2020高考数学二轮复习专题讲练13解析几何大题解答题专项(最新,超经典)

大题增分专项　解析几何大题考向探究

全国卷3年考情分析

考|题|细|目|表

解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等。试题难度较大，多以压轴题出现。

解答题的热点题型有：

1．直线与圆锥曲线的位置关系。

2．圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解。

3．轨迹方程及探索性问题的求解。

考点一   求值与证明问题

【例1】　(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P。

(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；

(2)若＝3，求|AB|。

解　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)。

(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝。

由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，

则x1＋x2＝－。

从而－＝，得t＝－。

所以l的方程为y＝x－。

(2)由＝3可得y1＝－3y2。

由可得y2－2y＋2t＝0。

所以y1＋y2＝2。从而－3y2＋y2＝2，

故y2＝－1，y1＝3。

代入C的方程得x1＝3，x2＝。

故|AB|＝。

求值与证明问题大多联系圆锥曲线的定义、方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，有时还要注意运用平面几何的知识。 

【变式训练1】　(2019·福州市模拟)已知点A在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，O为坐标原点，直线l：－＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为－。

(1)求椭圆C的方程；

(2)不经过点A的直线y＝x＋t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于M，N两点。求证：|AM|＝|AN|。

解　(1)由题意知，

kOA·kl＝－·＝－＝－。

即a2＝4b2　①，

又＋＝1　②，

所以联立①②，解得

＋y2＝1。

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

tx＋t2－1＝0，

所以Δ＝4－t2>0，即－2又t≠0，所以t∈(－2,0)∪(0,2)，

t，x1·x2＝t2－1。

证法一：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ、AR的斜率互为相反数，即证明kAQ＋kAR＝0。

＝0。

所以|AM|＝|AN|。

证法二：要证明|AM|＝|AN|，可转化为证明直线AQ，AR与y轴的交点M，N连线的中点S的纵坐标为－，即AS垂直平分MN即可。

直线AQ与AR的方程分别为

lAQ：y＋(x－1)，

lAR：y＋(x－1)，

－，

－，

，

＝－，即AS垂直平分MN。

所以|AM|＝|AN|。

考点二   最值与范围问题

，记M的轨迹为曲线C。

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G。

①证明：△PQG是直角三角形；

②求△PQG面积的最大值。

＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点。

(2)①证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)。

。

，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u,0)。

，

(x－u)。

得

(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0　①。

设G(xG，yG)，则－u和xG是方程①的解，

。

。

所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形。

，

。

，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号。

在[2，＋∞)单调递减，

。

。

解决圆锥曲线中最值与范围问题，一般有两个思路：①构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解；②构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解。在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件。 

【变式训练2】　(2019·江西省五校协作体联考)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋。

(1)求椭圆M的方程；

(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值。

。

，故b2＝a2－c2＝3。

＝1。

。

，C(x3，y3)，D(x4，y4)。

得3x2＋4nx＋2n2－6＝0，

。

。

。

考点三   定点与定值问题

【例3】　(2019·北京高考)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)。

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B。求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。

解　(1)由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2。

所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1。

(2)抛物线C的焦点为F(0，－1)。

设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)。

得x2＋4kx－4＝0。

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4。

x。

。

。

，

，

＋(n＋1)2

＋(n＋1)2

＋(n＋1)2

＝－4＋(n＋1)2。

＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得n＝1或n＝－3。

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，－3)。

(1)动线过定点问题的两大类型及解法

①动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)。

②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点。

(2)求解定值问题的两大途径

→

②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值。 

【变式训练3】　(2019·南昌市第一次模拟)已知椭圆C：＋。

(1)求C的方程；

(2)设C的左、右顶点分别为A，B，若直线PA，PB分别交直线x＝2于M，N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值。

解　(1)设P(x0，y0)，椭圆的半焦距为c。

·2c·b＝bc，

。

，a2＝b2＋c2，

，c＝2，

＝1。

(2)由(1)可知A(－4,0)，B(4,0)，F1(－2,0)。

由题可知，x0≠2，且x0≠±4。

设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，

则直线PA的方程为y＝k1(x＋4)，

令x＝2得y＝6k1，故M(2,6k1)。

直线PB的方程为y＝k2(x－4)，

令x＝2得y＝－2k2，故N(2，－2k2)。

记以MN为直径的圆为圆D，则D(2,3k1－k2)。

如图，过点F1作圆D的一条切线，切点为T，连接F1D，DT。

则|F1T|2＝|F1D|2－|DT|2，

所以|F1T|2＝16＋(3k1－k2)2－(3k1＋k2)2＝16－12k1k2，

，

，

－16)，

，

＝25，

所以|F1T|＝5。

故切线长为定值5。

【变式训练4】　(2019·石家庄教学质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为。

(1)求椭圆C的方程。

，0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在定点Q，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

