初中数学校本课程探秘生活中的数学 - 副本

年级：初  二

学科：数  学

姓名：   XXX 

第一部分课程标准

1、课程目标…………………………………………………………………2

2、内容标准…………………………………………………………………2

3、实施建议…………………………………………………………………2

4、课程评价…………………………………………………………………2

第二部分课程内容

第1节：生活中的轴对称……………………………………………………3

第2节：设计花坛……………………………………………………………6

第3节：几何就在你的身边…………………………………………………7

第4节：频率与概率…………………………………………………………8

第5节：建议班级购买一台饮水机…………………………………………11

第6节：巧用数学看现实……………………………………………………12

第7节：怎样烧开水最快最省煤气…………………………………………13

第8节：探索出租车的生意经………………………………………………16

第9节：怎样列分式方程解应用题…………………………………………18

第一部分  课程标准

一、课程目标

（1）让学生增长见识，开阔眼界，体验生活中的数学；

（2）提高学生应用数学知识解决有关问题的能力；

（3）培养学生观察、分析能力，充分发挥学生的创造性；

（4）开发学生潜能，展示自己研究成果，培养学生成功心态。

二、内容标准

     在生活中学数学，以学生生活中实实在在的鲜活材料来吸引学生对科学的兴趣。我们选取的都是从学生生活实践中取材，将数学知识巧妙地运用于生活之中，增加了学生对数学的兴趣，培养良好的科学态度和正确价值观的目标。满足学生已有的兴趣和爱好，又要激发和培养学生新的兴趣和爱好，要求和鼓励学生投入生活，亲身实践体验。更好的培养学生提出问题、分析问题、解决问题的素质和能力。使学生成为学习的主人，学有兴趣，习有方法，必有成功。学生的个性在社会活动中得以健康发展，学生的潜能在自学自育中得到充分开发。

三、实施建议

1．实施方法

     讲授法    合作交流法      

2. 开讲场所

    待定

3. 学生人数

     46人

4. 配套设施

多媒体  黑板

四、课程评价

根据日常出勤情况和课堂表现情况对学生们进行综合评价。

        第二部分    课程内容

第一节 生活中的轴对称

我们生活在一个充满对称的世界之中，对称给人以平衡与和谐的美感。这节课先来认识生活中的轴对称。1、欣赏生活中的轴对称图片。

（以生活中尽可能多的丰富实例，让学生欣赏并体会轴对称图形，发展学生审美能力、鉴赏能力）

2、观察特点、形成概念

[问题1]：这些美丽的图形来自生活，细心观察之后，你能发现这些图形有什么共同特征么？用自己的语言描述。

（鼓励学生积极用自己的语言概括图形的共同特征。）

[问题2]：举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴交流。

（给学生一定的思考交流时间，鼓励学生从自己的生活经验出发，列举符合对称特征的物体，并进行广泛交流，进一步体会轴对称图形的特点。）

板书轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做这个图形的对称轴。

你能自己动手做出一些具有轴对称特征的图形么?

1、做教材中的“剪纸”活动。

把一张纸对折，然后从折痕处剪出一个图形，想一想展开后会是一个什么样的图形。

观察图案，位于折痕两侧的部分有什么关系，并与同伴交流。

2、作“印墨迹”实验。

在纸上滴几滴墨水，把纸张对折，随后打开，看看形成的两块墨迹是不是关于折痕对称？它的对称轴是什么呢？

观察探究、相互交流。

（动手实践、自主探索与合作交流是学生进行有效的数学学习活动的重要方式，在教学中，注重学生的活动，鼓励人人亲身经历与实践，积极思考，更体会活动的乐趣，培养学生的空间观念、动手能力。）

3、类比观察，发现区别

再向学生展示几组图案，如：两扇门、两只小脚印等。

观察每组图案，你发现了什么？与大家交流。

（在学生的发现中，使学生进一步体会轴对称现象的特点，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别，学生理解即可，暂不深究。）

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果他能够与另一个图形重合，就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

