厦门大学2010级高等数学期中考试试卷解答理工

＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业

全校(理工A类)  考试时间 2010.11.28

1.（24分 每小题6分）求下列数列或函数的极限

(1);      (2);

(3)；                    (4) 

解  （1）因为，

因为，则.

由夹逼极限准则，得.

（2）因为当时，，，，因此，

    .

（3）.

（4）

。

另解： 

                   .

2.（24分 每小题6分）计算下列函数的导数或微分

(1)设求；              (2) 设，求；

(3)，求；

(4) 求由方程所确定的隐函数的二阶导数。

解  （1），.

（2）.

（3）

          .

（4）由两边求导，得，解得

        ，

        .

3．（8分）求函数的间断点及其类型。

解  函数在和处没有定义，故其间断点为和.

在点，由于

，

即  ，故为函数的无穷间断点，属于第二类间断点。

在点，由于存在，于是，为函数的可去间断点，属于第一类间断点.                              

4．（12分）问取何值时，函数在上（1）连续；（2）可导；（3）一阶导数连续？ 

解  （1）因为当时，，而时，极限不存在，因此，当时, 函数在处连续，从而函数在上连续；        

（2）由于，因此，当时，函数在处可导，且；

当时，，所以，函数在处可导，因此，当时，函数在上可导；                    

（3）因为，因此，当时，

.

函数在上一阶导数连续.                   

5. （8分）设，求证：对任意自然数,在中存在惟一的实根。

证明  作辅助函数，易知在上连续，且

         ，即，                        

由零点定理知，存在，使得，即在存在实根. 

另一方面。由于

，，

因此，函数在上单调减少，故在上最多一个零点，即在中存在惟一的实根.                                                   

6. （8分）证明恒等式：.

证明  令，则当时，

因此，.                                 

取，则，故

.                           

7． （12分）设在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：在内存在一点，使得。

证明  作辅助函数，                                

由已知条件可知，在闭区间上连续，在开区间内可导，且，，                         

由罗尔定理可证，在内存在一点，使得，即.                                                  

8. （10分）下面两题任选一题

(1)设不恒为常数的函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：在内至少存在一点，使得。

证明  因为，且不恒为常数，则必存在一点，使得.                                                

如果，由拉格朗日中值定理，存在，使得

；                          

如果，由拉格朗日中值定理，存在，使得

.                            

（2）设在上可微，且，试证明在内至少有两个零点。

证明  由，由极限的保号性，存在的一个右邻域，使得对于任意的，都有，即；   

由，由极限的保号性，存在的一个左邻域，使得对于任意的，都有，即；        

综上，存在满足，使得.                

由于在上可微，则在上连续，即在上连续，由介值定理，存在，使得或.               

由在上可微，分别在和上应用罗尔定理，存在，使得.

因此，在内至少有两个零点.