微分方程习题及答案

                       微分方程习题

                         §1   基本概念

1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）

（2）

2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）

（1）；

（2）.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。

（3）曲线上的点P处的切线与y轴交点为Q, PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。

                         §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

2．求下列微分方程的特解

（1）；

（2）

3. 求下列微分方程的通解

（1）；

（2）.

4. 求下列微分方程的特解

（1）；

（2）.

5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程

（1）；

（2）

（3）

（4）

6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于轴的直线和轴所围城三角形面积等于常数.

7. 设质量为的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时速度为0，求物体速度与时间的函数关系.

8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化的规律，此人胰脏是否正常？

9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

               §3 一阶线性方程与贝努利方程

1．求下列微分方程的通解

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

2．求下列微分方程的特解

（1）；

 (2)

3．一 曲线过原点，在处切线斜率为，求该曲线方程.

4．设可导函数满足方程

，求.

5．设有一个由电阻，电感，电流电压串联组成之电路，合上开关，求电路中电流和时间之关系.

6．求下列贝努利方程的通解

 (1) 

（2）

（3）

（4）

                   §4 可降阶的高阶方程

1.求下列方程通解。

；（2）；

（2）

3．求的经过且在与直线相切的积分曲线

4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.

证明：可推出是线性函数；可取正或负

5．弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为，出板速度为，设弹在板内受到阻力与速度成正比，问弹穿过钢板的时间是多少？

                   §5 高阶线性微分方程

1.已知是二阶线性微分方程的解，试证是的解

2.已知二阶线性微分方程的三个特解，试求此方程满足的特解.

3．验证是微分方程的解，并求其通解.

                   §6 二阶常系数齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

2．求下列微分方程的特解

（1）

（2）

（3）

3.设单摆摆长为，质量为，开始时偏移一个小角度，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间变化的规律.

4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒周期为2s，求浮筒质量.。

5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.

                    §7 二阶常系数非齐次线性微分方程

1.求下列微分方程的通解

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

2．求下列微分方程的特解

（1）；

（2）

3.设连续函数满足    求.

4.一质量为的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为），求此物体之运动规律.

5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.

6.大炮以仰角、初速发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.

                §8 欧拉方程及常系数线性微分方程组

1.求下列微分方程的通解  

（1）；

（2）.

2．求下列微分方程组的通解

（1）

（2）

                        自测题

1.求下列微分方程的解。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

2．求连续函数，使得时有.

3．求以为通解的二阶微分方程.

4．某个三阶常系数微分方程 有两个解和，求.

5．设有一个解为，对应齐次方程有一特解，试求：

（1）的表达式；

（2）该微分方程的通解.

6．已知可导函数满足关系式：

  求.

7．已知曲线上原点处的切线垂直于直线，且满足微分方程，求此曲线方程.

             微分方程习题答案

                        §1   基本概念

1．验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.

（1）

故所给出的隐函数是微分方程的解

（2）.

解：隐函数方程两边对x求导

方程两边再对x求导

指数函数非零，即有

故所给出的隐函数是微分方程的解

2．已知曲线族，求它相应的微分方程（其中均为常数）

（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）

（1）；

（2）.

3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

解：设曲线为 y = y ( x )则曲线上的点处的切线斜率为，由题意知所求方程为

（2）曲线在点P处的法线x轴的交点为Q,，PQ为y轴平分。

解：曲线上的点处法线方程：。

故法线x轴的交点为Q坐标应为，又PQ为y轴平分，故，

便得曲线所满足的微分方程：

（3）曲线上的点P处的切线与y轴交点为Q, PQ长度为2，且曲线过点（2，0）。

解：点P处切线方程： 

故Q坐标为，则有

则得初值问题为： 

                       §2可分离变量与齐次方程

1．求下列微分方程的通解

（1）；

解:分离变量

（2）；

解:分离变量

其中

（3）；

解: 分离变量得

其中

（4）.

解：分离变量得

其中

2．求下列微分方程的特解

（1）；

（2）

解：分离变量得 

，其中，

由得，故特解为

3．求下列微分方程的通解

（1）；

解：方程变形为齐次方程，，则，故原方程变为，分离变量得，两边积分，即，故，得

，其中

（2）.

解：方程变形为齐次方程，令则，故原方程变为，分离变量得

，两边积分，即，即，

得

其中

4．求下列微分方程的特解

（1）；

解：原方程化为，令则，故原方程变为，分离变量得

两边积分，即，得

其中，由得，故特解为

（2）.

解：原方程可化为令则，故原方程变为分离变量得两边积分，即得即得，即，又得特解为

5．用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程

（1）；

解：令则，原方程变为，分离变量并积分得

故方程通解为

（2）

解：则，原方程变为，分离变量并积分，即

得，得，即，其中故方程通解为

（，其中）

（3）

解：，则，原方程变为，分离变量并积分得

故方程通解为

（4）

解：则，原方程变为，分离变量并积分，

得，即其中

（分析原方程可变形为，故令）

（，，

其中）

6．求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于轴的直线和轴所围城三角形面积等于常数.

