基于灰色预测的SARS疫情影响的分析 - 模式识别数学建模论文

摘要

灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景。

2003年的SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影响。本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在2003年未发生疫情时的预测数据，与SARS疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果。然后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型及最小二乘法拟合模型进行分析，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分析，使得结果更加全面、客观。

一、问题的提出

2003 年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。

究竟 SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2 和表3。

表1  商品的零售额（单位：亿元）

二、问题的分析与假设

根据所掌握的历史统计数据可以看出，在正常情况下，全年的平均值较好地反映了相关指标的变化规律，这样可以把预测评估分成两部分：

（1）利用灰色理论建立GM(1,1)模型，由1997－2002 年的平均值预测2003 年平均值；

（2）通过历史数据计算每个月的指标值与全年总值的关系，从而可预测出正常情况下2003 年每个月的指标值，再与实际值比较可以估算出SARS 疫情实际造成的影响。

给出下面两条假设：

（1）假设该市的统计数据都是可靠准确的；

（2）假设该市在SARS 疫情流行期间和结束之后，数据的变化只与SARS 疫情的影响有关，不考虑其它随机因素的影响。

三、建立灰色预测模型GM(1,1)

由已知数据，对于1997－2002 年某项指标记为矩阵，计算每年的年平均值，记为

                （3.1）

并要求级比

     （3.2）

对x(0)作一次累加，则

         （3.3）

记

                （3.4）

取x(1)的加权均值，则

          （3.5）

α为确定参数，记

                  （3.6）

GM(1,1)的白化微分方程模型为

                       （3.7）

其中a是发展灰度，b是内生控制灰度。

由于

                 （3.8）

取为灰导数，为背景值，则方程（4）相应的灰微分方程为

            （3.9）

即矩阵形式为

                     （3.10）

其中

            （3.11）

         （3.12）

用最小二乘法求得参数的估计值为

                  （3.14）

于是方程（5）有响应（特解）

             （3.15）

则

   （3.16）

由上式可以得到2003 年的平均值为，则预测2003年的总值为。

根据历史数据，可以统计计算出2003 年第i个月的指标值占全年总值的比例为，即

               （3.17）

则,于是可得 2003 年每一个月的指标值为

四、问题的求解

1、商品零售额

由数据表1，用以上方法计算可得年平均值、一次累加值分别为

x(0)=(87.6167, 98.5, 108.475, 118.4167, 132.8083, 145.4083)

x(1)=(97.6167, 186.1167, 294.5917, 413.0083, 545.8167, 691.225)

x(0)的所有级比都在可容区域内，经检验，在这里取参数α=0.4 比较合适。

由（3.15）式则有

z(1)=(127.0167, 229.5067, 341.9583, 466.1317, 603.98)

由最小二乘法求得a=−0.099，b=85.5985。可得2003年的月平均值为x=162.8793亿元；年总值为Z=1954.6亿元。每月的比例为：

u=(0.0794, 0.0807, 0.0749, 0.0786, 0.0819, 0.0818,

 0.0845, 0.0838, 0.0872, 0.0886, 0.0866, 0.092) 

故 2003 年1－12 月的预测值为

V=Zu=(155.2,157.7,146.4,153.5,160.1,159.8,

 165.1,163.8,170.5,173.1,169.3,179.8) (亿元 )

将预测值与实际统计值进行比较如表4.1所示。

表4.1  2003 年商品的零售额（单位：亿元）

图4.1  2003 年商品的零售额比较示意图

计算所用M文件为：lmlmer.m

（调用格式为：function [out]=lmlmer(shuju1)。输入一组数据shuju1，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）

2、接待海外旅游人数

由数据表2，用以上方法计算年平均值x(0)和一次累加值x(1)。取参数α=0.4，

继而求得加权平均值z(1) 。

a=−0.0938，b=16.2671，x=30.29，Z=12，x=363.1785

u=(0.0407, 0.0732, 0.0703, 0.0878, 0.0907, 0.0848,

 0.0836, 0.1022, 0.101, 0.1041, 0.0914, 0.0701)

于是可得到 2003 年的接待海外旅游人数的预测值，并与实际值比较如表4.2 所示。

表4.2  2003 年接待海外旅游人数（单位：万人）

图4.2  2003年接待海外旅游人数对比图

计算所用M文件为：lmlmer.m

（调用格式为：function [out]=lmlmer(shuju2)。输入一组数据shuju2，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）

3、综合服务业累计数据

首先将表3的数据进行必要的处理，然后计算年平均值x(0)和一次累加值x(1)。取参数α=0.4，可得加权平均值z(1)。继而可求得

a=−0.1361，b=487.7639 ， x=1171.3，Z=11，x=12885

u=(0.0191, 0.031, 0.0433, 0.0591, 0.0728, 0.0875, 0.1046, 0.1205, 0.1358, 0.1515, 0.1749)

于是可得到 2003 年的综合服务业累计数额的预测值，并与实际值比较如表4.3所示。

表4.3  2003 年综合服务业累计数据（单位：亿元）

图4.3  2003年综合服务业对比图

计算所用M文件为：lmlmer.m

（调用格式为：function [out]=lmlmer(shuju3)。输入一组数据shuju3，输出第一行为预测值，输出第二行为实际值，样本数据在lml.mat文件中，此文件可直接导入workspace）