轴对称图形和两个图形成轴对称的区别：

（鼓励学生自己寻找对称轴，再动手操作验证，将活动内容转向对对称轴的探索。）

2、你能折出准备好的每一个图形的对称轴么？

（让学生把自己手中准备好的正方形、长方形、等腰三角形、圆等图片试着从不同方向折一折，看看各有几条对称轴。）

综合练习、巩固应用、课外拓展

1、请采用任意一种方式（剪纸、印墨迹等）自己设计一个具有特色的轴对称图形。

（鼓励学生发挥想象，进行不同的创作。）

2、生活中的轴对称图形随处可见，我们每天使用的数字、字母和汉字中也有一些可以看成是轴对称图形，你能识别它们么？并能说出他们的对称轴么？

(1)下面的数字或字母里，哪些是轴对称图形？他们各有几条对称轴？

01234567

ABCDEFGHIJK

(2)你能发现哪些汉字可以看成是轴对称图形么？

口工用中由水日甲田

（体会生活中无处不在的轴对称现象，共同品味中国文字的对称美，弘扬中国文化。

中考中的轴对称

  例1  （2006年无锡市）在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（　　）

  解析：本题主要考查轴对称图形的识别：一个图形如果沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则可判定该图形是轴对称图形。观察四个图形，易知只有B中图案不是轴对称图形。

  二、确定轴对称图形的对称轴的条数

  例2 （2006年泰安市）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（　　）

  解析：A中图形对称轴有4条，B中图形对称轴有6条，C中图形对称轴有3条，D中图形对称轴有2两条，故对称轴最多的应选B.

三、有关轴对称的图案设计

例3   （2006年荣成市）图1是由5张大小相同的正方形纸片拼成的图形.现只移动1张纸片,使5张纸片组成轴对称图形,要求每张纸片至少有2个点与其余纸片相连,但

纸片彼此不覆盖,请画出尽可能多的不同形状的图形.                             

  解析：借助空间想象或动手操作，可画出下列图形供参考。

  四、利用轴对称的性质解题

  例4  （2006年梅州市）小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（　　）

解析：平面镜成像的原理：镜子中的像与原来的物体成轴对称；物体正对镜子放置时，镜子中的像改变了原来物体的左、右位置，即像与物体左、右位置互换 。故实际时间最接近8时的是图中的B.

例5  （2006年永春县）如图3，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分

别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AE D′=        度。

  解析：因为AD∥BC,所以∠EFB=∠DEF=650,由轴对称性质得∠DEF=∠D´EF＝650。

所以∠AED´=1800-∠DEF=∠D´EF = 180 0 -650 -65 0  =50 0.

第二节

设计花坛

　　有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的二分之一，问如何设计？

　　活动过程

　　1．学生以小组为单位，分小组讨论．

　　2．学生分小组汇报．

　　3．全班共同评选最佳设计．

　　参

第三节

几何就在你的身边

初学几何时，你往往会感到这门学科枯燥乏味，有的知识似曾相识，似懂非懂；有的知识则似乎很“玄”，离我们很远!其实，日常生活中有几何，几何就在你的身边。

当你骑自行车时，想过自行车的轮子为什么是圆形的，而不能是“鸡蛋形”的呢?因为“圆”形的特性可以使自行车平稳地前进；自行车的轮于有大有小，可供人们选择；两个 轮子装的位置必须装得恰当，骑时会感到方便。这说明：物体的形状、大小、位置关系与日常生活有着紧密的联系，这也正是几何这门学科所要研究的。

当你把一张长方形的纸裁成一个正方形时，你想过这里面有几何知识吗?

如果把正方形折成相等的两部分，除了图2中所示的四种折法外，你还能想到其他的折法吗?不妨试试：过四条折痕相交的那个点“· ”，任意地折一条线，看看这样把正方形分成的两部分也一样吗?

当你走进用砖块铺地的房间时，你注意到这些砖块的形状吗？有的是等边三角形的，有的是长方形或正方形的。

其实，任意形状的四边形砖块也能把地面拼得没有缝隙，请看图3 。

这又将告诉我们几何中的一个重要结论(四边形的四个角的大小之和恰好等于360度)，这个结论，与小学数学里学过的“三角形的三个角之和等于180度°又有着紧密的联系。

如果有兴趣的话，请你剪两块同样的直角三角形纸片，然后把两块纸片拼合成一个图形，你能拼出6种不同的图形吗？这里又包含了许许多多的几何知识。比如，当你拼成一个等腰三角形时，就不难知道：等腰三角形可以分成两个同样的直角三角形，中间的那条线位置很特殊，今后研究等腰三角形时常常要用到它！