解：曲线点P（x, y）的切线方程为：

该曲线与x轴交点记为B，则B坐标为，

过点P（x, y）平行于轴的直线和轴交点记为A，则A坐标为

故三角形面积为

即有微分方程

当时用分离变量法解得

当时用分离变量法解得

7．设质量为的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时速度为0，求物体速度与时间的函数关系.

8．有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉染色，现内科医生给某人注射了0.3g染色，30分钟后剩下0.1g，试求注射染色后分钟时正常胰脏中染色量随时间变化的规律，此人胰脏是否正常？

解: t以分为单位,因此,每分钟正常胰脏吸收40%染色可得

通解为:    

加以初始   p(0)=0.3,

便可求出  p(t)=0.3e及p(30)=0.3e

然后与实测比较知,此人胰脏不正常.

9.有一容器内有100L的盐水，其中含盐10kg，现以每分钟3L的速度注入清水，同时又以每分钟2L的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

解：设时刻容器内含盐，，由于时刻容器内液体为：100+，因此时刻容器内浓度为：.于是在时刻盐的流失速度为：，从而有满足的方程为：

初始化条件为:

                 §3 一阶线性方程与贝努利方程

1．求下列微分方程的通解

（1）；

解：法一：常系数变易法：解齐次方程，分离变量得，

积分得，即，其中（注：在常系数变易法时求解齐次方程通解时写成显式解；

其中。

设非齐次方程有解，代入非齐次方程有，即，

故，非齐次微分方程的通解

法二（公式法）

（2）；

故

（

（3）；

解：方程变形为

故

即，其中

（4）；

解：方程变形为，

故

即

（分部积分法：）

（5）

解：两边同乘得，即，

故令，则原方程变为

故，即

得

即原方程通解为

（用分部积分法积分）

2．求下列微分方程的特解

（1）；

解：

 (2)

解：

3．一 曲线过原点，在处切线斜率为，求该曲线方程.

解：由题意可得：

于是：

由得，故曲线方程为

4．设可导函数满足方程

，求.

解：问题为初值问题

该微分方程为线性微分方程故

又得，故

5．设有一个由电阻，电感，电流电压串联组成之电路，合上开关，求电路中电流和时间之关系.

解：由及可得：问题为初值问题

该微分方程为线性微分方程故

又得，故

（分部积分法积）

6．求下列贝努利方程的通解

 (1) 

解：原方程变形为，令，则，

故原方程变为线性微分方程

故

贝努利方程的通解为

（2）

原方程变形为，令，则

故原方程变为线性微分方程

故

贝努利方程的通解为

（3）

解：方程变形为，令，则

故原方程变为线性微分方程

故

贝努利方程的通解为，即

（4）

解：方程变形为，令，则

故原方程变为线性微分方程

故

贝努利方程的通解为

                  §4 可降阶的高阶方程

1．求下列方程通解。

2．

解：令，则，原方程变为线性微分方程

故

故

即

（2）；

解：令，则，原方程变为可分离变量的微分方程，

分离变量积分得，得

故，即

解：令，则，原方程变为可分离变量的微分方程

若，即，故

若，分离变量积分，得，

即，分离变量积分，得

解：令，则，原方程变为可分离变量的微分方程

分离变量积分，得，即，

变形得，分离变量积分

即得，即

即

解：令，则，原方程变为可分离变量的微分方程

由，知分离变量积分得，得

即，分离变量积分得，由得

故特解

（2）

解：令，则，原方程变为线性微分方程

故

由得，即

故，由得，

故特解为

3．求的经过且在与直线相切的积分曲线.

解：由题意，原方程可化为：

4．证明曲率恒为常数的曲线是圆或直线.

证明：可推出是线性函数；可取正或负）

用作自变量，令得：

  ，

   ，

从而  

   ，

，

再积分：

  ，

，

.

5．弹垂直射穿厚度为的钢板，入板速度为，出板速度为，设弹在板内受到阻力与速度成正比，问弹穿过钢板的时间是多少？

解：由方程，

可得   ，

再从   ，

得到    ，

根据   ，

可得   ，

                       §5 高阶线性微分方程

1．已知是二阶线性微分方程的解，试证是的解

3．已知二阶线性微分方程的三个特解，试求此方程满足的特解.

解：；是齐次微分方程的解，

且常数，故原方程通解为

由得，即特解为

3．验证是微分方程的解，并求其通解.

