二次函数测试题(含答案)

一、综合题

1.如图13，

二次函数的图象与x 轴交

于点

C （0，

-1

），ΔABC 的面积为。

于A 、B 两点，与y 轴交（1）求该二次函数的关系式；

（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，

求m 的取值范围；

（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线，

（Ⅰ）若，求该抛物线与轴公共点的坐标；

（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；

（Ⅲ）若，且时，对应的

；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴

是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

3、如图，抛物线y ＝(x ＋1)2

＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，－3)．

（1）求抛物线的对称轴及k 的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA ＋PC 的值最小，求此时点P 的坐标； （3）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限．

① 当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标；

② 当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标．

二、计算题

4、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠

QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米。

(1)当t=4时，求S 的值；

(2)当

，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值。

、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线

，其中（m）是球的飞行

高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m．

（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．

（2）请求出球飞行的最大水平距离．

（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．

6

、某宾馆有客房

间，当每间客房的定价为每天

元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨元时，

就会有

间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出元的各种费用．

(1)

请写出该宾馆每天的利润（元）与每间客房涨价（元）之间的函数关系式；

(2)设某天的利润为

元，元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大

利润，并指出此时客房定价应为多少元？

(3)请回答客房定价在什么范围内宾馆就可获得利润？

7

、在直角中，

，直角边与直角坐标系中的

轴重合，其内切圆的圆心坐标为，若抛物

线的顶点为A。求：

⑴求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向；

⑵

用表示B点的坐标；

⑶当

取何值时。

8

、已知二次函数

中，函数与自变量的部分对应值如下表：

（1）求该二次函数的关系式；

（2）当为何值时，有最小值，最小值是多少？

（3）若，两点都在该函数的图象上，试比较与的大小．

9、如图，二次函数的图象经过点M（1，―2）、N（―1，6）。

（1）求二次函数的关系式。

（2）把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。将△ABC

沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离。

10、一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部

分，请结合图象，解答以下问题：

（1）求该抛物线对应的二次函数解析式。

（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？

（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析。

11、“华联超市”购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克。由销售经验

知，每天销售量(千克)与销售单价(元)()存在如右图所示的一次函数关系式。

(1)试求出与的函数关系式；

(2)设“华联超市”销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润?最大利润是多少?

12、明珠大剧场坐落在聊城东昌湖西岸，其上部为能够旋转的拱形钢结构，并且具有开启、闭合功能，全国独一无二，

如图1

．舞台顶部横剖面拱形可近似看作抛物线的一部分，其中舞台高度

米，台口高度

米，台口宽度米，

如图2

．以所在直线为轴，过拱顶

点且垂直于

的直线为轴，建立平面直角坐标系．

（1）求拱形抛物线的函数关系式；

（2

）舞台大幕悬挂在长度为

米的横梁

上，其下沿恰与舞台面接触，求大幕的高度（精确到米）．

三、填空题

13、已知二次函数

（

）与一次函数的图象相交于点A（－

2，4），B（8，2

）（如图所示），则能使成立的的取值范围是．

14、抛物线y＝ax2＋2ax＋a2＋2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是_____________．

四、选择题

15

、已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），

K（8，y3

）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2

16

、已知二次函数的图象如图所示，令

，则（）

A．M>0 B. M<0 C. M=0 D. M的符号不能确定

17、在反比例函数

中，当时，随

的增大而减小，则二次函数的图象大致是下图中的

（）

18

、将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

19

、下表是满足二次函数的五组数据，

是方程的一个解，则下列选项的正确是

（）

A． B．

C． D．

20、抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为( ) A．2 B．1 C．0 D．一1

21、已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是

（）

A．ac>0 B．b<0

C． D．2a+b=0

22、已知抛物线与轴有两个交点，且都在点右边，则下列说法：（）

①；②；③；④其中正确的有

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

23、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如右图的所示,则下列结论：

①a-b+c>o，

②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于零；

③y随x的增大而增大；

④一次函数y=ax+bc的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

24、已知的图象如图所示，则的图象一定过（）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限

25、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度

，坝外斜坡的坡度，则两

个坡角的和为（）

A B C D

参

一、综合题

1、解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=设A（a,0）,B(b,0)

AB=b-a==，解得

p=,但p<0,所以

p=。

所以解析式为：（2）令y=0

，解方程得

，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC中可求得AC=,同样可求得

BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=,

所以.