第四节

频率与概率

问题引入：对于前面的摸牌游戏， 在一次试验中，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌的数字为几的可能性大？如果摸得第一张牌的牌面数字为2呢？（由此引入课题，然后要求学生做实验来验证他们的猜想）

做一做：

       实验1：对于上面的试验进行30次，分别统计第一张牌的牌面字为1时，第二张牌的牌面数字为1和2的次数。

       实验的具体做法：每两个人一个小组，一个负责抽纸张，另一个人负责记录，

       如：1  2  2  1---------(上面一行为第一次抽的)

           2  1  2  1---------（下面一行为第二次抽的）

议一议：

小明的对自己的试验记录进行了统计，结果如下：

因此小明认为，如果摸得第一张牌面数字为1，那么摸第二张牌时，摸得牌面数字为2的可能性比较大。你同意小明的看法吗？

让学生去讨论小明的看法是否正确，然后让学生去说说自已的看法。

想一想：

对于前面的游戏，一次试验中会出现哪些可能的结果？每种结果出现的可能性相同吗？

小颖的看法：

小亮的看法：

实际上，摸第一张牌时，可能出现的的结果是：牌面数字为1或2，而且这两种结果出现的可能性相同；摸第二张牌时，情况也是如此，因此，我们可以用下面的“树状图”或表格来表示所有可能出现的结果：

开始

第一张牌的面的数字：     

第二张牌的牌面数字：        

可能出现的结果（1，1）（1，2）（2，1）（2，2）

（2，1）（2，2），而且每种结果出现的可能性相同，也就是说，每种结果出现的概率都是1/4。

利用树状图或表格，可以比较方便地求出某些事件发生的概率。

例1：随机掷一枚硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？

总共有4种结果，每种结果出现的可能性相同，而至少有一次正面朝上的结果有3种：（正，正）（正，反）（反，正），因此至少有一次正面朝上的概率为3/4。

第二种解法：列表法

第二个硬币的面

1．从一定高度随机掷一枚硬币，落地后其朝上的一面可能出现正面和反面这样两种等可能的结果。小明正在做掷硬币的试验，他已经掷了3次硬币，不巧的是这3次都是正面朝上。那么你认为小明第4次掷硬币，出现正面的可能性大，还是出现反面的可能性大，是不是一样大？说说你的理由，并与同伴进行交流。

第五节

 建议班级购买一台饮水机

在炎炎夏日里，同学们遇到的难事就是饮水问题，为了使同学们过一个卫生清洁的夏季，班级决定出钱买一台饮水机，而每人又应出多少钱呢？即使买了饮水机，是否比过去每个学生每天买矿泉水更节省、更实惠？下面就来解答这个问题。

一、学生矿泉水费用支出

中学共有37个班级，假设每班学生平均为60人，那么全校就有60×37=2220（人）。一年中，学生在校的时间（除去寒暑假双休日）大约为240天，设春季、夏季、秋季、冬季、各为60天，在班级没有购买饮水机时，学生解渴一般买矿泉水，设矿泉水每瓶为一元，学生春秋季每人二天1瓶矿泉水，则总共为60瓶。夏季每人每天1瓶，则总共也为60瓶，冬季每人每4天1瓶，总共为15瓶，则全年平均每名学生矿泉水费支出：

                  60+60+（60÷4）×1=135(元)；

　　全班学生矿泉水费用

       135×60=8100(元)； 

　　全校学生矿泉水费用

        8100×37=299700(元)；

二、使用饮水机费用

　　一台冷热饮水机的价格约为750元，1字牌大桶矿泉水为每桶10元，现每班都配备饮水机。设每班春、季两季、每2天1桶，则需60桶，夏季每天2桶，则需120桶，冬季每6天1桶，则每班需20桶，则一学年每班需要“60+120+20=200（桶），一学生每班水费为200×10=2000元。

