一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知，则下列比例式成立的是
A． B． C． D．
2．（4分）已知为锐角，且，那么等于
A． B． C． D．
3．（4分）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为
A． B． C． D．
4．（4分）中，，、所对的边分别为、，下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
5．（4分）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是
A． B．， C． D．，
6．（4分）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果的面积为10，且，那么点的位置可以在
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果线段是线段、的比例中项，且，，则 ．
8．（4分）计算： ．
9．（4分）如图，已知，若，，则 ．
10．（4分）在中，，如果，，那么 ．
11．（4分）如图：、相交于，且，若，，，则 ．
12．（4分）如图，在梯形中，，，，如果，，那么长是 ．
13．（4分）如图，已知点是的重心，那么 ．
14．（4分）已知在平行四边形中，点、分别是边、的中点，，，那么关于、的分解式是 ．
15．（4分）如图，在中，点、分别在、上，，若，，则 ．
16．（4分）如图， 已知是等边三角形， 点是上一点， 点为上一点，，，，则的边长为 ．
17．（4分）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于 ．
18．（4分）如图，在中，，，，是的中位线，点是边上一点，，点是线段上的一个动点，连接，，与相交于点．若是直角三角形，则的长是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
20．（10分）如图，已知点、分别在的边、的延长线上，且，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21．（10分）如图，矩形中，点、分别在边、上，且，，交于，设，．
（1）用、表示： ；
（2）在原图中作出向量分别在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．
在方向上的分向量是 ；在方向上的分向量是 ．
22．（10分）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：如图1，已知在中，，，，求的正切值．
小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为中画出格点三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和相似的，从而使问题得以解决．
请利用小华的方法求的正切值．
23．（12分）已知：如图，四边形的对角线和相交于点，，，求证：
（1）；
（2）．
24．（12分）如图，在中，、分别为、边上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
25．（14分）如图， 已知菱形，，点是边延长线上一点， 联结交延长线于点，联结交于点，联结交、于点、，设，．
（1） 用含的代数式表示；
（2） 求关于的函数解析式， 并写出它的定义域；
（3） 当与相似时， 求的值 ．
参与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知，则下列比例式成立的是
A． B． C． D．
【解答】解：、，可以化成：，故此选项错误；
、，可以化成：，故此选项正确；
、，可以化成：，故此选项错误；
、，可以化成：，故此选项错误．
故选：．
2．（4分）已知为锐角，且，那么等于
A． B． C． D．
【解答】解：，为锐角，
．
故选：．
3．（4分）如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的相似比为
A． B． C． D．
【解答】解：两个相似三角形面积的比为，
它们的相似比．
故选：．
4．（4分）中，，、所对的边分别为、，下列式子中，正确的是
A． B． C． D．
【解答】解：，、、所对的边分别为、、，
、，则，故本选项错误，
、，则，故本选项错误，
、，则，故本选项错误，
、，则，故本选项正确，
故选：．
5．（4分）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定的是
A． B．， C． D．，
【解答】解：、由，可以推出．本选项不符合题意；
、由，，可以推出．本选项不符合题意；
、由，不可以推出．本选项符合题意；
、由，，可以推出．本选项不符合题意；
故选：．
6．（4分）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果的面积为10，且，那么点的位置可以在
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【解答】解：过点作直线于点，如图所示．
，的面积为10，
．
，
，
，
点在点处．
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果线段是线段、的比例中项，且，，则 4 ．
【解答】解：线段是、的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
．
故答案为4．
8．（4分）计算： ．
【解答】解：原式，
故答案为．
9．（4分）如图，已知，若，，则 ．
【解答】解：，
，即，
解得，，
故答案为：．
10．（4分）在中，，如果，，那么 4 ．
【解答】解：如图所示，
在中，，，，
，
则，
故答案为：4．
11．（4分）如图：、相交于，且，若，，，则 ．
【解答】解：，，
；
，即，
又，，，
12．（4分）如图，在梯形中，，，，如果，，那么长是 ．
【解答】解：，，，
，，
，
，而，，
．
故答案为．
13．（4分）如图，已知点是的重心，那么 ．
【解答】解：延长交于，
点是的重心，
，，
，，
，
，
故答案为：．
14．（4分）已知在平行四边形中，点、分别是边、的中点，，，那么关于、的分解式是 ．
【解答】解：如图：
连接，
点、分别是边、的中点，
，即，
，
又，，
．
故答案为：．
15．（4分）如图，在中，点、分别在、上，，若，，则 ．
【解答】解：的边上的高和的边上的高相等，
又，，
，
，
，
．
故答案为：．
16．（4分）如图， 已知是等边三角形， 点是上一点， 点为上一点，，，，则的边长为 9 ．
【解答】解： 设，
是等边三角形， 且，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，即的边长为 9 ，
故答案为： 9 ．
17．（4分）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于 2或1 ．
【解答】解：设最小角为，则最大角为，
当顶点为时，则，解得，所以此三角形为等腰直角三角形，此三角形的面积；
当顶点为时，则，解得，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，如图，，，
作于，在中，，
，
三角形的面积，
综上所述，该三角形的面积等于1或2．
故答案为1或2．
18．（4分）如图，在中，，，，是的中位线，点是边上一点，，点是线段上的一个动点，连接，，与相交于点．若是直角三角形，则的长是 或 ．
【解答】解：如图作于，于交于点，此时，
是中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
．
当时，
，
，
，
，
故答案为或．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：．
【解答】解：原式
．
20．（10分）如图，已知点、分别在的边、的延长线上，且，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【解答】证明：（1），，，，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
．
21．（10分）如图，矩形中，点、分别在边、上，且，，交于，设，．
（1）用、表示： ；
（2）在原图中作出向量分别在、方向上的分向量，并分别用、表示（写出结论，不要求写作法）．
在方向上的分向量是 ；在方向上的分向量是 ．
【解答】解：（1），
，
，，
，，
，
．
故答案为．
（2）作于．
向量分别在、方向上的分向量分别为，．
故答案为，．
22．（10分）阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：如图1，已知在中，，，，求的正切值．
小华是这样解决问题的：如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为中画出格点三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和相似的，从而使问题得以解决．
请利用小华的方法求的正切值．
【解答】解：，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
23．（12分）已知：如图，四边形的对角线和相交于点，，，求证：
（1）；
（2）．
【解答】证明：（1），
，
，
，，
，
，
，
，
，
（2），
，
同法可得，
，
，
，
，
，
．
24．（12分）如图，在中，、分别为、边上的点，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【解答】证明：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，，
，
，
，
，
，
过点作，垂足为，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
解得：．
25．（14分）如图， 已知菱形，，点是边延长线上一点， 联结交延长线于点，联结交于点，联结交、于点、，设，．
（1） 用含的代数式表示；
（2） 求关于的函数解析式， 并写出它的定义域；
（3） 当与相似时， 求的值 ．
【解答】解： （1）四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，，
，
；
（2），
，
，
，，
，
，
，
，
，
（3），，
与相似，
①当时，
，，
，
，
，
，
，
，
或（舍，
，
②当时，
，
，而与相交于点，
矛盾， 故此种情况不存在，
即： 当与相似时，的值为 1 ．
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