数值分析课程设计实验二

2．1

一、题目：

 用高斯消元法的消元过程作矩阵分解。设

消元过程可将矩阵A化为上三角矩阵U，试求出消元过程所用的乘数、、并以如下格式构造下三角矩阵L和上三角矩阵U

验证：矩阵A可以分解为L和U的乘积，即A=LU。

二、算法分析：

设矩阵，通过消元法可以将其化成上三角矩阵U，具体算法如下：

第1步消元： 

得到

第2步消元： 

得到的矩阵为

三、程序及运行结果

b1.m

A=[20 2 3;1 8 1;2 -3 15];

for i=1:2

M(i)=A(i+1,1)/A(1,1);

end

for j=2:3

    A1(j,2)=A(j,2)-M(j-1)*A(1,2);

    A1(j,3)=A(j,3)-M(j-1)*A(1,3);

end

M(3)=A1(3,2)/A1(2,2);

A1(3,2)=0;

A1(3,3)=A1(3,3)-M(3)*A1(2,3);

M,A1

运行结果为：

M =

    0.0500    0.1000   -0.4051

A1 =

         0         0         0

         0    7.9000    0.8500

         0         0   15.0443

所以：

验证：L=[1 0 0;0.05 1 0;0.1 -0.4051 1];U=[20 2 3;0 7.9 0.85;0 0 15.0443];A1=L*U

A1 =

   20.0000    2.0000    3.0000

    1.0000    8.0000    1.0000

    2.0000   -3.0003    15.0000

四、精度分析

因为根据LU的递推公式可知，L，U分别为下三角和上三角矩阵，其中L不在对角线上的元素值为，在计算每个系数时会产生相应的计算误差。 

2．2

一、题目

用矩阵分解方法求上题中A的逆矩阵。记

分别求解方程组

由于三个方程组系数矩阵相同，可以将分解后的矩阵重复使用。对第一个方程组，由于A=LU，所以先求解下三角方程组,再求解上三角方程组，则可得逆矩阵的第一列列向量；类似可解第二、第三方程组，得逆矩阵的第二列列向量的第三列列向量。由三个列向量拼装可得逆矩阵。

二、算法分析

首先根据LU分解，将矩阵A分解成下三角矩阵L和上三角矩阵U乘积的形式。然后分别求解方程组和。通过计算可知  

最后求解得到的矩阵

三、程序及运行结果

b2.m

b1=[1 0 0]';b2=[0 1 0]';b3=[0 0 1]';

L=[1 0 0;0.05 1 0;0.1 -0.4 1];U=[20 2 3;0 8 0.85;0 0 15.04];

y1=inv(L)*b1;x1=inv(U)*y1;

y2=inv(L)*b2;x2=inv(U)*y2;

y3=inv(L)*b3;x3=inv(U)*y3;

x1,x2,x3,[x1,x2,x3]

运行结果为：

x1 =

    0.0517

   -0.0054

   -0.0080

x2 =

   -0.0162

    0.1222

    0.0266

x3 =

   -0.0093

   -0.0071

    0.0665

ans =

    0.0517   -0.0162   -0.0093

   -0.0054    0.1222   -0.0071

   -0.0080    0.0266    0.0665

四、精度分析

矩阵A经过LU分解后得到上三角U和下三角矩阵L，分别进行和计算时便产生了计算误差，所以最后结果与存在一定的误差。

2．2

一、题目

验证希尔伯特矩阵的病态性：对于三阶矩阵

取右端向量，验证：

（1）向量是方程组的准确解；

（2）取右端向量b的三位有效数字得，求方程组的准确解，并与X的数据作比较 。说明矩阵的病态性。

二、算法分析

（1）要验证向量X是方程的准确解，只需求解出该方程的解并与X作个比较即可。因为，所以

（2）与第一题算法一样，根据求解出

三、程序及运行结果

b3.m

b1=[11/6 13/12 47/60]';b2=[1.83 1.08 0.783]';

H=[1 1/2 1/3;1/2 1/3 1/4;1/3 1/4 1/5];

x1=inv(H)*b1

x2=inv(H)*b2

运行结果为：

x1 =

    1.0000

    1.0000

    1.0000

x2 =

    1.0800

    0.5400

    1.4400

四、精度分析

（1）通过x1的运行结果可知，是方程准确解。

（2）通过x2的运行结果可知，由于与的误差非常小，可是它们的计算结果却差别很大，根据病态矩阵的定义可知，矩阵H为病态的。