　　电费折合为每学年每班为300元。

　　则一学年配置饮水机每班水电费2300元。所以，一学年每班饮水机等合计约为

　　2300+750÷3=2550元；

　　每个学生平均一学年的水电费为

　　2500÷60=42.5元；

　　中学全校全年饮水机等费用约为

　　37×2550=94350元；

　　显然，通过计算，比较两项开支费用，各班购买一台饮水机要经济实惠得多，一学年每个学生可以节省：135-42.5=92.5元；

　　每个班一学年可节省：

   92.5×60=5550元；

　　全校一学年可节省：

     5550×37=205350元。

　　205350元，一个了不起的数据，而我们每天又可以喝上卫生清洁、冷暖皆宜的饮水机的矿泉水，等我们毕业时还可以把饮水机赠给下届同学，何乐而不为呢？我向学校提出倡议：在每个教室里配一台饮水机。

第六节

巧用数学看现实

在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？

　　在数学活动组里，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：

　　某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖 10000元 1名，一等奖1000元 2名，二等奖100元10名，三等奖5元200名，乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给销费者的实惠大？

　　面对问题我们并不能一目了然。于是我们首先作了一个随机调查。把全组的16名学员作为调查对象，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？

在实际问题中，甲商厚每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有。所以我们认为这个问题应该有几种答案。

　　一、若甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。

二、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，共 14000元（10000＋ 2000＋ 1000＋1000=14000）。假设两商厦提供的优惠都是14000元，则可求乙商厦的营业额为 280000元（ 14000 ÷ 5％=280000）。

　　所以由此可得：

（l）当两商厦的营业额都为280000元时，两家商厦所提供的优惠同样多。

（2）当两商厦的营业额都不足 280000元时，乙商厦的优惠则小于 14000元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是 14000元，优惠较大。

（3）当两家的营业额都超过280000元时，乙商厦的优惠则大于14000元，而甲商厦的优惠仍保持14000元时，乙商厦所提供的实惠大。

像这样的问题，我们在日常生活中随处可见。例如，有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量相同，开始定的价也相同。为了争取更多的用户，两站分别推出优惠。甲站的办法是实行七五折错售，乙站的办法是对客户自第二次换气以后以7折销售。两站的优惠期限都是一年。你作为用户，应该选哪家好？

这个问题与前面的问题有很大相同之处。只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可迎刃而解了。

随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩。买与卖，存款与保险，股票与债券，……都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利比和比例，利息与利率，统计与概率。运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。

　　作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题．这样才能更好地适应社会的发展和需要。

第七节

 怎样烧开水最快最省煤气

     老师说过，有人对家庭煤气的使用量做了研究，并且提出节省煤气的方案，我们觉得很意思，就利用业余时间在家里做了测量烧开水所需煤气量和所需时间的实验。　　

　　一、实验过程　　

　　我们仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮（以下简称旋钮）的位置为竖置方向，我们把这个位置定为0°，煤气开到最大时，位置为90°

（以0°位置作起始边，旋钮和起始边的夹角）。我们在0-90°中间平均分成五等份，代表不同的煤气流量，它们分别是18°，36°，54°，72°，90°，见图1。

图1

不同旋钮位置示意图

　　我们在这5个位置上，分别以烧开一壶水（3.75升，注入满瓶1.25升可乐瓶的水即可）为标准，记录所需的时间和所用的煤气量，数据见表1。

　　二、处理数据

　　煤气旋钮在不同位置时烧开一壶水（3.75升）所需的时间及煤气量

根据旋钮位置，以及煤开一壶水所需时间（用S表示）、所用煤气量（用V表示），我们可以算出不同旋钮位置所代表的煤气流量（用L表示）。结果如下：L=V/S。

　　旋钮的不同位置所代表的煤气流量

 　从上表可以看出，当旋钮开得越大时，代表流量（单位时间内从煤气阀门内流出的煤气量也越大。这样我们就可以来考虑煤气流量和烧开一壶水所需的时间及用气量之间的关系了。

　　图2　煤气流量和烧开一壶水所需煤气量关系图

　　图3　煤气流量和烧开一壶水所需时间关系图

从图2中可以看出，在5个不同流量的位置上，流量最大（0.017200／分钟）时，耗用的煤气量也最多为0.172。但是当流量最小（0.006842＝/分钟）时，耗用的煤气量并不是最小值，为0.130／分钟。流量为0.007625’／分钟时，即旋钮位置在36°时，烧开一壶水所耗用的煤气量为最少，为0.122。因此，根据图2各点的变化趋势，我们可以推测，烧开一壶水最省煤气的位置应该在18°一54°之间，靠近36°附近。

