厦门大学2011级理工类高等数学期末试题-A答案

＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业

主考教师：高等数学A教学组  试卷类型：（A卷）

1、求下列各题积分：（每题5分，共20分）

 （1）    (2)  

（3）  （4）

解：（1）

(2) 

.

(3) 

.

 (4)  

2、（10分）设函数由参数方程确定，求曲线向上凸的取值范围.

解  ，，所以.

又对应于. 因此向上凸的x取值范围为.

3、（10分）设函数在的某个邻域内连续，且

试问:是否是的极值点？如果是极值点，是极大还是极小？其极值为多少？

解：由题设条件在连续，则

同理。 因为，由极限的保号性，在的某个邻域内，有, 由此得 对，有

，由极值的定义，在处取极小值，其极小值为0.

4、（10分）求函数的最大曲率.

解：, 由曲率公式，得

解得

当时，,当时，，所以当，最大值为。

5、（10分）求函数的凹凸区间及拐点.

解：。令，得，不存在二阶不可导点。

6、（10分）求函数的最小值.

解：因为, 令，得到驻点.

当时，，当时，, 函数在处取得最小值，

7、（10分）设在上可导，且，证明

.

证：令

因为,所以严格递增，因此，

令，，

所以严格递增，因此。于是，从而,即

。

8、（10分）已知函数连续，且.设求.

解：由，得， 

，

.

9、（10分）(1) 计算广义积分；

(2) 利用函数的性质，求极限.

解：(1) 

解:  (2) 作变量代换

由于在上连续，.

附加题：（10分）

设且对成立 , 证明: .

证明：将在点处展成一阶泰勒式

，  

因为，于是，两边在上关于积分

得              

因为，因此

，故  ，即.