＝，＋＝1，

又a2－b2＝c2，所以a2＝4，b2＝1。

＋y2＝1。

，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称。理由如下：

my－1＝0。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t,0)(依题意t≠x1，t≠x2)。

由根与系数的关系可得，

。

直线QA与直线QB恰关于x轴对称，则直线QA与直线QB的斜率互为相反数，

＝0，即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0。

＝0，

－my1－t)＝0，

－t)(y1＋y2)－2my1y2＝0，

＝0，

t)＝0，

也符合题意。

，使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称。

重点增分专练(十一)　解析几何大题考向探究

第一次作业　基础通关训练

1．(2019·贵阳市监测考试)已知椭圆C：＋。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设经过点(2，－1)且不经过点M的直线l与椭圆C相交于G，H两点，若k1，k2分别是直线MG，MH的斜率，求k1＋k2的值。

＝0，得b＝c，

将x＝c代入＋ ，

，

，b＝1，

＋y2＝1。

＋y2＝1与点(2，－1)，

设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即y＝kx－2k－1，

＋y2＝1中，得

(1＋2k2)x2－4k(2k＋1)x＋8k2＋8k＝0，

由题意知Δ＝－16k(k＋2)>0，得－2设G(x1，y1)，H(x2，y2)，

，

＝2k－(2k＋1)＝－1，

所以k1＋k2＝－1。

上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B。

(1)证明：直线AB过定点；

为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积。

＝2y1。

＝x1。

整理得2tx1－2y1＋1＝0。

设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0。

故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0。

。

。

可得x2－2tx－1＝0。

于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，

y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，

＝2(t2＋1)。

。

因此，四边形ADBE的面积

。

。

与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0。

解得t＝0或t＝±1。

。

。

3．(2019·长沙市统考)已知椭圆C：＋。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值。

。

，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，

＝1。

(2)由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3。

直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，

＝(4,3k＋m)，

＝－8＋m2－9k2。

得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0。

因为直线l与椭圆C相切，所以

Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，

化简得m2＝9k2＋8。

＝－8＋m2－9k2＝0，

，

。

，再验证一般性结论)

4．(2019·安徽质检)已知椭圆C：＋)在椭圆C上。

(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)过点F的直线交椭圆于A，B两点(直线不与x轴垂直)，已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标。

。

(2)设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，－y1)，

可设PB的直线方程为y＝kx＋m，

整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，

，

，

整理得，2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0，

－4m＝0，解得m＝－4k，

所以PB的直线方程为y＝kx－4k＝k(x－4)，直线PB恒过定点(4,0)。

，动点P的轨迹为E。

(1)求E的方程；

|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标。

解　(1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)，

(0，－y0)，

y，

＝4，

＝1，

＝1。

(2)由(1)可知D(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，

Δ＝(8mk)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝16(12k2－3m2＋9)>0，即3＋4k2－m2>0，

。

。

|，

＝0，

即(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，

＝0，

所以7m2－16mk＋4k2＝0，

k，且均满足3＋4k2－m2>0。

当m＝2k时，l的方程为y＝kx＋2k＝k(x＋2)，

直线恒过点(－2,0)，与已知矛盾；

。

。

第二次作业　能力增分加练

1．(2019·天津高考)设椭圆＋。

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上。若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率。

，b＝2，c＝1。

＝1。

。

2．(2019·重庆市七校联考)已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|＝a(a>0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y2＝2px(p>0)在第一象限分别交于D，C两点。

(1)若a＝p，点A与抛物线y2＝2px的焦点重合，求直线CD的斜率；

的取值范围。

，

－1。

(2)设直线CD的方程为y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，

得ky2－2py＋2pb＝0，

，

，

，

ab。

，

，

<。

3．(2019·洛阳市第二次联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2。

(1)求椭圆C的标准方程；

，求证：点(m，k)在定圆上。

＝，2b＝2，a2＝b2＋c2，

＋y2＝1。

消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1　①。

，

，

y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

，即4y1y2＝5x1x2，

所以4k2x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝5x1x2，

＋4m2＝0，

　②。

，

上。(没求k的范围不扣分)

4．(2019·河北衡中联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋。

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l过点(1,0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB最大时，求直线l的方程。

＋y2＝1。

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－1)(k<0)。

消去y，得(9k2＋1)x2－18k2x＋9k2－9＝0，

。

，

。

。

时，等号成立，此时∠OPB最大。

，此时直线l的方程为x＋3y－1＝0。

5．(2019·石家庄市一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|＝2x0。

(1)求抛物线C的方程；

)的两条切线PA，PB，切线PA，PB与抛物线C的另一交点分别为A，B，线段AB中点的横坐标记为t，求t的取值范围。

，由题意得，

所以抛物线C的方程为y2＝4x。

－8k1＋r2－4＝0。

－8k2＋r2－4＝0。

，k1k2＝1。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

得，k1y2－4y－4k1＋8＝0，

，

－2＝4k2－2，

同理可得y2＝4k1－2。

)－2(k1＋k2)＋1

＝2(k1＋k2)2－2(k1＋k2)－3，

∈[－4，－2)，

>－2，所以9