                   §6 二阶常系数齐次线性微分方程

1．求下列微分方程的通解

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

解：特征方程为，即得

即特征方程为有二重共轭复根

故方程通解为

2．求下列微分方程的特解

（1）

（2）

（3）

3.设单摆摆长为，质量为，开始时偏移一个小角度，然后放开，开始自由摆动.在不计空气阻力条件下，求角位移随时间变化的规律.

解：在时刻，P点受力中垂直于摆的分量为： ，如图：

此为造成运动之力.而此时线加速度为，故有.

从而方程为：，

初始条件：，，

解得通解为：

特解为：

4. 圆柱形浮筒直径为0.5m ，铅垂放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下震动，周期为2s，求浮筒质量.

解：建立如图所示的坐标系，

取圆筒在平衡时（此时重力与浮力相等）筒上一点为坐标原点，设筒在上下振动时该点位移为，则有.其中为由于筒离开平衡位置后产生的浮力：.

由此可得振动方程：

该方程的通解为

根据周期为，获得

解出    .

5.长为6m的链条自桌上无摩察地向下滑动，设运动开始时，链条自桌上垂下部分长为1m，问需多少时间链条全部滑过桌面.

解：坐标系如图，原点于链尾点，链条滑过的方向为x轴的正方向建立坐标系，

于是,

由  ，

观察得一特解：，

于是通解为：

求，由，

得：＝

                 §7 二阶常系数非齐次线性微分方程

1．求下列微分方程的通解

（1）；

解：特征方程为，特征根为，

故对应齐次方程通解为

本题中是特征方程的单根，故可设原方程有特解

代入原方程有

得

故原方程通解为

（2）；

解：特征方程为，特征根为，

故对应齐次方程通解为

本题中不是特征方程的根，故可设原方程有特解

代入原方程有

得

故原方程通解为

（3）；

解：特征方程为，特征根为，

故对应齐次方程通解为

构造复方程

复方程中不是特征方程的根，故可设复方程有特解

代入复方程得

得

故复方程有特解

故复方程特解的实部为原方程的一个特解，

故原方程的通解为

（4）；

解：原方程即为 

特征方程为，特征根为，

故对应齐次方程通解为

显然有特解

对构造复方程

设复方程有特解，代入复方程有

得，即复方程有特解

故有特解，

所以原方程有特解

故原方程有通解

（5）.

解：特征方程为，特征根为

故对应齐次方程通解为

对，

是特征方程的单根，可设有特解

解得

对，

是特征方程的单根，可设有特解

解得

故是原方程的一个特解

故原方程通解为

2．求下列微分方程的特解

（1）；

（2）

解法一：原方程即为

特征方程为，特征根为，

故对应齐次方程通解为

构造复方程

复方程中不是特征方程的根，故可设复方程有特解

代入复方程得

得

故复方程有特解

故复方程特解的虚部为原方程的一个特解，

故原方程的通解为

由得特解

2．设连续函数满足    求.

解:由题意有

特征方程为，特征根为

故对应齐次方程通解为

不是特征方程的根，故可设原方程有特解

解得

故原方程的通解为

由得本题解为

（注

4.一质量为的质点由静止开始沉入水中，下沉时水的反作用力与速度成正比（比例系数为），求此物体之运动规律.

解：取坐标系如图：

设时刻该质点离水平面为，其加速度为，所受的力为，便得满足的微分方程为：

5.一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，若不计摩擦力，求链条全部滑下所需时间.

解：考查链条的末端（在8米处）记为P，坐标系如图：

在时刻P坐标为，于是.时刻链条所受的合力是：

   是链条线密度）

整个链条的质量为：

由，得

，

，（有特解）

求出通解  

然后由解出全部滑落的时间

（秒）

6.大炮以仰角、初速发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线.

解：取坐标系如图. 

设弹道曲线为，时刻受力为：

（0，），

即，

有，

分别可以解得：

                §8 欧拉方程及常系数线性微分方程组

1．求下列微分方程的通解  

（1）；

（2）.

2．求下列微分方程组的通解

（1）

（2）

                        自测题

1．求下列微分方程的解

（1）；

解：令则，原方程变为可分离变量的微分方程，

分离变量积分即，得，故原方程通解为

（2）；

解：原方程变形为伯努力方程

令，则化为线性方程

故得，

故

法二：

；

（3）；

；

（4）.

2．求连续函数，使得时有.

解：由题意有， 即为线性齐次方程

故

（注令，则变为 

）

3．求以为通解的二阶微分方程.

4．某个三阶常系数微分方程

有两个解和，求.

.

5．设有一个解为，对应齐次方程有一特解，试求：

（1）的表达式；

（2）该微分方程的通解.

；

6．已知可导函数满足关系式：

  求.

解：由题意得即

分离变量积分得

由得，故，即

7．已知曲线上原点处的切线垂直于直线，且满足微分方程，求此曲线方程.