极化波分解为两个不等幅的旋向相反的圆极化波。

证明：由极化波的的公式，得

，，，

假设可分解为两个不等幅的旋向相反的园极化波

，，，

由上面，得

，

，

因此，有

，

解这个方程组，得

，，

由上面可得椭圆极化波可以分解成为两个如下的不等幅旋向相反的圆极化波：

，，

故命题得到证明。

4-25 已知平面电磁波的电场强度为，试判断该电磁波是否为横电波，并确定其传播方向和极化状态。

解：传播方向为，电场方向为，

，因此电磁波为横电波。

，

，右旋椭圆极化。

4-26 线极化均匀平面电磁波在空气中的波长是，当它沿方向进入海水中垂直向下传播是，已知水面下处，求海水中任一点，的瞬时值表达式及相速度和波长。已知海水：，，。

解： 

，

。

4-27 设电场为的均匀平面电磁波从空气垂直投射到理想导体表面，求：反射波的极化状态：导体表面的面电流密度。

解：，

，左旋椭圆极化；

，

。

4-28 均匀平面波的入射波电磁场强度为。由空气垂直入射到处的理想介质分界面上，试求：空气中的合成波电场；理想介质中的透射波磁场。

解：，，，

，

。

，

。

4-29 设分界面处入射波、反射波和透射波的平均功率密度分别为，和，定义垂直入射时的功率反射系数和功率透射系数分别为，，证明：。

解：，

，

，

由上面，得

，，

，，

。

4-30 如习题4-30图所示，在真空中，均匀平面电磁波垂直穿过厚度为的铜板，在处电场振幅为，频率，求：各点的电场振幅大小。

解：，，，，

，，，

1，。

4-31 已知区域与区域的分界面为无限大平面，在区域Ⅰ，，，电场振幅为，区域是真空。假设电磁波从区域垂直入射到区域上，确定在分界面上反射波和透射波的电场和磁场的振幅。

解：，，，

，，，。

4-32 垂直极化的平面电磁波从水下透射到大气分界面，入射角，已知水的，，试求：临界角；反射系数；透射系数。

解：；

，，

，。

。

4-33 一个线极化平面波从自由空间透射到，的媒质分界面，试求：入射角为多少时，反射波只有垂直极化波？

解：。

4-34 电场为的均匀平面电磁波由自由空气射向的理想导体平面上，试求：入射角；波长及频率；合成波电场。

解：；

，，；

。