五、模型的结果分析

根据该市的统计报告显示，2003 年4、5、6 三个月的实际商品零售额分别为145.2、124、144.1 亿元。在这之前，根据统计部门的估计4、5、6 三个月份SARS 疫情对该市的商品零售业的影响最为严重，这三个月估计大约损失62 亿元左右。从我们的模型预测结果来计算，4、5、6 三个月的损失为60.1 亿元，这个数基本与专家的估计值相符，8 月基本恢复正常，这也说明了模型的正确性和可靠性。

对于旅游业来说是受影响最严重的行业之一，最严重的4、5、6、7 四个月就损失100 多万人，按最新统计数据，平均每人消费1002 美元计算，大约损失10 亿美元。全年大约损失162 万人，约合16.2 亿美元，到年底基本恢复正常。

对于综合服务业中的部分行业影响较大，如航空交通运输、宾馆餐饮等，但有些行业影响不大，如电信、通讯等，总平均来看，影响还不算太大，5、6、7、8 四个月大约损失70 亿元。

该模型虽是就某经济指标的发展规律进行评估预测而建立的，但类似地也适用于其它方面的一些数据规律的评估预测问题，即该模型具有很广泛的应用性。

六、运用其他模型进行分析

以对接待海外旅游人数的分析为例。由表2中的信息，1997-2002年1-12月的海外旅游人数矩阵：

                  （6.1）

对数据进行分析时，可将上述矩阵化为一行向量：

       （6.2）

将用matlab描点连线，画出图像如下：

图6.1各月接待的海外旅游人数

由图可看出，每一年各月海外旅游人数近似于周期数列，只是后一年单月比前一年同月几乎均有一定程度的增长，且可以看出在同一年中各月海外旅游人数却没有太大关联。可以将每一年同一个月的海外旅游人数进行分析比较，运用三次多项式拟合法对某一年12个月的数据用三次多项式

                  （6.3）

进行拟合，发现部分月份同比接待旅客人数有所减少。由2003年的和实际中国的经济发展程度可推测，当年各月接待海外游客人数理论上同比是不会减少的，所以建立此类模型是不合适的。经过分析及多次实验，发现使用二次多项式拟合比较合理。

1.用多项式拟合

         （6.4）

令，通过程序计算（见附录5.1），可得每月的拟合函数为（以下显示部分结果）：

从而拟合出2003年每一个月接待游客的人数，以2003年7月和8月的拟合曲线为例，画出图形如下：

图6.2各年7月接待游客拟合曲线     图6.3各年8月接待游客拟合曲线

上图拟合较好且符合实际，根据此模型，通过程序（见附录程序），可得到2003年1-2月各月预测接待的外国游客人数如下：

表6.1  多项式拟合出的各月接待外来游客数

2．用最小二乘法拟合

通过对数据进行观察，由前面的分析可知，样本数据是具有周期性的，可以看作以一年（12个月）为一个周期，后一个周期数据总体比前一个周期都有明显的增加。可以使用傅立叶级数与线性函数的叠加作为目标函数：

          （6.5）

运用最小二乘法，编写程序计算出目标函数（程序见附录5），所得函数如下：

（6.6）

通过上式画出图像：

图6.4 各月接待的海外旅游人数原始数据与拟合曲线对比图

其中，浅色虚线为原始样本数据，深色实线为拟合曲线。由于2003年发生SARS疫情，所以所得到的结果有较大偏差。由拟合函数可以得到2003年1-12月的预测值，结果如下：

表6.2  用最小二乘法拟合出的各月接待外来游客数

              （6.7）

计算得2003年1-12月每个月预测接待的人数与实际人数的差值，可解得2003年3-8月，北京市因为SARS造成的接待外来游客人数总的减少量为113.5492万人，与通过泰勒级数模型求得的人数相差仅8万人，可证明此模型的正确性。

经查询，可估计2003年北京市游客人均消费1035美元，通过

                      （6.8）

经计算北京市旅游业因此造成的直接经济损失约为11.752亿美元。

对北京市在2003年3-8月旅游业损失的游客人数进行分析，用二次多项式进行拟合（程序见附录5），拟合函数为：

             （6.9）

七、模型对比分析

将以上三种模型对接待海外旅游人数的预测结果总结如下：

表7.1  三种模型预测结果总结表

图7.1  模型预测结果总结图

由图7.1可得如下结论：

1、灰色预测、最小二乘法、多项式拟合三种模型均能反映SARS疫情对接待海外旅游的人数有大幅度的影响，仅仅是影响的幅度被预测的不同。

2、三种模型预测趋势基本相同，其中，多项式拟合与灰色预测的曲线基本相同，可初步判定其预测的结果可靠。

3、实际值的曲线较三种模型的预测曲线统计的人数要少很多，表明SARS疫情对接待海外旅游的人数影响很大，严重影响了中国旅游业的发展。

4、实际值的曲线与三种模型的预测曲线进行比较，发现从4月份，旅游人数开始减少，直到11月份，旅游人数才与预测旅游人数基本持平，说明SARS疫情在4-11月份之间对旅游业有较大影响。

八、参考文献

[1]韩中庚,数学建模方法及其应用(第二版),北京:高等教育出版社,2005

[2]许国根 贾瑛,模式识别与智能计算的MATLAB实现,北京:北京航空航天大学出版社,2012