　　从图3中可以看出，在5个不同流量的位置上，流量最大时，最节省时间，所需时间为10分钟，流量减小，所需时间则延长，最长时间为19分钟。因此，如果不考虑煤气的用量，把煤气旋钮开到最大90°时，最省时。　

三、结论及对结论的分析

通过我们的实验，可以知道，用煤气烧水，最省时和最省气不能同时做到。　　

最省时的位置是流量最大的位置。

最省气的位置不是流量最小的位置，而是在0.006842－0.007625 /分钟即18°－54°之间的位置上，靠近36°附近。

四、体会

1．在做本次实验之前，我们曾经在0—90°之间只选取了3个位置来做实验，即火量最小的时候、适中的时候和最大的时候，并且没有准确的度数．所以，在进行数据分析时，不易进行，也不好画图，后来，在老师的启发下做了上述较准确的实验，并得出结论。　　

2．为了保证每次烧开水时，壶的起始温度一致，我们在做第一个位置18°时，预先将实验用壶烧同量的开水，并倒掉，然后再开始实验．这在最早实验时也没考虑，因为预热关系到结果的准确性．

3．学数学并不是那么难．在处理数据时，老师说，你可以考虑用图表示，我们想起近两年报纸上经常用两个垂直的数轴的图来说明一些事情的发展变化，就试着用它（后来老师说这叫直角坐标系和函数图象，是初三年级的数学知识），并做出了分析．现在，我们感到三年级的知识也没有什么，并且觉得数学很有意思．　　

4．在做实验之前，我们想象通气量越小越省煤气，但通过实验及分析发现事实并非如此．细一琢磨，如果通气量特别小，对壶体作用的温度不足100°C，那一辈子也烧不开水．所以，我们体会到下结论不能想当然，应该更信赖科学．

第八节

探讨出租车的生意经

　　一、问题的提出

　　改革开放二十年来，温州经济得到了迅速发展，老百姓的生活水平有了很大的提高，外出乘车“打的”已是相当普通的现象，出租车业的迅速发展，也从一个侧面证明温州经济的腾飞。车型从80年代的菲亚特、90年代奥拓，到现在的富康车；数量上从无到有，从少到多，到现在市区约有的4000多辆；起步价从原来5元（每四公里5元）到现在的10元，可以说出租车行业经历了一个健康、快速的发展过程。

　　温州人离不开出租车，但温州市区面积仅计三十几平方公里（现市区范围的规划正拓宽），加上道路狭窄，出租车司机常感叹生意难做。在市内营运时，为了避开乘车高峰期，司机们有时都要绕道而行，跳长途时，个别司机为了节省10元钱道路建设费，不惜被曝光、罚款的代价，想方设法“逃票”。面临如此窘境，作为业外人士我常想，到底如何营运才能使出租车司机获得最佳经济效益呢？

　　二、问题的调查与分析

　　温州现有出租车约4000辆，部分出租车愿意在机场，车站、码头、宾馆等固定的出租点接客，他们认为这样比在路上跑车接客相对轻松并且效益好些。为了提高出租车单车的运营效益。假设每辆车是24小时运营，司机可以轮换。经过调查，这些司机平均每天可接到四趟远途客，每次120元，总共花时约4小时，总收人为480元，在剩余的20小时，在市内出租点营业，平均每次等客5分钟，送客20分钟，返回15分钟，合计每40分钟做一次市内生意，一次市内生意为10元，则在固定站接客一天总收入为：

　　120×4＋20（小时）×1．5次／小时×10元／次=780元。

　　出租车跑的路程：长途返回每次平均为60km。市内返回每次为8km，

　　所以总营运里程为60×4＋30×8—480km。

　　假如全部在市内跑车接客，调查结果为空载跑车5分钟，接送客15分钟，平均每20分钟做一次市内生意，合计一天营业额为：

　　24（小时）×3次／小时×10元－720元。

　　出租车在市内跑平均每次5km，一天跑

　　24×3—72次，则一天总营运里程为72×5km=360km。

　　由此可以看出，大部分司机在申请到出租站点停车的条件下，总是愿意在出租站点接客，除了每天多赚钱14元外，另外每小时比跑车接客还可以多休息20分钟。

　　另一方面，由于出租车站点接客和跑车接客路程不同，油费也不同，现列表加以说明

怎样列分式方程解应用题

列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的，只是多了对分式方程的根的检验。这里的检验应包括两层含义：第一，检验得到的根是不是分式方程的增根；第二，检验得到的根是不是使实际问题有意义。