（3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4

，解方程组得D （,9）

②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 A(,0)代入得AD 解析式为y=0.5x+0.25

，解方程组得D()

综上，所以存在两点：（,9）或()。

2

、解：（Ⅰ）当，

时，抛物线为，

方程

的两个根为

，．

∴该抛物线与

轴公共点的坐标是和．

（Ⅱ）当

时，抛物线为，且与轴有公共点．

对于方程

，判别式≥0，有≤．

①当

时，由方程

，解得．

此时抛物线为与

轴只有一个公共点．

②当时，

时，

时，．

由已知时，该抛物线与

轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，

应有即

解得．

综上，或．

（Ⅲ）对于二次函数，

由已知

时，；

时，

又

，∴．

于是．而

，∴

，即．∴．

∵关于

的一元二次方程的判别式

，

∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方．

又该抛物线的对称轴，

由

，，

得，

∴．

又由已知

时，；

时，观察图象，

可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点．

3、（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1，

把C (0，－3)代入y＝(x＋1)2＋k得

－3＝1＋k ∴k＝－4

（2）连结AC，交对称轴于点P

∵y＝(x＋1)2－4 令y＝0 可得(x＋1)2－4＝0

∴x1＝1 x2＝－3

∴A (－3，0) B (1，0)

设直线AC的关系式为：y＝m x＋b

把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得，

－3m＋b＝0 b＝－3 ∴m＝－1

∴线AC的关系式为y＝－x－3

当x＝－1时，y＝1－3＝－2

∴P (－1，－

2)

②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐

标．

（3）①设M的坐标为（x, (x＋1)2－4）

∴S△AMB ＝×AB×｜y m ｜＝×4×[4－(x＋1)2]

＝8－2(x＋1)2

当x＝－1时，S最大，最大值为S＝8

M的坐标为(－1，－4)

②过M作x轴的垂线交于点E，连接OM，

S四边形AMCB＝S△AMO＋S△CMO＋S△CBO ＝×AB×|y m|＋×CO×|x m|＋×OC×BO ＝6－ (x＋1)2＋×3×(－x)＋×3×1

＝－x2－x＋6＝－（x2＋3x－9）＝－（x ＋）2

－

当x

＝－时，S

最大，最大值为

二、计算题

4、解：（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合，

重合部分是＝

（2

）当时，如图，

则BQ=t-4,CR=6-t,由△PQR～△BQM～△CRN

得

所以

当时，如图，BR=10-t,BK⊥PK,且∠KRB=30°,

所以

BK=，

5、解：（1

）

抛物线

开口向下，顶点为

，对称轴为

（2

）令，得：

解得：，

球飞行的最大水平距离是8m．

（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m

抛物线的对称轴为

，顶点为

设此时对应的抛物线解析式为

又

点

在此抛物线上，

6、解：(1)

由题意得即.

(2) 元的利润不是为该天的最大利润．

∵

∴当

即每间客房定价为

元时，宾馆当天的最大利润为元．

(3)由得，即

解得

，由题意可知当客房的定价为：大于

元而小于元时，宾馆就可获得利润．

7、解：⑴

∵

∴对称轴

，易见抛物线是以

的直角边所在直线为对称轴，

由题易得

，又当

时，

即抛物线过，故开口向下。

⑵

如图，

由勾股定理得

⑶∵

，∴

又

∴

∴

，

又∵∴

8、解：（1

）根据题意，当

时，；当

时，．

所以

解得

所以，该二次函数关系式为．

（2

）因为，

所以当

时，有最小值，最小值是1．

（3

）因为，

两点都在函数的图象上，

所以，．

．

所以，当

，即

时，；

当

，即

时，；

当

，即

时，．

9、解：（1）∵M（1，－2），N（－1，6）在二次函数y = x2+bx+c的图象上，

∴解得

二次函数的关系式为y = x2－4x+1。

（2）Rt△ABC中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4，

解得

∵A（1，0），∴点C落在抛物线上时，△ABC 向右平移个单位。

10、解：（1

）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：，

由图知：

，

解得，

．

（2

）当时，利润最大，

最大值为（万元）．

（3

）当，

，解得：

或（舍）．

故从第15个月起，公司将出现亏损．

11、解：(1)

(2)

当销售单价为35元时，P最大=4500元

12、解：（1）由题设可知，

，．

．

设拱形抛物线的关系式为，则

解得．

所以，所求函数的关系式为．

（2

）由

米，设点

的坐标为，

代入关系式，得

．・・・・・・・・・ 8分

．

即大幕的高度约为7.08米．

三、填空题

13、x＜－2或x＞8

14、(1，0)

四、选择题15、B

16、B

17、A

18、A

19、C

20、C

21、D

22、A

23、B

24、C

25、C