2014湖北重点高中自主招生考试数学模拟试题

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．（3分）时钟的表面为圆形，在它的圆周上有12个用于表示整点的等分点．以这些等分点为顶点的矩形共有（  ）

2．（3分）某粮店用一架不准确的天平（两臂长不相等）称大米．某顾客要购买10kg大米，售货员先将5kg砝码放入天平左盘，置大米于右盘，平衡后将大米给顾客；然后又将5kg砝码放入天平右盘，置大米于左盘，平衡后再将大米给顾客．售货员的这种操作方式结果使（  ）

3．（3分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是8，方差为2，那么另一组数据：4x1+1，4x2+1，4x3+1，4x4+1，4x5+1的平均数和方差分别为（  ）

4．（3分）设，则与S最接近的数是（  ）

5．（3分）在直角坐标系中，若一点的横、纵坐标都是整数，则称该点为整点．设m为整数，当直线y=x﹣4与y=mx+2m的交点为整点时，m的值可以取（  ）

6．（3分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点N在AB边上，且AN：AB=1：5，CN交AD与M点，则AM：MD的比为（  ）

7．（3分）若实数x满足x2﹣14x+1=0，则的十位上的数字为（  ）

8．（3分）关于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，给出下列四个结论：

①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；

③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；

其中正确的结论个数是（  ）

9．（3分）如图所示，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：1：，则∠APB的度数是（  ）

10．（3分）用5根长度分别为2，3，4，5，6（cm）的木棒，允许连接，但不能折断，则能围成的三角形的面积最大值为（  ）

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．（3分）按如图所示的程序计算，若开始输入的值n=6，则最后输出的结果是 _________ ．

12．（3分）设x为实数，[x]表示不大于x的最大整数，如，则使[|x﹣1|]=2成立的x的取值范围是 _________ ．

13．（3分）三条直线（k≠0）不能围成一个三角形，则所有可能的k的值为 _________ ．

14．（3分）某水池装有编号为1，2，3，4，5的5个进水管，已知打开的水管编号与灌满水池需要的时间如下表：（如将1，2，3一起打开，则灌满水池需要7.5小时）

15．（3分）已知x，y满足，则x+y= _________ ．

16．（3分）若关于x，y的二元二次方程：x2+2xy+8y2+14y+m=0（其中m为常数）表示两条直线，则常数m的值为 _________ ．

17．（3分）设，（其中n为正整数），则Sn的取值范围是 _________ ．

18．（3分）如图所示的数表：第n行有n个数，且首尾两个数均为n．

按以上规律写下去，则数表中第29行的第2个数是 _________ ．

19．（3分）过点P（1，2）作直线，使它与两坐标轴围成的面积为4，这样的直线可以作 _________ 条．

20．（3分）设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜2＜x2，那么实数a的取值范围是 _________ ．

三、解答题（共4小题，每小题10分）

21．一个不透明的盒子里装有大小相同的3个白球和3个黑球，从中随机摸出两个球：

（1）求这2个球1黑1白的概率；

（2）求至少有一个黑球的概率？

22．如图所示：过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，过O作OC∥AD，交FD的延长线于C，连CB，

（1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）过D点作DE⊥AB于E，交AC于P，求证：DP=PE．

23．如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC上任意一点，

（1）求证：AD2+BE2=AB2+DE2；

（2）若BC、AC、AB三边长分别为a、b、c，且a、b、c均为整数，求证：a、b中必有一个是3的倍数．

24．如图：直线y=﹣x+18分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=2x分别与AB交于C点，与过点A且平行于y轴的直线交于D点．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．

（1）当0＜t＜12时，求S与t之间的函数关系式；

（2）求（1）中S的最大值； 

（3）当t＞0时，若点（10，10）落在正方形PQMN的内部，求t的取值范围．