下面介绍怎样找等量关系从而列出分式方程进行解决几种常见的实际问题。

一、路程问题

这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。

例1  某校学生到离校15千米的科技馆去参观。男同学骑自行车出发2/3小时后，女同学才乘汽车前往，结果男、女同学同时到达。如果汽车的速度是自行车速度的3倍，那么自行车和汽车的速度各是多少？

分析：本题中的等量关系是

男同学所用的时间-2/3小时=女同学所用的时间                

如果设自行车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3 x 千米/小时，男同学所用的时间为15/x小时，女同学所用的时间为15/3x小时，由此我们可列出方程。

解：设自行车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是15/3x千米/小时，根据题意，得

              15/x-2/3=15/3x 

    解这个方程，得

                  x=15

    经检验，x=15是原方程的根。

    ∴ 3x=3*15=45（千米/小时）

答：自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度是45千米/小时。

[练一练]1、A、B两地相距60千米。甲骑自行车从A地出发到B地，出发1小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，且比甲早到3小时。已知乙的速度是甲的3倍，求甲、乙的速度。

二、工程问题

这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。它们的数量关系是：工作量=工作效率*工作时间。列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。

例2  某项工作，甲、乙两人合作3天后，剩下的工作由乙单独来做，用1天即可完成。已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。甲、乙单独完成这项工作各需多少天？

分析：本题中的等量关系是

        甲的工作量+乙的工作量=总工作量

如果设甲单独完成这项工作需要x天，则乙单独完成这项工作需要 2x天。甲完成的工作量是 3/x,乙完成的工作量是4/2x，由此我们可列出方程。

解：设甲单独完成这项工作需要x天，则乙单独完成这项工作需要2x天，根据题意，得

                  3/x+4/2x=1

      解这个方程，得

                    x=5

      经检验，x=5是原方程的解。

      ∴ 2x=2*5=10(天)

   答：甲单独完成这项工作需要5天，乙单独完成这项工作需要10天。

   这道题还可以根据等量关系：甲、乙合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=总工作量来列方程。同学们可以自己试一下，看能否解出来。

[练一练]2、某校八年级（一）班和（二）班的同学，在双休日参加义务植树的社会实践活动。已知（一）班比（二）班每小时多植树20棵，（一）班植树660棵所用的时间与（二）班植树600棵所用的时间相等。（一）、（二）两班学生每小时各植树多少棵？

三、销售问题

销售问题是近几年来新增加的题型，解决这类问题，首先要弄清一些有关的概念：

商品的进价：商店购进商品的价格；

商品的标价：商店销售商品时标出的价格；

商品的售价：商店售出商品时的实际价格；

利润：商店在销售商品时所赚的钱；

利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分率；

打折：商店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。

其次，还要弄清它们之间的关系：

商品的售价=商品的标价*商品的打折率；

商品的利润=商品的售价-商品的进价；

商品的利润率=商品的利润/商品的进价。

在解决这类问题时，我们只要运用这些关系就能正确求解。

例3  某超市销售一种钢笔，每枝售价为12元。后来，钢笔的进价降低了4%，从而使超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。这种钢笔原来每枝进价是多少元？

分析：本题中的主要等量关系是

      进价降低前的利润率+5%=进价降低后的利润率

如果设这种钢笔原来每枝的进价为x元，那么进价降低前的利润率为(12-x)/x，进价降低后的利润率为[12-(1-4%)x]/(1-4%)x，由此我们可以列出方程。

解：设这种钢笔原来每枝的进价为x元，根据题意，得

                   (12-x)/x+5%= [12-(1-4%)x]/(1-4%)x

解这个方程，得

                      x=10

        经检验，x=10是原方程的解。

答：这种钢笔原来每枝的进价为10元。

[练一练]3、小张购进20张IC卡，以每张15元的价格出售，当剩下最后两张时，为了及时售完，小张只得按进价售出，这样，利润率就比全部以15元的价格出售降低了2.5%。求每张IC卡的进价。